102 武陵高中
考了十三題計算證明題。。剛考回來。。提供第一題(這一提到後來考場上有想到，等等把證明貼上來)
隨機變數X服從二項分配(n, p).. 試證明E(X)=np, var(X)=np(1-p)
Pk是投擲成功k次的機率
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-13 02:14 PM 編輯 [/i]]
回復 1# shingjay176 的帖子
感謝提供試題。隨機變數這題，可以用期望值的性質。即令
則
+Xn而得
三平面這題
令
=(ai
bici)
=0 =0不失一般性可假設
=
n1+
n2將第三式減法 ( 第一式乘法
a1x+b1y+c1za2x+b2y+c2z0x+0y+0z=d1=d2=
=d3−d1−d2 由三平面相交之情，得 [color=Red]
=0 
n2=0 (感謝 casanova，指出筆誤，紅字部分已修正之)
注意這樣的消去(列運算，不改變各行列式之值。
故
xyx=n1n2=0[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 11:35 PM 編輯 [/i]]
題目
抄在准考證上的，有些條件可能會遺漏大家參考看看 11.
z1=z2=3 z1−z2=3
3 (z1z2
)20−(z1z2)20= 已知
Z2Z1=Z2=3 Z1−Z2=33 (Z1Z2)20+(Z1Z2)20 (2008TRML團體賽)
13.
yz
0 x2+xy+3y2=173y2+x2=5z2+xz+x2=8[提示]
y3
2−2xy3cos150o=172 y32+z2=52 82 邊長 \sqrt{17} 、 \sqrt{5} 、 \sqrt{8} 的三角形會落在長為4寬為2的長方形中，三角形面積為3
\displaystyle \frac{1}{4 \sqrt{3}}\Bigg(\; xy+2yz+3xz \Bigg)\;=\frac{1}{2}x \times \frac{y}{\sqrt{3}}sin150^o+\frac{1}{2}z \times \frac{y}{\sqrt{3}} sin90^o+\frac{1}{2}xzsin120^o
正數x,y,z滿足方程組 \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} ，求 xy+2yz+3xz 的值。
(高中數學競賽教程P261)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7654[/url]
112.4.25補充
已知x、y、z為三個實數且滿足\cases{x^2+y^2=18 \cr y^2+\sqrt{3}yz+z^2=13\cr x^2+xz+z^2=19}，則2xy+yz+\sqrt{3}xz=[u] [/u]。
(112師大附中，[url]https://math.pro/db/thread-3735-1-1.html[/url])
102.5.12補充
4.
三平面兩兩相交一直線，且三直線平行，證明 \Delta=0 ， \Delta_x,\Delta_y,\Delta_z 至少有一個不為0
設 E_1 ： a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 ， E_2 ： a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 ， E_3 ： a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 為空間中三平面，令
\Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; ， \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; ， \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; ， \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; ，
試證：若此三平面相異且相交於一直線，則 \Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0
(97松山家商，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554 連結已失效)
在網頁最底下有一篇文章可以看，蘇俊鴻 用向量來看平面族定理[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748[/url]
回復 4# bugmens 的帖子
這題目在考場，一瞬間沒有想法，就先跳過。等待 bugmens 老師的解答。第十三題我現場直覺應該是餘弦定理，畫圖去思考，不過時間不夠，就沒有去寫完這題
。好像哪一年的中壢高中考題出過。 寫寫 12 題
\frac{\sin 9x}{\sin x}+\frac{\cos 9x}{\cos x} = \frac{2\sin 10x}{\sin 2x}。
令 t = 2x ，則上式為 \frac{2\sin 5t}{\sin t} 。
由和角公式、及 |\cos x|\leq 1 可遞推得 |\sin nt| \leq n |\sin t|, n \in \mathbb{N}
故得 -10 \leq \frac{2\sin 5t}{\sin t} \leq 10，而當 t \to 0 時，其值收斂至 10；[color=Red]當 t \to \pi 其值收斂至 -10 [/color]
(紅字是錯的，下界估錯了，那極限也是正的...)
