102台中女中
[color=Blue]計算證明題[/color][color=Red]第一題(8分)[/color]，數據忘了，等價於【高中數學101】P.235的第6題，答案是5。
[color=Red]第二題(10分)[/color]，數據 \(\Large \sqrt{2},\sqrt{4},\sqrt{6},...,\sqrt{2n}\) 的算術平均為 \(\Large A_{n}\) ，標準差為 \(\Large \sigma_{n}\) 。求 \(\displaystyle \Large \lim_{n \to \infty}\frac{\sigma_{n}}{A_{n}}\)=?
[color=Red]第三題(10分)[/color]，函數 \( f(x)=x^3+ax\) 上以 P(?,?) 為切點的法線亦為此函數的切線。證明：實數 \(a>1\)。 (不太確定 ^^!!)
[[i] 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 11:37 AM 編輯 [/i]] [color=Blue]填充第8題[/color]
經過疊代可觀察出 \(x_n=10^n+4^n \cdot a\) 和 \(y_n=10^n-4^n \cdot a\)
因此所求 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{2}{n}log\overline{OP_n}=\lim_{n \to \infty}log\sqrt[n]{100^n+16^n \cdot a}=log100=2\)
[color=Red]備註[/color]：如果不經過疊代的話，也可以用遞迴關係式來推。
由 \(x_{n+1}=7x_n+3y_n\) 和 \(y_{n+1}=3x_n+7y_n\) 可求得 \(x_{n+1}+y_{n+1}=10(x_n+y_n)\)
因此 \(\{x_k+y_k\}\) 為等比數列，且首項 \(x_0+y_0=2\)，所以一般項為 \(x_n+y_n=2 \cdot 10^n\)
然後再由 \(x_{n+1}=7x_n+3y_n\) 將 \(y_n\) 替換掉可得 \(\{x_k\}\)的遞迴關係式為 \(x_{n+1}=4x_n+6 \cdot 10^n\)
......以下省略 ^^!!
只是這樣的方法有點慢，還是觀察比較快，呵呵
不過小弟在考場就是用遞迴在推，而且當時還推不出來，殘念 @@
同事是用矩陣論解這題，但線代忘光了，待人補吧 ^^
[[i] 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:31 PM 編輯 [/i]] [color=Blue]填充第12題[/color]
\(\displaystyle\left[\frac{10^{2010}+2011}{10^{670}+1}\right]\)
\(\displaystyle=\left[\frac{[(10^{670})^3+1]+2010}{10^{670}+1}\right]\)
\(\displaystyle=\left[(10^{670})^2-(10^{670})+1+\frac{2010}{10^{670}+1}\right]\)
\(\displaystyle=(10^{670})^2-(10^{670})+1+\left[\frac{2010}{10^{670}+1}\right]\)
\(\displaystyle=10^{1340}-10^{670}+1\)
\(\displaystyle=......001\)
[[i] 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:47 PM 編輯 [/i]]
回復 2# poemghost 的帖子
來幫補一下特徵值的方法填充 8.
