回復 20# panda.xiong 的帖子
第 3 題：\(n^3-1=\left(n^2+n+1\right)\left(n-1\right)\)
\(\Rightarrow n^3-1\equiv0\pmod{n^2+n+1}\)
\(\Rightarrow n^3\equiv1\pmod{n^2+n+1}\)
\(\Rightarrow n^{2010}\equiv1\pmod{n^2+n+1}\)
\(\Rightarrow n^{2010}+20\equiv21\pmod{n^2+n+1}\)
因為 \(n^2+n+1\Bigg|n^{2010}+20\)，所以 \(n^2+n+1\Bigg|21\)
且因為 \(n\in\mathbb{N}\) ，所以 \(n^2+n+1=3,7,\) 或 \(21\)
可解得 \(n=1,2,\) 或 \(4\)
回復 21# weiye 的帖子
感謝啦,這個做法比較好理解。請問第7題，有比較好的方法嗎？有老師用列向量的線性組合，但是看不太懂？ 請問第12題如果沒有用5倍角那個方法做的話，有其他方式嗎？
回復 23# panda.xiong 的帖子
計算 12 試著玩看看，難然沒有用到 5 倍角，但不見得比較高明令 \( t=2x \)，則 \( \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=\frac{\sin10x}{\sin2x}=\frac{\sin5t}{\sin t} \)。
注意這個過程，我們應用了[color=Red]二倍角公式[/color]進行化簡。如果要再玩一次，就乘個 \( \frac{\cos t}{\cos t} \) 給它，就會有
\( \frac{\sin5t}{\sin t}=\frac{\sin5t\cos t}{\sin t\cos t}=\frac{\sin6t+\sin4t}{\sin2t} \)，再令 \( y=2t=4x \)。
則又可改寫為 \( \frac{\sin3y+\sin2y}{\sin y}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)。
上面的式子，嚴謹一點，應該寫作「若 \( \sin t\neq0 \) 且 \( \cos t\neq0 \)，則 \( \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)」
但其兩端函數在 \( t \) 使得 \( \cos t=0 \) 處，皆連續，因此可寫為 「若 \( \sin t\neq0 \)，則 \( \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)」
故當 \( \sin x\neq0 \) 且 \( \cos x\neq0 \) 時 \( \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 \)，其中 \( y=4x \)。
因此 \( \cos y=-\frac{1}{4} \) 時，上式有最小值 \( -\frac{5}{4} \)。 11題命題有誤，感謝鋼琴老師解惑^^
原帖有些凌亂，把11題的論述理整後po上來：
[[i] 本帖最後由 airfish37 於 2013-6-22 01:53 PM 編輯 [/i]] 第 11 題
出題老師不想整題都抄對岸的題目，結果又沒注意，然後題目就出錯了！ 瑋岳老師 想請教第三題你的解法中
為何可知n²+n+2可整除n^2010+20 ??
想好久 再麻煩老師解惑！！ 那是打錯字，前後文一起看就可以接起來了。（立即修正，感謝您。:D ）
題目有給 \(n^2+n+1\Bigg| n^{2010}+20\) 。
回復 22# panda.xiong 的帖子
第 7 題：（提供一個笨方法，或許有更快的方法。）令 \(\displaystyle A=\left[\begin{matrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & -2 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle B=\left[\begin{matrix} 4 & 6 & 8 \\ -1 & 0 & 1 \\ 7 & 11 & 15 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle C=\left[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix}\right]\)，\(\displaystyle D=\left[\begin{matrix} a & 5 & 6 \\ 7 & b & 11 \\ 9 & 12 & c \end{matrix}\right]\)，
\(E\) 表示由左方矩陣到右方矩陣所做列運算對應的基本矩陣的乘積，
則 \(EA=C\) 且 \(EB=D\)，
\(\Rightarrow E=CA^{-1}\) 且 \(E=DB^{-1}\)
\(\Rightarrow CA^{-1}=DB^{-1}\)
\(\Rightarrow D=CA^{-1}B=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 5\\ 3 & 5 & 6\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}-7 & -1 & 4\\ -11 & -2 & 6\\ 13 & 2 & -7\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}4 & 6 & 8\\ -1 & 0 & 1\\ 7 & 11 & 15\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4 & 5 & 6\\ 7 & 9 & 11\\ 9 & 12 & 15\end{matrix}\right]\) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2013-5-19 08:04 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8202&ptid=1604][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第8題.
\( a_{n}-[a_{n}]=\begin{cases}
\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
\frac{2}{3} & \mbox{, n is even}
\end{cases} \)，由此可得 \( a_{n+1}=\begin{cases}
a_{n}+\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\
a_{n}+ ... [/quote]
很想哭ㄟ~~
雖然老師您有給提示，可是我還是不會?
因為連您的提示怎麼來我都不知道原因?
可以請老師在解一次嗎?
我想我可能連過程都需要
[attach]3158[/attach]
謝謝您
回復 30# chiang 的帖子
第8題. 不知道是示怎麼來的，我不知該說什麼沒有想法的時候，就單純代代數字，看看可以看到什麼
\( \left\langle a_{n}\right\rangle :\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{10}{3},\frac{11}{3},\ldots \)
自己代，應該是看得出規則(律)的
回復 31# tsusy 的帖子
謝謝您~~頁:
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