102北市陽明高中
as title請各位享用
今年小弟第一發啦 1.(2)
若點D、E、F依序為△ABC三邊\( \overline{BC} \)、\( \overline{AC} \)、\( \overline{AB} \)三邊的垂足，求證：△ABC的垂心等於△DEF的內心
(97松山家商，[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554#9[/url])
2.
ABCD為圓內接四邊形，四邊邊長依序為a、b、c、d，請證明ABCD的面積為
\( \displaystyle S(a,b,c,d)=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)} \)
(蔡聰明，四邊形的面積，數學傳播，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434[/url])
一圓柱體高20、底面圓半徑6，若有一平面通過底面圓心且和底面夾角\( 60^\circ \)，試求較小部分的體積為？
(101中和高中，[url]https://math.pro/db/thread-1378-1-4.html[/url])
空間中，\( x^2+y^2=3^2 \)，\( z=0 \)及\( x-z=0 \)所圍成封閉區域的體積為何？
(101彰化高中，thepiano解題[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2816#p7604[/url])
你可以先看這題thepiano的解法，再來看以下的說明會更容易了解。
103.5.31補充
已知一圓柱體的半徑為6，有一平面E與圓柱夾\( 30^{\circ} \)且通過圓柱直徑，試求平面E與圓柱所截兩塊體積中較小的體積
(103武陵高中，[url]https://math.pro/db/thread-1902-1-1.html[/url])
7.
有一半徑為\( 2 \sqrt{2} \)，高為\( 2\sqrt{3} \)的圓柱體被一平面所截。已知平面截過圓柱體底面的圓心且與底面夾\( 60^\circ \)角，試求：此圓柱體被平面所截之較小部份的體積。
[解答]
[table=98%][tr][td][attach]1710[/attach][/td][td]1.當\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)時，\( \Delta ABC \)為最大的直角三角形，之後就是梯形了。
\( \Delta ABC \)為直角三角形，\( ∠ACB=60^\circ \)，\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)，得到\( \overline{BC}=2 \)
又\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \)，\( ∠OCB=90^\circ \)，得到\( \overline{OC}=2 \)。
所以當\( 2 \le x \le 2 \sqrt{2} \)，\( -2 \sqrt{2} \le x \le -2 \)時，截面形狀為直角三角形。
當\( -2 \le x \le +2 \)時，截面形狀為梯形。
[/td][/tr][/table]
[table=98%][tr][td][attach]1709[/attach][/td][td]2.當\( 2\le x \le 2 \sqrt{2} \)，\( -2 \sqrt{2} \le x \le -2 \)時
截面形狀為直角三角形ABC
\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \)，\( \overline{OC}=x \)得到\( \overline{BC}=\sqrt{8-x^2} \)
又\( \Delta ABC \)為直角三角形，\( ∠ACB=60^\circ \)，得到\( \overline{AB}=\sqrt{3}\sqrt{8-x^2} \)
\( \Delta ABC \)的面積\( \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8-x^2} \cdot \sqrt{3} \sqrt{8-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2) \)
體積\( \displaystyle =2 \int_2^{2 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2)dx=\frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3} \)[/td][/tr][/table]
[table=98%][tr][td][attach]1711[/attach][/td][td]3.當\( -2 \le x \le +2 \)時，截面形狀為梯形ABCD
\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \)，\( \overline{OC}=x \)得到\( \overline{BC}=\sqrt{8-x^2} \)
又\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)，\( ∠DCB=60^\circ \)，得到\( \overline{BC}=2+\overline{AD} \)，\( \overline{AD}=\sqrt{8-x^2}-2 \)。
梯形面積\( \displaystyle =\frac{\overline{AB}}{2}(\overline{AD}+\overline{BC})=2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1) \)
體積\( \displaystyle =2 \int_0^2 2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1)dx=4 \sqrt{3} \pi \)
[/td][/tr][/table]
[attach]1712[/attach]
\( \displaystyle \int_0^2 (\sqrt{8-x^2}-1) dx \)可以轉換成橘色區域面積
面積=扇形OAB+直角三角形OAC-長方形=\( \pi \)
總共的體積為\( \displaystyle \frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3}+4 \sqrt{3} \pi \)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-31 04:51 AM 編輯 [/i]] 請問各位老師，有第五題的答案嗎？
回復 3# panda.xiong 的帖子
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\times \frac{(n+k)^3+(n-k)^3}{(2n)^3}\)\(\displaystyle =\int_0^1 (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x)^3+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)^3 dx\)
\(\displaystyle \left[ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x)^4 \cdot \frac{1}{4}\cdot 2+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)^4\cdot \frac{1}{4} \cdot (-2) \right]\Bigg\vert\;_0^1 \)
\(\displaystyle =\left[(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^4-(\frac{1}{2})^4 \right]\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^4\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
請參考指教
回復 4# ichiban 的帖子
感謝老師，用積分真是太漂亮啦。可是題目上說，除了3次皆為同色球"外"皆可獲獎，所以獲獎機率是不是應該要用1去減3次皆同色的機率呢？
答案應該還是1/2吧
另外，我想請問第6題...