\( \begin{bmatrix}x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7 & 3\\
3 & 7
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{n}\\
y_{n}
\end{bmatrix} \)，令 \( A=\begin{bmatrix}7 & 3\\
3 & 7
\end{bmatrix} \)。
則 \( A \) 的特徵多項式為 \( (x-7)^{2}-3^{2}=(x-10)(x-4) \)。故其特徵值為 \(10, 4\)，
分別對應之特徵向量為 \( \begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix}1\\
-1
\end{bmatrix} \)。而 \( \begin{bmatrix}x_{1}\\
y_{1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}+a\begin{bmatrix}1\\
-1
\end{bmatrix} \)。
故 \( \begin{bmatrix}x_{n}\\
y_{n}
\end{bmatrix}=10^{n}\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}+4^{n}\begin{bmatrix}a\\
-a
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10^{n}+4^{n}\cdot a\\
10^{n}-4^{n}\cdot a
\end{bmatrix} \)。
而 \( \frac{2}{n}\log\overline{OP_{n}}=\frac{1}{n}\log\left(\overline{OP_{n}}^{2}\right) \)， \( \overline{OP_{n}}^{2}=10^{2n}\cdot(2+t_{n}) \)，其中 \( t_n\to0 \), as \( n\to\infty \)。
故 \( \lim\limits _{n\to\infty}\frac{2}{n}\log\overline{OP}=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{2n}{n}+\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\log(2+t_{n})}{n}=2 \)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 03:24 PM 編輯 [/i]]
請教大家
想請教填充3,4,7題回復 5# jyge 的帖子
填 3.注意 \( x^{7}=-1 \) 的根為 \( \omega, \omega^{3}, \omega^{5}, \omega^{7}, \omega^{9}, mega^{11},\omega^{13} \)，其中 \( \omega^{7}=-1 \)。
分解 \( x^{7}+1=(x+1)(x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1) \)。
因此 \( (x-\omega)(x-\omega^{3})(x-\omega^{5})(x-\omega^{7})(x-\omega^{11})(x-\omega^{13})=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1 \)。
由餘式定理得，所求為 \( f(2)=43 \)。
填 4. \( f(-4) \) 的正負，可由最高次項決定 (可視為 4 進制)
因此若最高次數是 \( 6 \) 次，則有 \( 3^6 \) 個，同理若最高為 \( 5 \) 次，則有 \( 3^5 \) 個...
故總有 \( 3^6+3^5+\ldots+3+1 = 1093 \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 06:38 PM 編輯 [/i]] [color=Blue]填充第4題[/color]
若 \(a_6=-1\) ，則不論 \(a_5,...,a_0\) 怎麼選，結果都不合。
若 \(a_6=1\) ，則不論 \(a_5,...,a_0\) 怎麼選，結果都合，所以共有 \(3^6\) 種。
[color=Red]若 \(a_6=0\) ，則換討論 \(a_5\) 。[/color]
若 \(a_5=-1\) ，則不論 \(a_4,...,a_0\) 怎麼選，結果都不合。
若 \(a_5=1\) ，則不論 \(a_4,...,a_0\) 怎麼選，結果都合，所以共有 \(3^5\) 種。
[color=Red]若 \(a_5=0\) ，則換討論 \(a_4\) 。[/color]
......
依此類推，即可知此題的答案為 \(3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3^1+1=1093\)
[[i] 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 07:05 PM 編輯 [/i]] 請教各位填充第5、9題，(第9題我不知道在哪裡算過一次 @@!!) 2.
給定數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)滿足\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_1=\frac{1}{2} \cr a_n=3a_{n-1}-2(-1)^{n-1}},n=2,3,4,\ldots \)。試問\( a_{102} \)為[u] [/u]位數。
[提示]
\( \displaystyle a_n-\frac{1}{2}(-1)^n=3(\; a_{n-1}-\frac{1}{2}(-1)^{n-1} )\; \)
設\( 4a_n=a_{n-1}+4 \)，且\( a_1=1 \)，則\( a_n \)的一般式為？
(93國立大里高中，[url]https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html[/url])
遞迴數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)，已知\( a_1=3 \)，且\( 5a_{n+1}=3a_2+2 \),( \( n \ge 2 \),\( n \in N \) )，則\( a_n \)之一般式為？
(99中興高中，[url]https://math.pro/db/thread-1013-1-1.html[/url])
已知\( a_1=1 \)，\( a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \)，( \( n \in N \) )；則\( a_n= \)？
(100麗山高中，[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=6448#p6443[/url])
11.
\( \displaystyle \frac{3^4+2^6}{7^4+2^6}\times \frac{11^4+2^6}{15^4+2^6}\times \frac{19^4+2^6}{23^4+2^6}\times \frac{27^4+2^6}{31^4+2^6}\times \frac{35^4+2^6}{39^4+2^6}\times \frac{43^4+2^6}{47^4+2^6}= \)？
[提示]
\( n^4+4 \times 2^4=[(n-2)^2+2^2][(n+2)^2+2^2] \)
(100中科實中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=1#pid3144[/url])
12.
