102內湖高中
歡迎各位戰友分享!第5題: 類似101台中一中填充題 第15題,但細節討論更多[attach]1719[/attach][attach]1719[/attach]
第4題: 給一題高雄某高中的考題 ,附詳解
[[i] 本帖最後由 tuhunger 於 2013-6-7 07:06 PM 編輯 [/i]] 3.
\( \triangle ABC \)，\( cosA:cosB:cosC=25:39: (-3) \)，求\( a:b:c \)
[解答]
\( cosC=cos(\pi-(A+B))=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-cosAcosB+\sqrt{(1-cos^2A)(1-cos^2B)} \)
\( cosC+cosAcosB=\sqrt{1-cos^2A-cos^2 B+cos^2Acos^2B} \)
\( cos^2C+2cosAcosBcosC+cos^2Acos^2B=1-cos^2 A-cos^2 B+cos^2 Acos^2 B \)
\( 2cosAcosBcosC+cos^2A+cos^2B+cos^2C-1=0 \)
令\( cosA=25t \)，\( cosB=39t \)，\( cosC=-3t \)
代入上式得\( 2(25t)(39t)(-3t)+(25t)^2+(39t)^2+(-3t)^2-1=0 \)
\( 5850t^3-2155t^2+1=0 \)
\( (45t-1)(130t^2-45t-1)=0 \) (我用數學軟體算出來的)
另外兩根為\( t=-0.020953819317376 \)，\( t=0.36710766547122 \)
當\( t=-0.02 \)時，\( cosA,cosB \)都是負的，\( ∠A,∠B \)大於\( 90^\circ \)
當\( t=0.36 \)時，\( cosB=39*0.36=14.04 \)
所以另兩根都不合
\( \displaystyle t=\frac{1}{45} \)
\( \displaystyle cosA=\frac{25}{45}=\frac{5}{9} \) ， \( \displaystyle cosB=\frac{39}{45}=\frac{13}{15} \) ， \( \displaystyle cosC=\frac{-3}{45}=-\frac{1}{15} \)
\( \displaystyle sinA=\frac{2 \sqrt{14}}{9} \) ， \( \displaystyle sinB=\frac{2 \sqrt{14}}{15} \) ， \( \displaystyle sinC=\frac{4 \sqrt{14}}{15} \)
\( a:b:c=5:3:6 \)
105.1.17補充一題
三角形\(ABC\)中，已知\(cosA:cosB:cosC=25:19:7\)，求\(sinA:sinB:sinC=\)？
112.7.11補充
\(\Delta ABC\)中，\(sinA:sinB:sinC=3:5:7\)，求\(cosA:cosB:cosC=\)[u] [/u]。
(112羅東高工，[url]https://math.pro/db/thread-3772-1-1.html[/url])
第八題
三角形ABC上邊上分別有DEF三點AD BE CF 共點於H點
若角ADC為120度 角EDC為60度 求角ADF?
回復 3# 吳東岳 的帖子
令直線EF分別交直線AD和直線BC於P和Q因為AD、BE、CF共點，所以 E、F；P、Q 是調和點列，
那麼 DE、DF；DP、DQ 為調和線束，
而DE是角PDC的角平分線，
故DF是角PDB的角平分線，
角ADF=30度 [quote]原帖由 [i]lyingheart[/i] 於 2013-5-27 04:54 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8285&ptid=1621][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
令直線EF分別交直線AD和直線BC於P和Q
因為AD、BE、CF共點，所以 E、F；P、Q 是調和點列，
那麼 DE、DF；DP、DQ 為調和線束，
而DE是角PDC的角平分線，
故DF是角PDB的角平分線，
角ADF=30度 ... [/quote]
PS:沒圖沒真相...煩請高手在做更詳細解說
回復 5# tuhunger 的帖子
那我換個寫法好了對三角形ABC三線AD、BE、CF交於H，由西瓦定理得
\(\displaystyle \frac{AF}{FB} \times \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA}=1 \)
CE是角平分線，所以
\(\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DA} \)
兩式比較
\(\displaystyle \frac{AF}{FB}=\frac{AD}{DB} \)
故DF為角平分線。
(原則上這些都不需要圖，可以自己畫一下就好) 我是用入射角等於反射角求出來的....^^"
方法：
因為角ADC=120度，角EDC=60度，所以角ADE=60度，
然後延伸FD直線，此時ED垂直FD，(因為入射角等於反射角，所以ED為FD的法線)
所以角FDA=30度，故角BDF=30度。
回復 7# godness 的帖子
應該沒分，ED垂直FD，這哪來的??
回復 8# lyingheart 的帖子
根據入射角等於反射角的定義，FD為反射面，那我們就可以知道ED為反射面的法線，所以會垂直。回復 9# godness 的帖子
"ED為反射面的法線"這句沒錯，但此時為何反射面會是FD??如果你在BF上任取一點G，那麼直線GD是不是反射面??為什麼??
而且你這樣子，完全沒把H點放在眼裡，不覺得很奇怪嗎??
