第13題
有高手可以直接證明嗎?(我繞圈了)13.
感覺我的方法繞圈了，歡迎高手不吝指教
\(n(1+x)^{n-1}=C_1^n+2C_2^nx+3C_3^nx^2+\ldots+nC_n^nx^{n-1}\)(取\(x=1\)可得已知的式子)
乘\(x \Rightarrow n(1+x)^{n-1}x=C_1^nx+2C_2^nx^2+3C_3^nx^3+\ldots+nC_n^nx^n\)
微分\(\Rightarrow n(n-1)(1+x)^{n-2}x+n(1+x)^{n-1}=C_1^n+2^2C_2^nx^1+3^2C_2^nx^2+\ldots+n^2C_n^nx^{n-1}\)
取\(x=1\)得證
回復 21# tuhunger 的帖子
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13 題. 我也來個無視題目的另證令 \( X\sim\text{Bin}(n,\frac{1}{2}) \)，則所求 \( =2^{n} \cdot EX^{2} =2^{n}\cdot(\mbox{Var}\, X+(EX)^{2})=2^{n}\cdot(\frac{n}{4}+(\frac{n}{2})^{2}) = n(n+1)2^{n-2} \)。
順帶補幾個類似題：
(100中壢高中) 試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \)。
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1119&page=1#pid3325]weiye 解題[/url]
(100文華高中代理) 試求 \( C_{0}^{21}+\frac{1}{2}C_{1}^{21}+\frac{1}{3}C_{2}^{21}+\frac{1}{4}C_{3}^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21} \)。
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4636]weiye 解題[/url]
(99高雄市聯招) 試證 \( C_{2}^{2}C_{1}^{n}+C_{2}^{3}C_{2}^{n}+C_{2}^{4}C_{3}^{n}+\ldots+C_{2}^{n+1}C_{n}^{n}=n(n+3)2^{n-3} \)。
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=975&page=2#pid2916]還是 weiye 解題[/url]
(99東山高中) 求 \( \sum\limits _{k=0}^{100}\left(x+\frac{k}{100}\right)^{2}C_{k}^{100}x^{k}(1-x)^{100-k} \) 之值。
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=941&page=1#pid2061]依舊是 weiye 老師解題[/url]
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-7 02:05 PM 編輯 [/i]] 請問 3 的答案是\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \)嗎? [quote]原帖由 [i]martinofncku[/i] 於 2013-7-9 12:16 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8782&ptid=1624][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問 3 的答案是 （根號3）/3 嗎? [/quote]
是！ 不好意思！！想跪求各位老師有無參考正確答案，小弟太弱了，沒有看到答案，心慌慌阿！！
回復 26# peter0210 的帖子
部分答案，如有錯還請修正：1. (1) 54 (2) [color=Red]\( \frac{22}{45} \)[/color] (感謝 thepiano 提醒筆誤)
2. (-2,-1,7) , (-2,6,-4) , (3,-1,-4)
3. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
4. \( \frac{1111}{14} \)
5. \( 2\sqrt{6} \)
6. (1) \( \begin{bmatrix}1 & 2\\
1 & -1
\end{bmatrix} \) (2) \( a_1 =3, b_1=-1 \)
7. (1) 3 (2) \( \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} , \pm\sqrt{3} \)
8-14 還是自己寫寫或找找吧，這邊只是討論區
如果每個人都怕自己的答案會算錯，不願意分享討論，那這邊就永遠不會有參考答案
論壇裡的每位老師也都會算錯，但不怕錯，因為錯在這，PO出來，有其他老師會幫忙修正
只要拋磚引玉地PO出自己的答案，相信其它人很願意和您互相參考、修正
真有不會的題目，直接PO發問文
然後該對自己有信心一點，數學裡對錯分明，當一名老師更要對自己所傳授的知識有信心，加油 :)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-24 09:07 AM 編輯 [/i]] 寸絲兄 1(2) 有點小筆誤，應是 22/45
回復 28# thepiano 的帖子
對~我傻了，果然常常寫錯，馬上修正 來獻醜跟各位對個答案9.(1)3*3^0.5/2
(2)3*3^0.5
11. 5π/12
12.(1)2^0.5/6
(2) (8-4*2^0.5)/3
14.(1)y^2=4x
(2) 4
有錯誤請告知
感謝！ 請教老師們第8題答案是2*（pi平方）嗎^_^謝謝
問完才發現剛剛前面有><無法刪文，打擾大家抱歉
[[i] 本帖最後由 Christina 於 2018-6-16 22:08 編輯 [/i]]
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