Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 102景美女中

weiye 發表於 2013-5-29 16:31

102景美女中

題目如附件。

simon112266 發表於 2013-5-29 17:13

想請問2.8.10

10.覺得四個都是對的...但是不會解釋

acc10033 發表於 2013-5-29 17:34

想問２，４，８

bugmens 發表於 2013-5-29 17:52

2.
試求出所有整數a,b,c使得\( \displaystyle \frac{36}{385}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11} \)，且\( |\; a |\;<5 \)，\( |\; b |\;<7 \)，\( |\; c |\;<11 \)。
(101桃園高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1373&page=2#pid5767[/url])


6.
設兩數列\( a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{100} \)及\( b_1,b_2,b_3,\ldots,b_{100} \)滿足\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_{n+1}=3a_n-2b_{n+1} \cr b_{n+1}=a_{n+1}-3b_n} \)，\( n=1,2,3,\ldots,99 \)
(1)試求\( 2 \times 2 \)階矩陣A，使得\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{a_{n+1} \cr b_{n+1}} \Bigg]\;=A \Bigg[\; \matrix{a_n \cr b_n} \Bigg]\; \)，\( n=1,2,3,\ldots,99 \)。
(2)已知\( a_{99}=3^{50} \)，\( b_{100}=4 \cdot 3^{49} \)，試求\( a_1 \)及\( b_1 \)之值。


設\( n \in N \)，兩數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)滿足\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_{n+1}=5b_n+2b_{n+1} \cr b_{n+1}=5a_{n}-2a_{n+1}} \)
(1)試求二階方陣A，使得\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{a_{n+1} \cr b_{n+1}} \Bigg]\;=A \Bigg[\; \matrix{a_n \cr b_n} \Bigg]\; \)，\( n \in N \)。
(2)已知\( a_{100}=5^{50} \)，\( b_{100}=3 \cdot 5^{50} \)，試求\( a_1 \)及\( b_1 \)之值。
(101明倫高中，[url]https://math.pro/db/thread-1410-1-1.html[/url])

weiye 發表於 2013-5-29 19:36

回復 2# simon112266 的帖子

第 2 題：

\(36 = a\cdot 7\cdot 11 + b\cdot 5\cdot 11+c\cdot5\cdot 7\)

可知

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}36\equiv a\cdot 7\cdot 11\pmod{5}\\ 36\equiv b\cdot 5\cdot 11\pmod{7} \\ 36\equiv c\cdot5\cdot 7\pmod{11}\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}1\equiv 2a\pmod{5}\\ 1\equiv 6b\pmod{7} \\ 3\equiv 2c\pmod{11}\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}3\cdot1\equiv 3\cdot2a\pmod{5}\\ 6\cdot1\equiv 6\cdot6b\pmod{7} \\ 6\cdot3\equiv 6\cdot2c\pmod{11}\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}3\equiv a\pmod{5}\\ 6\equiv b\pmod{7} \\ 7\equiv c\pmod{11}\end{array}\right.\)

且由 \(\left|a\right|<5, \left|b\right|<7, \left|c\right|<11\)

可知 \(a=3\) 或 \(a=-2\)，\(b=6\) 或 \(b=-1\)，\(c=7\) 或 \(c=-4\)，

剩下就是帶入 \(\displaystyle \frac{36}{385}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11}\)

檢查可得正確的有序數組 \(\left(a,b,c\right)=(3,-1,-4), (-2,6,-4), (-2,-1,7)\)

simon112266 發表於 2013-5-29 20:50

試著寫第4題

我是把規律找出來，還是有點麻煩...不知道這樣對不對
希望有高手有更簡單的方法

[color=Red]1089,1188[/color],1287,1386,1485,1584,1683,1782,[color=Red]1881,1980[/color]

[color=#ff0000]2079[/color],2178,[color=#ff0000]2277[/color],2376,2475,2574,2673,[color=#ff0000]2772[/color],2871,[color=#ff0000]2970[/color][color=#ff0000]
[/color]
[color=#ff0000]                                       [/color]....
                                       ....
8.....