回復 10# lyingheart 的帖子
這是我的想法：如果你在BF上任取一點G，那GD當然有可能是他的反射面，但此時三直線就不會交於一點H，
當然如果移動F點，而H又依然是三直線的交點時，那DE就不會平分角ADC，
這題剛好可以這樣做主要是因為DE剛好平分角ADC，才會有這個性質。
回復 11# godness 的帖子
你這樣子有點倒果為因或是說一廂情願，因為這個結果是正確的，所以我也不能說你的想法是錯誤的；
但是實際在寫證明時，你沒有把真正該有的點寫出來，這樣是不會得分的。
言盡於此，請其他高手補充吧。
回復 12# lyingheart 的帖子
有沒有分數對我來說沒甚麼差別，我只是很好奇這樣的做法，閱卷的老師給零分的理由是？畢竟題目只要你求出角度，不是嗎？回復 14# godness 的帖子
我想至少我們大概都同意一件事：在平分和共點的三角形條件下，你的宣稱是對的。如此一來，我們應該回到這個宣稱的本質，真得要討論的話，至少要把它完整的條件述敘和結果寫下來。
能否弱化部分條件，讓它成為一個有用的性質，而非是某個特例情形。
否則一個生僻的生質或公式，大概不值得記憶。當然生僻的標準因人而異。
比如說有個性質是：「\( \triangle ABC \) 中，a,b,c 代表 \( \angle A, B, C \) 的對邊長，若 \( b^2 = a(a+c) \)，則 \( \angle B = 2\angle A\)」
以前我也覺得它是生僻的性質，但是考古題做多了，發現它出現的次數還不少，漸漸地，只好把它記起來了，
回到得分與否，如果是填充題的話，自然是得分；但若是計算證明題，用了某個生僻的性質的話，或許連閱卷老師都不知道有這樣的性質，
或者即使知道，也不見得會完全給分。以我自己的經驗來說，101 年師大附中教甄計算證明第一題：設 \( a>0, b>0, \theta \) 為銳角，求 \( \frac{a}{\cos \theta} + \frac{b}{\sin\theta} \) 的最小值。
相信多數人看到此題的反應，都是廣義柯西不等式做下去，然後就秒殺了。寸絲也不例外，但結果呢？該題 9 分，只拿到 4 分。
最後，再補充一個填充題式的"投機"作法：
假設 \( \triangle ABC \) 是三邊長比為 \( \overline{AB}:\overline{AC}:\overline{BC}=1:\sqrt{3}:\sqrt{2} \) 的直角三角形，而 \( H \) 為其重心
易得 \( \angle ADF = 30^\circ \) 提供一個關於第三題考試當下想出來的
不過礙於數字實在太大，沒能解到最後
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假設
\( cosA=25k , cosB=39k , cosC=-3k\)
由三角函數的平方關係可推得
\(sinA=\sqrt{1-625k^2}\) 以及\(sinC=\sqrt{1-9k^2}\)
可以先觀察一下\(sin(A+C) \)以及 \(cos(A+C)\)的關係
可以知道用\(cos(A+C)\)的和角公式展開較容易化簡
\(cos(A+C)=cos(\pi-B) =-cosB \)
\(cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC=(25k)(-3k)-\sqrt{1-625k^2}\sqrt{1-9k^2}=-(39k) \)
移項整理可得
\( -75k^{2}+39k=\sqrt{1-625k^2}\sqrt{1-9k^2} \)
將上式平方整理，可以得到跟bugmens一樣的方程，就卡住了
\(5850k^{3}-2155k^{2}+1=0\)
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考試的時候做到這就卡住了.....
不知這題還有沒有什麼更好的解法??
[[i] 本帖最後由 superlori 於 2013-5-28 09:34 PM 編輯 [/i]]
回復 15# superlori 的帖子
第 3 題：令 \(\cos A=25k, \cos B=39 k, \cos C=-3 k\)
由投影定理，可知 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}a=b\cos C+c\cos B\\ b=a\cos C+c\cos A\\ c=a\cos B+b\cos A\end{array}\right.\)
\(\displaystyle\Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}a+3kb-39ck=0\\ 3ka+b-25kc=0\\ -39ka-25kb+c=0\end{array}\right.\)
因為有序數組 \((a,b,c)\) 有異於 \((0,0,0)\) 的解，
所以 \(\displaystyle\Delta=\left|\begin{array}{ccc}1&&3k&&-39k\\ 3k&&1&&-25k\\ -39k && -25k && 1\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 5850k^3-2155k^2+1=0\)
後面跟 bugmens 之前的回覆一樣，囧rz......
故略～：Ｐ 關於這個問題，之前跟同事研究過，最後都無可避免的要來到這個三次方程式。
我用的方法是推一個公式
在 \( A+B+C=\pi \)
\(\displaystyle \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1-2\cos{A}\cos{B}\cos{C} \) 第2題我算4950
是對的嗎?
另外想請教第6題
感謝
[[i] 本帖最後由 ilikemath 於 2013-5-29 05:46 PM 編輯 [/i]] 我想問第7題. 謝謝! 自己寫的第2.5題
想請板上老師幫忙看看對不對
另外第5題是否有更簡單的討論方法
謝謝 如網址...附件上傳不了= =
[url]http://ppt.cc/omw2[/url]
第6題 100師大附中
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&extra=&highlight=%E9%99%84%E4%B8%AD&page=2[/url]
第7題的話
令 A=(3+2根號2)^6+(3-2根號2)^6 這樣有根號6的部分都會消掉了
又0<(3-2根號2)^6<1
所以去把A算出來就OK了~
註： weiye 代上傳圖檔，如附件。
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