102全國聯招
7.將桌上一長方形ABCD沿著對角線\( \overline{AC} \)摺起，使平面ABC與平面ACD互相垂直，已知\( \overline{AB}=\sqrt{7} \)，\( \overline{BC}=\sqrt{2} \)，則空間中\( \overline{BD} \)長為
(A)\( \displaystyle \frac{\sqrt{18}}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{28}}{3} \) (C)\( \displaystyle \frac{\sqrt{53}}{3} \) (D)\( \displaystyle \frac{\sqrt{45}}{3} \)
將長方形ABCD沿著對角線\( \overline{AC} \)摺起，使平面ABC與平面ACD互相垂直，已知\( \overline{AB}=a \)，\( \overline{BC}=b \)，則以a，b表示\( \overline{BD} \)之長 =。
(94台中縣高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid1774[/url])
計算4.
設邊長為a的正七邊形的對角線中，最長為x，最短為y，試證：\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a} \)。
若有一正k邊形，其頂點依序為A、B、C、D，且滿足\( \displaystyle \frac{1}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}} \)。問k為多少？
(1999TRML團體賽) 想先請教單選1.2.8
另外單選6我知道是圓..只是有個疑問.為什麼不能把絕對值直接拿掉加正負?
這樣算出來 Z = i or -i ...就變成兩條線了ㄟ?
感謝指教~
回復 3# idontnow90 的帖子
複數的絕對值的意義是什麼???回復 4# lyingheart 的帖子
一語道破..感謝~回復 3# idontnow90 的帖子
第二題高斯符號\([x]\)，表示不大於\(x\)的最大整數值。試求\(\left[(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2012} \right]\)的個位數字(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
[解答]
令 \( \alpha=(\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt6 , \beta=(\sqrt3-\sqrt2)^2=5-2\sqrt6 \)
那麼 \( \alpha^n+\beta^n \) 皆為整數；
又 \( 0 < \beta <1 \) ， 所以 \( 0 < \beta^{1006} < 1 \)
所求即為 \( \alpha^{1006}+\beta^{1006}-1 \) 的個位數字。
再令 \(\displaystyle a_n=\alpha^n+\beta^n \)
而 \( \alpha,\beta \) 為方程式 \( x^2-10x+1=0 \) 的兩根，
所以數列 \( a_n \) 會滿足 \(\displaystyle a_{n+2}=10a_{n+1}-a_n \)
計算知 \( a_0=2,a_1=10 \)
只看個位數字得到 0,8,0,2 的循環，
所以所求為 \( 8-1=7 \)
PS:第一題為學測題
回復 3# idontnow90 的帖子
第八題已知\(\overline{AB}=5\)，\(\overline{AC}=6\)，\(\overline{BC}=7\)，四邊形\(ACGH\)與\(ABDE\)均為正方形，則\(\vec{CH}\cdot \vec{BE}=\)
(A)\(6\sqrt{6}\) (B)\(12\sqrt{6}\) (C)\(24\sqrt{6}\) (D)\(36\sqrt{6}\)
[解答]
CH是CA轉45度，BE是BD轉45度，
所以CH和BE的夾角等於CA和BD的夾角，也就是CA和AE的夾角，
而角A是銳角，所以這個夾角為 \( 90^o-\angle{A} \)
\(\displaystyle \cos{A}=\frac{25+36-49}{60}=\frac{1}{5} \)
\(\displaystyle \vec{CH} \cdot \vec{BE}=5\sqrt2 \times 6\sqrt2 \times \cos(90^o-A) \)
\(\displaystyle =60 \times \frac{2\sqrt6}{5}=24\sqrt6 \)
計算第一題
敘述並證明：空間中三垂線定理。[解答]
雖然很簡單~ 提供大家非一般用直角三角形的證法 [quote]原帖由 [i]lyingheart[/i] 於 2013-5-25 09:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8257&ptid=1620][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第二題
令 \( \alpha=(\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt6 , \beta=(\sqrt3-\sqrt2)^2=5-2\sqrt6 \)
那麼 \( \alpha^n+\beta^n \) 皆為整數； [/quote]
PS:此題型可以證明出個位數皆為奇數,
不會算的人至少可以變成二選一
證明:
\((\sqrt3+\sqrt2)^{2012}+(\sqrt3-\sqrt2)^{2012}=2[C+C+.....+C]\)
\((\sqrt3+\sqrt2)^{2012}\)為奇數
計算第4題
設邊長為\(a\)的正七邊形的對角線中，最長為\(x\)，最短為\(y\)，試證：\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a}\)。[解答]
不曉得沒證托勒密定理會不會被扣分
回復 10# tuhunger 的帖子
有沒有比較一般的做法???希望各路高手分享一下~~~
回復 11# drexler5422 的帖子
不知道有去考的人大家覺得難嗎???聽說物理簡單到爆~~~沒有90分以上不會進複試~~~
數學也會如此嗎???
填充第6題
設六邊形\(ABCDEF\)中，各內角相等，已知\(\overline{AB}=\overline{CD}=\overline{EF}=1\)且\(\overline{BC}=\overline{DE}=\overline{FA}=x\)，設\(\Delta ACE\)的面積是此六邊形面積的\(70%\)，怎所有可能的\(x\)之和為[u] [/u]。 [quote]原帖由 [i]tuhunger[/i] 於 2013-5-26 10:37 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8265&ptid=1620][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]參考看看 [/quote]
填充6 漏看內角相同
請教填充7 , 題目看不太懂
謝謝 想請教選擇12題 (B)(D)選項.填充第7題
萬分感謝!!!
回復 15# arend 的帖子
題目的第二句話 各內角相等 [quote]原帖由 [i]habanera[/i] 於 2013-5-26 12:01 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8269&ptid=1620][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]題目的第二句話 各內角相等 [/quote]
謝謝
剛才再去看題目才發覺 "漏看" 複選第 12 題 (B) & (D)
\(\displaystyle \frac{27^{100}}{5^{200}}=a_na_{n-1}\ldots a_1.b_1b_2\ldots b_m\)，\(\forall a_i,b_j\)均為阿拉伯數字，其中\(a_1\)與\(b_1\)中間的.為小數點，意即小數點左邊為整數部分，小數點右N邊為小數部分，又\(a_n \ne 0\)，\(b_n \ne 0\)，則下列選項何者正確？
(A)\(n=3\) (B)\(m=200\) (C)\(a_n=2\) (D)\(b_m=6\)
[解答]
27^100/5^200 = (27^100 * 2^200)/10^200 = 108^100/10^200
108 ≡ 8 (mod 10)
108^2 ≡ 4 (mod 10)
108^3 ≡ 2 (mod 10)
108^4 ≡ 6 (mod 10)
108^5 ≡ 8 (mod 10)
四個一循環，故 m = 200，b_m = 6
回復 19# thepiano 的帖子
了解了~ 感謝!!! ^^ 填充題7.已知\(0<r<b\)，則圓\(C\)：\(x^2+(y-b)^2=r^2\)內部繞\(x\)軸旋轉一周\(360^{\circ}\)所得旋轉體的體積為[u] [/u]。
[解答]
速解:\((\pi)r^2x2(\pi)b\)