求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2010}+2011}{10^{670}+1} \Bigg]\; \)的末三位數字為？
試求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2001}}{10^{667}+2002} \Bigg]\; \)的末四位數，其中[x]表示小於或等於x的最大整數。
(2002TRML團體賽，96中一中)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
5.
求由五個平面：\( 2x+2y+z=9 \)、\( x+2y+2z=9 \)、\( x=0 \)、\( y=0 \)及\( z=0 \)所圍成之立體圖形的體積為？
[解答]
\( 2x+2y+z=9 \)交\( x \)軸於\( \displaystyle F(\frac{9}{2},0,0) \)，交\( y \)軸於\( \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) \)，交\( z \)軸於\( A(0,0,9) \)
\( x+2y+2z=9 \)交\( x \)軸於\( \displaystyle B(9,0,0) \)，交\( y \)軸於\( \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) \)，交\( z \)軸於\( \displaystyle D(0,0,\frac{9}{2}) \)
兩平面還相交於\( E(3,0,3) \)
ODEF在xz平面上的點坐標依次為\( (0,0) \)、\( \displaystyle (0,\frac{9}{2}) \)、\( (3,3) \)、\( \displaystyle (\frac{9}{2},0) \)
四邊形ODEF面積為\( \displaystyle =\frac{1}{2} \Bigg\Vert\; \matrix{0 & 0 & 3 & \frac{9}{2} & 0 \cr 0 & \frac{9}{2} & 3 & 0 & 0} \Bigg\Vert\;=\frac{27}{2} \)
ODEFC體積為\( \displaystyle =\frac{1}{3} \times \frac{27}{2} \times \frac{9}{2}=\frac{81}{4} \)
[請教]除了5,9我也想請教第10題..還有計2.@@
謝謝[[i] 本帖最後由 natureling 於 2013-5-4 08:41 PM 編輯 [/i]]
回復 8# poemghost 的帖子
填充 9. 一般常問的都是內心或重心其實方法是一樣的，就是先把 \( \overrightarrow{AH} \) 向成 \( \overrightarrow{AB} \) 和 \( \overrightarrow{AC} \) 的線性組合 (利用內積和正射影的關聯)
再令 \( AB =\alpha AD\), \( AC = \beta AE \)，將 \( \overrightarrow{AH} \) 寫成 \( \overrightarrow{AD} \) 和 \( \overrightarrow{AE} \) 的線性組合
由三點共線的 (係數和為 1)，再配上算幾不等式，即可得之。
回復 10# natureling 的帖子
填 10.不妨假設四個對角線所形成的向量為 \( (1,1,1) \), \( (1,1,-1) \), \( (1,-1,1) \), \( (-1,1,1) \)，及 \( | \vec{v} | = 1 \)
則 \( \cos^2 \) 夾角之值分別為 \( \frac{(x+y+z)^2}{3}, \frac{(x+y-z)^2}{3}, \frac{(x-y+z)^2}{3}, \frac{(-x+y+z)^2}{3} \), ..
