102新北市高中聯招
試題疑義答覆選擇題第1題
1.本題題目應為「連續正整數之和」，誤植為「連續整數之和」。
2.本題送分。
選擇題第2題
1.本題正確答案應為\( a+b \)最小可能值為\( 4\sqrt{2} \)。
2.本題送分。
計算題第1題第1小題
1.本題教授閱卷時，已將計算等價答案\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \),\( a_n=a_{n-1}+(\frac{1}{2})^n \),( \( n \ge 2 \) )列入給分。
2.另本題答案不包括「二階遞迴式」，本題應是「一階遞迴式」。故作答答案如有「二階遞迴式」不給分。
填充題1第34題
1.本題投影後有6個面。但題目只敘述其中4個面。
2.選項2的圖為6個面之一。另這個面(圖請見pdf檔)並未出現在題目中。 選擇2.
設\( a,b \)為正實數。若\( 2^a=25 \)，\( 5^b=16 \)，則\( a+b \)的最小可能值為何？
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
題目出錯了吧
選擇4.
設矩陣\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 &1} \Bigg]\; \)。若\( A^{10}=\Bigg[\; \matrix{a_{11} & a_{12} & a_{13} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} \cr a_{31} & a_{32} & a_{33}} \Bigg]\; \)，則\( a_{13} \)之值為何？
(A)55 (B)100 (C)\( 2^{10} \) (D)\( 10! \)
感謝王保丹告知101南港高工也有這題
[url]https://math.pro/db/thread-1442-1-1.html[/url]
藉由這題來回應寸絲的心得[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid7653[/url]
"當這個類題出現時，但數據不同，或許原先的「特例」解法就不適用，因此做考古題的時候，不只是完成那份題目，更進一步的問問，是個巧合，還是一般性的做法？"
這題直接乘就看出規律了，但改成其他數字的話你會算嗎？
若\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{2 & 1 & 1 \cr 1 & 2 & 1 \cr 1 & 1 & 2} \Bigg]\; \)，求\( A^{100} \)。
(98全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-804-1-1.html[/url])
設\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 & 3 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1} \Bigg]\; \)，\( \displaystyle A+A^2+A^3+\ldots+A^{20}=\Bigg[\; \matrix{a & b & c \cr d & e & f \cr g & h & i} \Bigg]\; \)，則\( c= \)？
(100中壢高中，[url]https://math.pro/db/thread-1119-1-3.html[/url])
若\( \displaystyle A=\Bigg[\; \matrix{1 & 2 & 0 \cr 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 1} \Bigg]\; \)，則\( A^{20} \)？
(100成淵高中，[url]https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html[/url])
這裡我也有提醒各位可以整理個"矩陣的n次方"筆記，各位有整理了嗎？
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid7150[/url]
104.5.2補充
設矩陣\( A=\left[ \matrix{1 & 1 & 1 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1} \right] \)，試求\( A^{100} \)。
(104桃園高中，[url]https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html[/url])
填充2.
由數字1,2,3,4,5,6,7組成七位數，四個奇數中任何三個不全相鄰，問符合條件的七位數共有多少個？
(2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题及评分标准，[url]http://wenku.baidu.com/view/70deb07c31b765ce050814d1.html[/url])
[解答]
以所有可能的七位數\( P_7^7 \)中減去下面兩類七位數的個數。
(1)四個奇數都相鄰的七位數，先將四個奇數看成一組與其餘三個偶數排好，有\( P_4^4 \)種方法，再將這四個奇數進行排列，有\( P_4^4 \)種方法，此類七位數共有\( P_4^4 \times P_4^4 \)個。
(2)只有三個奇數相鄰，先將偶數排好有\( P_3^3 \)種方法，再將四個奇數分成三個，一個的兩組，有\( C_1^4 \)種方法，然後將這兩組奇數插入偶數的四個空檔中，有\( P_2^4 \)種方法，此類七位數共有\( P_3^3 \cdot C_1^4 \cdot P_2^4 \cdot P_3^3 \)個。
綜上，符合條件的七位數共有\( P_7^7-P_4^4 \cdot P_4^4-P_3^3 \cdot C_1^4 \cdot P_2^4 \cdot P_3^3=5040-(576+1728)=2736 \)個。
計算2.