回復 5# panda.xiong 的帖子
那題確實要拿1去減 , 我真的忘了 , 歹勢 , 這就是全國考差的原因了第六題請參考指教
信賴區間這邊不熟 , 寸絲大神啊 , 數學筆記好像沒有關於這個項目的練習
所以我真的不熟
[attach]1724[/attach]
[[i] 本帖最後由 ichiban 於 2013-5-28 04:24 PM 編輯 [/i]]
回復 6# ichiban 的帖子
哈~~我也不熟丫...基本上統計這個東西我不太會，我只會一點皮毛的機率而已統計這邊的題目，本身比較沒有感覺，不知道哪些是重要或好玩的題目，
所以留給其它大神處理吧！ 請問第8題怎麼利用第1小題
來證明圓面積？
感謝
回復 8# ilikemath 的帖子
8. (2) 請參考指教[attach]1731[/attach]
第6題(2)
第6題(2)參考看看:
∵是在A 民調機構
∴p=0.56 ,q=0.44
√pq/n <0.015
-->√0.56×0.44/n <0.015
∴n>1095.1… , ∴n=1096
回復 10# chin 的帖子
當你重新增加樣本數去作調查\(\displaystyle \sqrt{\frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}\) 中的 \(\widehat{p}\) 你無法肯定維持原本的0.56
要保證誤差絕對在3%以下，6樓ichi大的解題中已說明 ^^
[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2013-8-22 10:38 PM 編輯 [/i]]
回覆#11.Pacers31的帖子
題目中指出: 在95%信心水準之下，A、B兩民調機構得到候選人支持度的信賴區間分別為〔0.52,0.60〕，〔0.42,0.48〕，
試問：
(2) (5%) A 民調機構在95%信心水準之下，欲使誤差在3%以內，則須抽樣多少個樣本?
∵ A 民調機構在95%信心水準之下，信賴區間為〔0.52,0.60〕
∴ p=(0.52+0.60)/2=0.56, 是可知的
回復 12# chin 的帖子
這篇暫且就用 \(p\) 這個符號代表sample proportion吧\(n\) 表示某次抽樣調查人數，\(x\) 代表當中支持候選人的人數，則 \(\displaystyle p=\frac{x}{n}\)
95%信賴區間: \(\displaystyle \Big(p-2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},\ p+2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\Big)\)
已知此次抽樣調查的結果得到的信賴區間為 [052, 0.60] \(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{x}{n}=0.56\)
表示"這次"的調查中，支持人數佔了總調查人數的0.56
第(2)小題的課題是：要將誤差控制在3%以內 (上次的調查獲得的區間為4%)，增加樣本數可以辦到這件事
於是"重新"民調，這次抽查的人數 \(m\) 和上次的人數 \(n\) 已經不同了，
當中支持該候選人的人數 \(y\) 也不一定和上次的 \(x\) 同了
" 這次的 \(\displaystyle p=\frac{y}{m}\) 不見得會是 \(\displaystyle \frac{x}{n}=0.56\) "
在不知道 \(p\) 會是多少的情況下， \(m\) 要多少可以使誤差在3%以內？
\(\displaystyle 2\sqrt{\frac{p(1-p)}{m}}\leq0.03 \) \(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{m}\geq\frac{\sqrt{p(1-p)}}{0.015}\)
而 \(\displaystyle p(1-p)\leq\frac{1}{4}\)，上面右式最大就 \(\displaystyle \frac{\sqrt{1/4}}{0.015}=\frac{1}{0.03} \)
\(\sqrt{m}\) 只要能比 \(\frac{1}{0.03}\) 大就可以滿足誤差在3%以內了
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補充樓下最後提問： 沒錯，即使改成B機構(或其他民調)，答案是一樣的 ^^
[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2013-8-23 11:43 AM 編輯 [/i]]
回覆12#Pacers31的帖子
(要將誤差控制在3%以內 (上次的調查獲得的區間為4%)，增加樣本數可以辦到這件事於是"重新"民調，這次抽查的人數 m 和上次的人數 n 已經不同了)
不論誤差多少祇會改變 信賴區間，不會改變 p，此小題用 A 民調機構，表示並沒有
改變A民調機構調查出來的支持度p，否則，改問
"B 民調機構(或某民調)在95%信心水準之下，欲使誤差在3%以內，則須抽樣多少個樣本?"，是不是答案都一樣呢? 就無須強調"A 民調機構"了?
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