102板橋高中
請教附件中的題目感謝 第3題
人坐在排成一列的 張椅子上，所有人起身再重新坐下，每人坐到原本的位子或隔壁的位子，則重新坐下的方法數有幾種？
[解答]
若\(n\)人坐\(n\)張椅子，重新坐下的方法數是\(a_n\)
小弟猜測一下\( a_n = a_{n-1}+a_{n-2} \) (\(n \ge 3\))
其中\(a_1=1\)，\(a_2 = 2\)
第4題
座號\(1\sim n\)的\(n\)個人，及編號 的 頂帽子，每個人恰戴一頂帽子。假設沒有人戴到與自己相同號碼的帽子之方法有\(f_n\)種。已知\(n>2\)，則\(f_n,f_{n-1},f_{n-2}\)的關係式為？
[解答]
\( f_n = (n - 1)[f_{n-1} + f_{n-2}] \)
第六題作圖題
如附件，不曉得是不是這樣回答即可，還請老師們幫我看看。回復 3# fuzzydog 的帖子
方法沒有問題，但以考試來說，稍欠細節。題目很清楚地指定「尺規作圖」
步驟 (2) 中點軌跡 →軌跡這種東西...尺規作圖做不完吧
(3) (4) 作垂線的敘述 還可接受
(5) 斜率是 2，這不是尺規作圖該有的東西吧。
心裡可以這樣想，但實際還沒定坐標，寫斜率，有種怪怪的感覺
回復 4# tsusy 的帖子
我想步驟(2)若修改成兩平行線的中點連線延伸不知可不可行。(即先個別作中垂線找出個別的中點，再以兩點決定一直線畫出平行對稱軸的線)(5)我是想利用正交弦長=|4c|與頂點A與P,F形成直角三角形，邊長為[align=center][size=14px]1:2:根號3的特性畫。[/size][/align][align=center][size=14px]還得請教寸絲老師，這題怎麼答會比較完整，謝謝囉![/size][/align] 關於圓錐曲線的尺規作圖可以看這篇
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834#10 (連結已失效)
回復 5# fuzzydog 的帖子
bugmens大所提供的連結中，老王是用光學性質去作；還可以這樣做:
找到主軸和拋物線的交點\(A\)
在主軸上另取一點\(B\)
作長方形\(ABCD\)使得\(\overline{BC}=2\overline{AB}\)
連接\(\overline{AC}\)與拋物線交於\(E\)
過\(E\)作主軸的垂線垂足為\(F\)，即為拋物線焦點
回復 7# lyingheart 的帖子
對耶，使用矩形作相似三角形，這樣可以不用煩惱有沒座標化，也較符合尺規作圖。感謝lyingheart老師幫我解惑、bugmens相關連結資料(好完整)、寸絲老師Debug![[i] 本帖最後由 fuzzydog 於 2013-5-24 08:40 AM 編輯 [/i]]
請問
請問老師，1 該怎麼做呢?回復 9# martinofncku 的帖子
計算 1.\(A(1,3,6)\)，\(B(5,6,6)\)，且\(S=\{\; P|\; \Delta PAB之面積大於10且周長小於15 \}\;\)，求\(S\)的體積為多少？
[解答]
首先注意到 \( \overline{AB}=5 \)，因此兩限制條件可轉換成
\( P \) 到 \( \overline{AB} \) 的距離大於 4，以及 \( P \) 在某橢球內，其該該橢球為一轉旋體，以 \( \overline{AB} \) 為轉軸，將某個以 \( A, B \) 為焦點，長軸為 10 的橢圓旋轉一圈。
我們可以平移及轉動這個圖形，其體積保持不變，故可重新假設 \( A(-\frac52,0,0), B(\frac52,0,0), P(x,y,z) \)
則兩限制條件可轉為 \( y^2+z^2 \geq 16 \) 及 \( \frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{\frac{25}{4}\cdot3}\leq1 \)
令 \( R = \{(x,y,z)\mid\sqrt{y^{2}+z^{2}}\geq4,\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{\frac{25}{4}\cdot3}\leq1\} \)，及同時滿足兩條件的共同區域。
所求體積 \(V = \int_R 1 dzdydx \)，將 \( y, z \) 用極坐標代愌之，可得
\( V = \displaystyle \int_{-\sqrt{\frac{11}{3}}}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}\int_{4}^{s}\int_{0}^{2\pi}rd\theta drdx \)，其中 \( s=\sqrt{\frac{75-3x^{2}}{4}} \)。