已知有n個任意的正方形紙片，證明：可以用剪刀把它們剪開，然後組拼成一個新的正方形。
(2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题及评分标准，[url]http://wenku.baidu.com/view/70deb07c31b765ce050814d1.html[/url])
[解答]
(1)當\( n=2 \)時，設兩個正方形\( A_1B_1C_1D_1 \)和\( A_2B_2C_2D_2 \)的邊長為a和b(\( a \ge b \))，在正方形\( A_1B_1C_1D_1 \)的各邊上，順序截取\( \displaystyle \overline{A_1M}=\overline{B_1N}=\overline{C_1P}=\overline{D_1Q}=\frac{a+b}{2} \)。
連\( \overline{MP},\overline{NQ} \)交於O，易知\( \overline{MP}\perp \overline{NQ} \)，沿線段\( \overline{MP} \),\( \overline{NQ} \)把正方形\( A_1B_1C_1D_1 \)剪開，得到四個全等部分，把這四塊與正方形\( A_2 B_2 C_2 D_2 \)拼成一個新的正方形。
因此，\( n=2 \)時命題成立。
(2)假設\( n=k \)時，命題成立，當\( n=k+1 \)時，前k個正方形可拼成一個新正方形。把這個正方形按上法剪開，截取的線段上是這新的正方形的邊長和第\( k+1 \)個正方形邊長和的一半，然後和第\( k+1 \)個正方形如上法拼組成第\( k+1 \)個新的正方形，至此說明當\( n=k+1 \)時命題成立。
綜合(1)(2)，對\( n>1 \)，\( n \in N \)命題成立。
填充4,5出題者應該抄襲中國地區試題，只是我找不到出處
填充5.
如下圖，電腦程序框圖(算法流程圖)的輸出值S為何？
[解答]
\( S=1^2-2^2+3^2-4^2+\ldots +99^2-100^2=-5050 \)
102.6.14補充
感謝thepiano提供出處，我從網路找到完整檔案下載。
2012高中数学联赛备考手册 预赛试题集锦.pdf
[url]http://pan.baidu.com/share/link?shareid=368565&uk=3778402542[/url] 選擇第四題，101年南港高工第9題！ 想問計算第一題的遞迴式
我是先推出一般式
\[{a_n} = 1 - {(\frac{1}{2})^n}\]
再用特徵值1與1/2
寫出二階遞迴
\[2{a_n} = 3{a_{n - 1}} - {a_{n - 2}}\]
只是答案是給一階的遞迴…
不知道我這樣做可不可以 想請問一下選擇第三題
3. 設向量v為坐標空間中的非零向量。若向量v與正 x 軸夾 45 度角，與正 y 軸夾 60 度角，則下列哪一個選項可能向量v與正 z 軸的夾角?
(A) 90度 (D) 105度 (C) 120度 (D) 135度
想了許久還是一點頭緒都沒有，煩請指點迷津！ 一向量與三軸的交角分別為A、B、C
則\[{\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1\]
回復 6# shiauy 的帖子
謝謝一心大的提點，我居然忘記這麼簡單的定理！！！ [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2013-6-1 03:02 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8369&ptid=1627][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]填充4,5出題者應該抄襲中國地區試題，只是我找不到出處[/quote]
填充 4
抄自 2012 年全國高中數學聯賽黑龍江省預賽試題
填充 5
抄自 2011 年全國高中數學聯賽河南省預賽試題
出題教授會不會抄得太順手了？
回復 8# thepiano 的帖子
轉貼[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3032&sid=c2ab7b16a88a24019c79a95a5591fc9e[/url]填充第 1 題
填充第 5 題
計算第 1 題
回復 9# nanpolend 的帖子
請教一下填充第 1 題有比較快的作法嗎 可以請教一題觀念的問題嗎？在寫選擇第二題時，我就一直覺得很詭異
題目如下～感謝 算幾不等式
等號成立的條件為 a=b
所以，試題疑義的解釋，基本上是有問題的。
計算第三之一
請教一下它如此計算是不是沒考慮到某樣作品都獲得得10票，但其中兩票是1號所投的狀況？還是說不記名就當做此規定無效？回復 13# 瓜農自足 的帖子
此題只考慮 4 件作品的得票分布，而不區分這些票是誰投的頁:
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