96玉里高中的一題
若\( x,y,z \in R \)，\( y+z=1 \)且\( x^2+y^2+z^2=1 \)則x的範圍為何？正確的解法：
易知\( y^2+z^2+2yz=1 \)所以\( 2yz=x^2 \)
\( 2y(1-y)=x^2 \)再利用判別式，\( \displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2} \)
如果今天學生使用柯西不等式
\( (x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2)\ge (x+y+z)^2=(x+1)^2 \)
找出來的範圍明顯與答案不同，該如何向學生解釋？
做到這題的時候，突然想利用柯西不等式做做看
可是答案明顯不符，如果今天學生問起相關問題
要如何解釋柯西不等式算出來不夠清確的情況?
謝謝各位老師! 請學生檢查"等號"會不會成立
回復 2# thepiano 的帖子
拍謝，自己代的時候眼殘，還想說哪邊出問題!簡單的問題說 XD
謝謝! [quote]原帖由 [i]best2218[/i] 於 2013-5-8 11:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8092&ptid=1599][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
拍謝，自己代的時候眼殘，還想說哪邊出問題!
簡單的問題說 XD
謝謝! [/quote]
柯西應該是用
( y^2+z^2 ) ( 1 + 1 ) 大於等於 ( y + z )^2 作
回復 4# dav 的帖子
不過我想知道的是為什麼這題在這樣的情況下 使用柯西不等式 會有漏洞(當然，可以從檢查等式是否成立來判斷)
那能不能在做這個題目之前，就對兩種方法做好取捨，而不是事後才發現會有瑕疵!
造成差異到底在哪邊?
就像dav老師，他換了這個角度使用柯西不等式就OK! 但是原始的卻不行，
想法的不足或者該注意的地方在哪?
謝謝各位老師!
回復 5# best2218 的帖子
找出來的「上界(or 下界)」不一定就會是「最大值(or 最小值)」，還要檢查「等號是否有可能成立」才知道其值是否為最大(或最小)值。
尤其是連續串接好幾個不等式才找到上界(or 下界)時，更要檢查等號是否會同時成立。
ps. 這個觀念在平常教學生不等式的時候，也要常常叮嚀！
例：已知 \(x\) 為 "正整數"，易知 \(x\geq -100\)。
提問那是否表示 \(x\) 的"最小值"為 \(-100\)？
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