--------------以下刪除----------------
原本不想用 5 倍的式子，看來失敗了
令 y=\sin t
則 \begin{aligned}\sin5t & =\sin3t\cos2t+\cos3t\sin2t\\ & =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2y(4\cos^{4}y-3\cos^{2}y)\\ & =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2t(4(1-y^{2})^{2}-3(1-y^{2}))\\ & =16y^{5}-20y^{3}+5y \end{aligned}
當 \sin t\neq0 ，時 \frac{\sin5}{\sin t}=16y^{4}-20y^{2}+5=16(y^{2}-\frac{5}{8})^{2}-\frac{5}{4}
而 0 < y^2 \leq 1 ，故其值域為 [-\frac{5}{2}, 10)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 10:24 PM 編輯 [/i]] #13 和之前做過的某題很像 第十二題 y=2sin(10x)/sin(2x)，我用GeoGebra畫圖畫出來。值域如圖。
回復 3# kevin32303 的帖子
第二題我印象中，一共有六個複數解，在複數平面上，這六個點任意兩點構成的線段長，一共有十五條。就這十五條的平方和回復 2# tsusy 的帖子
「由三平面相交之情，得 d_3 \neq 0 和 \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} 」d_3 \neq 0 是否該改成 \gamma \neq 0 呢？
回復 10# casanova 的帖子
對，是個筆誤，謝謝！請問文章中至少有一不為零如何得知?
[color=DarkOrange]請問文章中至少有一不為零如何得知?[/color][attach]1686[/attach] [quote]原帖由 [i]YAG[/i] 於 2013-5-12 10:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8160&ptid=1604][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問文章中至少有一不為零如何得知?
1686 [/quote]
可以配合前面寸絲老師寫的
最後會得到(△x,△y,△z)=r*(n1外積n2) 不等於0向量
所以△x,△y,△z 至少一個不為零
[[i] 本帖最後由 simon112266 於 2013-5-13 03:14 PM 編輯 [/i]]
請問老師
請問老師，第10題要怎麼做呢?回復 14# martinofncku 的帖子
第 10 題：令 P(1+2t,0+t,3-2t)
\overline{PA}+\overline{PB}
=\sqrt{\left(2t+2\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t+8\right)^2}+\sqrt{\left(2t-22\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t-13\right)^2}
=3\left(\sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}\right)
題目轉換成：在直角坐標平面上， Q(t,0) 位於 x 軸，M(-2,2), N(8,-3)，求 3\left(\overline{MQ}+\overline{QN}\right) 之最小值？
（ 因為 \sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}=\overline{MQ}+\overline{QN} ）
易知 \overline{MQ}+\overline{QN} 之最小值為 \overline{MN}=5\sqrt{5}，
\Rightarrow 3\left(\overline{MQ}+\overline{QN}\right) 之最小值為 15\sqrt{5}
此時 M,Q,N 三點共線，可解得 t 值，帶回 P 可得點坐標。 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-5-15 09:24 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8181&ptid=1604][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 10 題：
令 P(1+2t,0+t,3-2t)
\overline{PA}+\overline{PB}
=\sqrt{\left(2t+2\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t+8\right)^2}+\sqrt{\left(2t-22\right)^2+\left(t-2\right)^2+\left(2t-13\right)^2}
=3\left(\sqrt{\left(t+2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-8\right)^2+3^2}\right)
... [/quote]
謝謝老師。
我的作法前面和老師一樣, 只是到後面我寫成
[img]http://666kb.com/i/ce3idedpmqeor8frp.gif[/img]
請問老師這樣寫可以嗎? [quote]原帖由 [i]martinofncku[/i] 於 2013-5-16 12:22 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8185&ptid=1604][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝老師。
我的作法前面和老師一樣, 只是到後面我寫成
[attach]1692[/attach]
請問老師這樣寫可以嗎? [/quote]
可以呀~ ：Ｄ 請教第8題中，怎麼證明出a_{n} + a_{n+1} = n；另外，第9題(2)是收斂嗎？
回復 18# tunmu 的帖子
第8題.a_{n}-[a_{n}]=\begin{cases} \frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\ \frac{2}{3} & \mbox{, n is even} \end{cases} ，由此可得 a_{n+1}=\begin{cases} a_{n}+\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\ a_{n}+\frac{2}{3} & \mbox{, n is even} \end{cases} \Rightarrow a_{n+2}+a_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}+1 ( 1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} )。
又 a_{1}+a_{2}=1 ，故得 a_{n}+a_{n+1}=n 。
第 9 題，這樣的級數看起來像黎曼和，稍微試一下
\displaystyle \frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\frac{2}{n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}} ，故 \displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{2} {n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}}
其為 \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx 之黎曼和，故其極限為 \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\sqrt{1+x^{2}}\Big|_{0}^{2} = \sqrt{5}-1 。 請問第3題...
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