展開相加可得 \( \frac{(x+y+z)^{2}+(x+y-z)^{2}+(x-y+z)^{2}+(-x+y+z)^{2}}{3} = \frac{4}{3} \)
另外，如果是考試的填充題，乾脆偷吃步假設 \( \vec{v} = (1,0,0) \)，即可得此定值
計算 2. 考驗極限的功力
\( A_{n}=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\sqrt{2k}=\sqrt{2n}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sqrt{\frac{k}{n}}\Rightarrow\frac{A_{n}}{\sqrt{2n}}\to\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx=\frac{2}{3} \)。
\( \sigma_{n}=\sqrt{\frac{1}{n}\left(\sum\limits _{k=1}^{n}2k-nA_{n}^{2}\right)}=\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\left(n(n+1)-nA_{n}^{2}\right)}=\sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}-\frac{A_{n}^{2}}{n}} \)
由 \( \frac{A_{n}}{\sqrt{2n}} \to \frac{2}{3} \Rightarrow\frac{A_{n}^{2}}{n}\to\frac{8}{9} \)
所以 \( \frac{\sigma_{n}}{\sqrt{n}}\to\frac{1}{3} \)。
所求 \( \lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sigma_{n}}{A_{n}}=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sigma_{n}}{\sqrt{n}}\cdot\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{A_{n}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} \)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 09:26 PM 編輯 [/i]]
請教 填充7
謝謝回復 10# natureling 的帖子
填充 5. 9# bugmens 大已解但敝人還是獻醜，來個劣解：
其圖形為第一卦限和兩平所圍出的區域，若固定某個 \( (x,y) \)，為該區域某一線段，起終點為 \( (x,y,0) \) 和 \( (x,y,z) \)，其中 \( z=\min\{9-2x-2y,\frac{9-x-2y}{2}\} \)。而體積為 \( \int\int\limits _{x,y,z\geq0}zdxdy \)
而積分區域可寫為 \( \{(x,y)\mid x,y,z\geq0\}=\{(x,y)\mid x\geq0,y\geq0,2x+2y\leq9\} \)
對 \( z \) 改寫成分段形式 \( z=\begin{cases}
9-2x-2y & \mbox{, if }3x+2y>9\\
\frac{9-x-2y}{2} & \mbox{, if }3x+2y\leq9
\end{cases} \)，故積分範圍亦一分為二如下：
\( \int\int\limits _{x,y,z\geq0}zdxdy=\int_{0}^{\frac{9}{2}}\int_{0}^{\frac{9-2y}{3}}\frac{9-x-2y}{2}dxdy+\int_{0}^{\frac{9}{2}}\int_{\frac{9-2y}{3}}^{\frac{9-2y}{2}}(9-2x-2y)dxdy=\frac{81}{4} \)
回復 5# jyge 的帖子
填充 7. 不好做的一題，以下動用了三角代換和微積分，是否有其它漂亮的作法，就有待其它高手了設 \( L \) 和 \( x \) 軸的銳夾角為 \( \theta \)，則 \( \overline{OA}+\overline{OB}+\overline{AB}=(1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta) \)。
令 \( \phi=\frac{\theta}{2} \)，\( \tan\phi=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=(\cot\theta+\csc\theta)^{-1} \), \( \tan(\frac{\pi}{4}-\phi)=\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}=(\tan\theta+\sec\theta)^{-1} \)。
故 \( (1+\tan\theta+\sec\theta)+2\cdot(1+\cot\theta+\csc\theta)=3+\tan(\frac{\pi}{4}+\phi)+2\tan(\frac{\pi}{2}-\phi) \)
解其微分為 0：\( \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)=0\Rightarrow\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+\phi)=\cos(\frac{\pi}{2}-\phi) \)
(其中 \( 0<\theta<\frac{\pi}{2}\Rightarrow0<\phi<\frac{\pi}{4} \Rightarrow \) 此二餘弦皆正)
