102北一女中二招
請下載附件 1.設實數\( a,b,c,d \)滿足\( a^2+b^2=2 \)且\( (c-3)^2+(d-4)^2=1 \)，則\( \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{a & c \cr b & d} \Bigg\vert\; \)的最大值為？
若\( a^2+b^2=1 \)，\( c^2+d^2=1 \)，\( \displaystyle ac+bd=\frac{1}{2} \)，則\( \displaystyle \Bigg\vert\; \matrix{a & c \cr b & d} \Bigg\vert\; \)之值為？
(99中正預校，[url=https://math.pro/db/thread-990-1-1.html]https://math.pro/db/thread-990-1-1.html[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2013-5-4 10:49 PM 編輯 [/i]]
計算題第四題
我算的答案是2√2+√3 希望是對ㄉ~~~~ [quote]原帖由 [i]drexler5422[/i] 於 2013-5-7 03:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8070&ptid=1590][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]我算的答案是2√2+√3 [/quote]
標準答案! 想請教第3,4和6題 謝謝
回復 5# 阿光 的帖子
第 3 題：\(M\) 內的任何一個元素，都會出現在 \(M\) 的某 \(2^9\) 個子集合中，
因此，所求＝\(\displaystyle\left(-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10\right)\cdot2^9=2560.\)
第 6 題：
\(a\) 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）
\(\displaystyle =2^3+\frac{4^3-2^3}{2}=36\)
\(b\) 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）
\(\displaystyle =2^3\left(H_4^2+H_2^2+H_0^2\right)+\frac{4^3H_4^4-2^3\left(H_4^2+H_2^2+H_0^2\right)}{2}\)
\(\displaystyle =72+\frac{2240-72}{2}=1156\)
回復 5# 阿光 的帖子
第 4 題：\(1!\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdot5!\cdot6!\cdots35!\cdot36!=\left(1!\right)^2\cdot2\cdot\left(3!\right)^2\cdot4\cdot\left(5!\right)^2\cdot6\cdots\left(35!\right)^2\cdot36\)
\(=\left(1!3!5!\cdots35!\right)^2\cdot\left(2\cdot4\cdot6\cdots36\right)\)
\(=\left(1!3!5!\cdots35!\cdot2^9\right)^2\cdot\left(18!\right)\)
可見，拿掉 \(18!\) 可使得剩下各元數乘積為完全平方數。
不過，如何證明沒有其它的解呢？（唯一性）有勞各位大俠了。 :D
回復 7# weiye 的帖子
第四題，幫補刀(唯一性)。若有另一解 \( k'!>18! \)，則 \( \frac{k'!}{18!} \) 為完全平方數。
而 19 為質數，且 \( 19 \mid \frac{k'!}{18!} \) 但 \( 19^2 \not| \frac{k'!}{18!} \)，得矛盾。
(\nmid 失效，那個是不整除)
故不存在這樣的 \( k'!>18! \)。
若有另一解 \( k''!<18! \) 則 \( \frac{18!}{k''!} \) 為完全平方數。
易驗 \( k''!=17! \) 不合，故 \( k''!<17! \)
而有 \( 17 \mid \frac{18!}{k''!} \) 但 \( 17^2 \not| \frac{18!}{k''!} \)，得矛盾。
故亦不存在這樣的 \( k''<18 \)。
綜合以上二情況，得僅有 \( k=18 \) 之唯一解
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-14 02:33 PM 編輯 [/i]] 想請教drexler5422提供的計算題
感謝
回復 9# ilikemath 的帖子
請參考附件![[i] 本帖最後由 Joy091 於 2013-8-15 11:25 PM 編輯 [/i]] 請問 填充題 1.
回復 11# martinofncku 的帖子
填充第 1 題：令向量 \(\vec{u}=(a,b), \vec{v}=(c,d)\)
則如下圖當此兩向量互相垂直，且 \(\vec{v}\) 有最大長度時，
[attach]1968[/attach]
可得兩者所張的平行四邊形面積有最大值為 \(\displaystyle\sqrt{2}\cdot\left(1+\sqrt{3^2+4^2}\right)=6\sqrt{2}\)
回復 6# weiye 的帖子
a 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異），請問這裡的相同，是同"為空"的意思嗎？而相異是"非空"的意思嗎？
b 所求方法數＝n（兩黃色袋子內的卡片相同）＋n（兩黃色袋子內的卡片相異）
H(2,4)
H(2,2)
H(2,0)
請教這些代表的意義，感謝。
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