[color=#ff0000]                       9開頭全都有0所以都不可以[/color]
[color=#ff0000]
[/color]
1開頭平均A1=1485+1584/2=3069/2

2              A2=2475+2574/2=5049/2
...
8              A8=8415+8514/2=16929/2


A1~A8為等差

所求=(A1+A2+...+A8)*6/C(9,4)*4!=1111/14

tsusy 發表於 2013-5-29 21:06

回復 6# simon112266 的帖子

第4題

見 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=1#pid4191]100文華代理填充9[/url] Joy091 和 wieye 老師之解法。

看完後應可以有比較簡捷之做法，或者利用 \( 100x+y \equiv x+y \) (mod  99)

tsusy 發表於 2013-5-29 21:14

回復 3# acc10033 的帖子

第 8 題，如圖 \( 2\pi^2 \) 不解釋
[attach]1730[/attach]

tsusy 發表於 2013-5-29 21:16

回復 2# simon112266 的帖子

第 10 題，有點小遺憾，只有 (1) 是正確的，好好想想 「整除」、「連續」、「可微」的定義是什麼

simon112266 發表於 2013-5-29 22:30

[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2013-5-29 09:16 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8334&ptid=1624][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 10 題，有點小遺憾，只有 (1) 是正確的，好好想想 「整除」、「連續」、「可微」的定義是什麼 [/quote]


謝謝老師的題點

定義不熟阿...

kpan 發表於 2013-5-30 00:00

回復 10# simon112266 的帖子

如果要舉反例的話
第二小題  取  f(x) = sin ( x*pi/2)
至於  第三小題 第四小題  我相信 課本應該會有反例  沒有的話  隨便一本微積分 也會有~

僅供您參考~~~

panda.xiong 發表於 2013-6-4 11:46

回復 11# kpan 的帖子

請問第十題(1)要如何說明才恰當?

panda.xiong 發表於 2013-6-4 11:57

請問第9題，我的想法是否正確？
PK是不是因為平移而得的，所以面積不變？
Qk是不是旋轉45度再伸縮(根號2倍)所得？

tacokao 發表於 2013-6-4 15:40

回復 13# panda.xiong 的帖子

我也是這樣想的喔!!!!

ilikemath 發表於 2013-6-4 19:00

想請教第11題和第12(1)題
感謝

tsusy 發表於 2013-6-4 19:32

回復 15# ilikemath 的帖子

11 題. \( (x\pm\frac{1}{2})^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1 \) 在 \( x\leq0 \) 的部分就是 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1 \) 且 \( x\leq-\frac{1}{2} \) 之區域的平移。

而在 \( x\geq0 \) 的部分，則為 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1 \) 且 \( x\geq\frac{1}{2} \) 的平移。

故所求 \( =2\int_{\frac{1}{2}}^{1}\pi(1-x^{2})dx=\frac{5\pi}{12} \)。

12. 題. 令 \( t=1-\frac{1}{x} \), 則 \( dt=\frac{1}{x^{2}}dx \)

hinetsndb 發表於 2013-6-5 14:32

想請教填充第五題，我是設點座標然後帶重心，但計算很複雜...不知有否其它做法
謝謝大家。

simon112266 發表於 2013-6-5 16:18

[quote]原帖由 [i]hinetsndb[/i] 於 2013-6-5 02:32 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8437&ptid=1624][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教填充第五題，我是設點座標然後帶重心，但計算很複雜...不知有否其它做法
謝謝大家。 [/quote]

四面體體積 = 所求*(底面積)*(1/3)

hinetsndb 發表於 2013-6-5 17:12

回復 18# simon112266 的帖子

原來如此~~~謝謝老師~~~

tuhunger 發表於 2013-6-5 21:22

第4題 另解

[quote]原帖由 [i]simon112266[/i] 於 2013-5-29 08:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8330&ptid=1624][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
試著寫第4題

我是把規律找出來，還是有點麻煩...不知道這樣對不對
希望有高手有更簡單的方法

1089,1188,1287,1386,1485,1584,1683,1782,1881,1980

2079,2178,2277,2376,2475,2574,2673,2772,2871,2970

            ... [/quote]
[我的方法]: 看看會不會比較快~~~  參考看看

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