上式可化簡為 \( \cos\phi-\sin\phi=\sin\phi\Rightarrow\tan\phi=\frac{1}{2} \)。
又 \( \sec^{2}(\frac{\pi}{4}+\phi)-2\sec^{2}(\frac{\pi}{2}-\phi)\nearrow \) in \( (0,\frac{\pi}{4}) \)，故此 \( \phi=\tan^{-1}\frac{1}{2} \) 為最小值發生之處。
\( \tan(\frac{\pi}{4}+\phi)=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3, \tan(\frac{\pi}{2}-\phi)=(\tan\phi)^{-1}=2 \)，故最小值 \( =3+3+4=10 \)。
回復 12# tsusy 的帖子
計算2參考寸絲大的作法，再將兩個極限作一次寫 填充第7題不知道是否有較簡單的解法
回復 17# 阿光 的帖子
可以參考 thepiano 大在美夢成真的解法[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3015&sid=a33cb401d68849386573b2d0c26eeb2b]http://www.shiner.idv.tw/teachers/...[/url]
作法大致相同，但他用的參數是 \( t = \tan \frac{\theta}{2} \)，更為簡捷漂亮。
回復 7# poemghost 的帖子
我覺得可能忘了加負號，若a5=-1時，則不論 a4,.....,a0 怎麼選，結果都合，所以共有 3^5 種。 填7 (待定係數法)
ps. 我的同事 任爸 提供的解法
設A(a,0),B(0,b), a,b為正實數,
直線AB 截距式 為 \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \)
代入(2,1) 得
#1# \( \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1 \)
所求為 a+b+ \( \sqrt{a^2+b^2} \)
欲將 \( \sqrt{a^2+b^2} \) 以 不等式 去掉 礙眼的 根號
故 自令 一組 待定係數 正實數 p,q ,滿足
#2# \( p^2+q^2=1 \)
柯西
\( \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{p^2+q^2} \ge a p +b q \)
即 \( \sqrt{a^2+b^2} \ge a p +b q \)
等號成立於
#3# \( \frac{a}{p}=\frac{b}{q} \)
故所求
a+b+ \( \sqrt{a^2+b^2} \)
\( \ge a+b+ a p+b q = (1+p)a+(1+q)b \)
\( = [(1+p)a+(1+q)b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} ) \)
\( \ge ( \sqrt{2(1+p)} + \sqrt{1+q} )^2 \) ps. 至此為與 a, b 無關之常數(亦即 只要p與q定得出來,這就是最小值)
上行的等號成立於
\( \frac{(1+p)a}{\frac{2}{a}}=\frac{(1+q)b}{\frac{1}{b}} \) 即
#4# \( (1+p)a^2= 2 (1+q)b^2 \)
將 #3# 平方得
#5# \( \frac{a^2}{p^2}=\frac{b^2}{q^2} \)
將 #4# 除以 #5# 得
#6# \( p^2(1+p)=2 q^2(1+q) \)
將 #2# 代入 #6# 得
\( (1-q^2)(1+p)=2 (1-p^2)(1+q) \)
約分得 2p-q=1
將上式 代入 #2# \( p^2+q^2=1 \)
所待定的係數已定出 \( p=\frac{4}{5} , q=\frac{3}{5} \)
此時 \( a=\frac{10}{3} , b=\frac{5}{2} \)
為了將過程盡量解釋清楚,
所以篇幅很長,請見諒.
結束前,整理一遍
OA+OB+AB
\(= a+b+ \sqrt{a^2+b^2} \)
\(= a+b+ \sqrt{a^2+b^2} \cdot (p^2+q^2) \)
\( \ge a+b+ a p+b q = (1+p)a+(1+q)b = [(1+p)a+(1+q)b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} ) \)
\( \ge ( \sqrt{2(1+p)} + \sqrt{1+q} )^2 \)
= 10 為 最小值
---------- 正經文 結束 以下是惡搞 ----------
這時 如果要唬人
可以寫成
OA+OB+AB
\( = a+b+ \sqrt{a^2+b^2} \)
\( = a+b+ \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{(\frac{4}{5})^2+(\frac{3}{5})^2} \)
\( \ge a+b+ ( \frac{4}{5} a +\frac{3}{5} b ) = \frac{9}{5} a+ \frac{8}{5} b \)
\( = [\frac{9}{5} a+ \frac{8}{5} b] \cdot (\frac{2}{a}+\frac{1}{b} ) \)
\( \ge ( \sqrt{\frac{18}{5}} + \sqrt{\frac{8}{5}} )^2 \)
= 10 得 最小值
[[i] 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2013-5-14 06:10 PM 編輯 [/i]]
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