積分可得 \( V = \displaystyle 2\pi\int_{0}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}r^{2}\Big|_{4}^{s}dx=2\pi\int_{0}^{\sqrt{\frac{11}{3}}}\frac{11-3x^{2}}{4}dx=2\pi(\frac{11}{4}\sqrt{\frac{11}{3}}-\frac{11}{12}\sqrt{\frac{11}{3}})=\frac{11}{3}\sqrt{\frac{11}{3}}\pi \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-28 06:53 PM 編輯 [/i]] 請問 第 3 題
回復 11# martinofncku 的帖子
第 3 題：thepiano 老師在 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1614&page=1#pid8216]#2[/url] 的回覆已解，至於說明，只要考慮坐在最前面的第一個人，看他重新坐下之後，只有兩種入座的情況，就可以得到遞迴關係式。 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2013-5-22 10:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8216&ptid=1614][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 3 題
若 n 人坐 n 張椅子，重新坐下的方法數是\( a_n\)
小弟猜測一下\( a_n = a_{n-1}+a_{n-2}\) (\(n \ge 3\))
其中\( a_1 = 1\)，\(a_2 = 2\)
第 4 題
\(f_n = (n - 1)[f_{n-1} + f_{n-2}]\) [/quote]
想請問第4題的想法
我是用排容把\(f_n\)算出來
\(\displaystyle f_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \frac{n!}{k!}\)
然後再把\(f_{n-1}\),\(f_{n-2}\) 列出來...
回復 13# simon112266 的帖子
還是一樣的遞迴想法討論：1 號 拿到某到人的帽子，假設是 2 號的好了，那就分成兩種情形：① 2 號也拿到 1 號的帽子 ② 2 號沒有拿到 1 號的帽子。
① 之情形，就是剩下 \( n-2 \) 的原問題，也就是 \( f_{n-2} \)
② 2 號沒有拿到 1 號的帽子，下的是問題是 2 號不拿 1 號帽，3 號不會拿 3 號帽.... n 號不能拿 n 號帽。
其實就是原來 n-1 個人的問題了(偷偷重新編號)，所以這種情形有 \( f_{n-1} \)
綜合兩情形，再考慮 1 號可拿其它帽子，就是 \( f_n = (n-1) ( f_{n-1} + f_{n-2}) \) 請教第二提該怎麼做?
感謝
回復 15# ilikemath 的帖子
第 2 題\( A=\{\; w |\; w^{40}=1 \}\; \)，\( B=\{\; y |\; y^{42}=1 \}\; \)，\( C=\{\; z |\; z^{24}=1 \}\; \)
若\( D=\{\; wyz |\; w \in A,y \in B,z \in C \}\; \)，則\(D\)有幾個元素？
[解答]
忘記在哪邊好像看到兩個集合的版本了
將集合內的元素寫成 \( e^{i\theta} \) 之形式。考慮 \( \displaystyle D_{\theta}=\{n\cdot\frac{2\pi}{40}+m\cdot\frac{2\pi}{42}+p\cdot\frac{2\pi}{24}+q\cdot2\pi\mid n,m,p,q\in\mathbb{Z}\} \)
如果把裡面的數看作正整數的即 \( \{na+mb+pc+qd\mid n,m,p,q\in\mathbb{Z}\}=\{n\gcd(a,b,c,d)\mid n\in\mathbb{Z}\} \)，其中 \( a,b,c,d\in\mathbb{N} \)。
\( \displaystyle 840\cdot D_{\theta}=2\pi\cdot\{21n+20m+35p+840q\mid n,m,p\in\mathbb{Z}\}=2\pi\cdot\mathbb{Z}\Rightarrow D_{\theta}=\{\frac{2n\pi}{840}\mid n\in\mathbb{Z}\} \)，其中 \( a\cdot S:=\{as\mid s\in S\} \)。
故 \( |D|=840 \)。
回復 2# thepiano 的帖子
請問第3題寸絲整理的那本.給的答案是55
是不是給錯了?
謝謝.
回復 18# johncai 的帖子
印象中，是我給錯答案，差一項的樣子，抱歉回復 10# tsusy 的帖子
請問計算第1題詳解第四行中，「則兩限制條件可轉為 ..A..and..B...」
第二個限制條件<1如何得到？
感謝。
回復 19# mathca 的帖子
實心橢球的所對應的不等式，就是橢圓拿去轉出來的頁:
[1]
2