102文華高中
試題及答案，如附件。計算題：
（資料來源：[url]http://www.ptt.cc/bbs/studyteacher/M.1367072177.A.40A.html[/url] ）
1.平面上有三定點ABC及一圓，其圓心為O點，半徑為r，
若AOBC為平行四邊形，其中直線AB與圓不相交，若圓
上有一點P，使得(線段PA)^2+(線段PB)^2為最小時，
(1)試證：P點為OC與圓的交點
(2)試利用OA、OB、OC、r來表示(線段PA)^2+(線段PB)^2的最小值
2.橢圓的焦點為AC兩點、橢圓上有BD兩點
其中四邊形ABCD的四個邊長乘積為2013
且BAD=60度，BCD=120度，求ABCD面積 2.
求下列的級數和：\( 1 \times 2+(1 \times 2+2 \times 3)+(1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4)+\ldots+(1 \times 2+2 \times 3+3 \times 4+\ldots+(n-1)\times n) \)
類題
\( 1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+...+17(1+3+6+...+153)= \)？
(101中正高中二招，[url]https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html[/url])
因為102文華高中這題問的是一般項，用差分來算的話最後會得到\( \displaystyle a \times C_0^n+b \times C_1^n+c \times C_2^n+d \times C_3^n+e \times C_4^n \)，整理答案時因式分解反而又變得更麻煩
11.
設\( \displaystyle f(a,b)=(61-a-28b)^2+(62-a-29b)^2+(60-a-30b)^2+(58-a-31b)^2+(59-a-32b)^2 \)，當\( f(a,b) \)有最小值時，求此時數對\( (a,b)= \)？
[解答]
對\( f(a,b) \)的a偏微分得
\( 2(61-a-28b)(-1)+2(62-a-29b)(-1)+2(60-a-30b)(-1)+2(58-a-31b)(-1)+2(59-a-32b)(-1) \)
\( =-2[(58+59+60+61+62)-5a-(28+29+30+31+32)b] \)
\( =-2(300-5a-150b)=-10(60-a-30b)=0 \)
得\( a=60-30b \)代入原式
\( (61-60+30b-28b)^2+(62-60+30b-29b)^2+(60-60+30b-30b)^2+(58-60+30b-31b)^2+(59-60+30b-32b)^2 \)
\( =(1+2b)^2+(2+b)^2+(-2-b)^2+(-1-2b)^2 \)
\( \displaystyle =10b^2+16b+10=10(b+\frac{4}{5})^2+\frac{18}{5} \)
當\( \displaystyle b=-\frac{4}{5} \)，\( \displaystyle a=60-30\times \frac{-4}{5}=84 \)時，\( f(a,b) \)有最小值
類題
Find the minimum value of \( 2x^2+2y^2+5z^2-2xy-4yz-4x-2z+15 \) for real numbers x, y, z.
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=166&year=2006[/url])
這題可以湊成完全平方式求得最小值，假若一時之間看不出來該怎麼湊的話
分別對x,y,z作偏微分，三個式子解出來的x,y,z就會讓原式有最小值
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1924[/url]
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第 11 題：（應該可以看得出來題目中的 \(f(a,b)\) 就是用最小平方法求迴歸直線時的「殘差平方和」）五個數據 \((x_i,y_i) 為 (28, 61), (29,62), (30, 60), (31, 58), (32, 59)\) 以最小平方法所得之迴歸直線 \(y=a+bx\)
此迴歸直線必通過 \((\overline{x}, \overline{y}) = (30, 60)\)
且斜率為 \(\displaystyle \frac{\sum\limits_{i=1}^5 \left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)}{\sum\limits_{i=1}^5 \left(x_i-\overline{x}\right)^2}=\frac{(-2)\cdot1+(-1)\cdot2+0\cdot0+1\cdot(-2)+2\cdot(-1)}{2^2+1^2+0^2+1^2+2^2}=\frac{-4}{5}\)
因此，此迴歸直線方程式為 \(\displaystyle y-60=\frac{-4}{5}\left(x-30\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow y=84-\frac{4}{5}\)
\(\displaystyle \Rightarrow (a,b)=(84, -\frac{4}{5})\)
註：另外一個求迴歸直線 \(a+bx=y\) 的公式 \(\displaystyle \left\{\begin{matrix} \displaystyle \left(\sum_{i=1}^n 1\right)a+ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)b=y_i\\ \left(\sum_{i=1}^n 1\cdot x_i\right)a+ \left(\sum_{i=1}^n x_i\cdot x_i\right)b=y_i\cdot x_i \end{matrix}\right.\) 如下篇回覆被寸絲給解走了～ＸＤＤ
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11. 偏微分被先用了，那就來個另解令 \(A=\begin{bmatrix}1 & 28\\
1 & 29\\
1 & 30\\
1 & 31\\
1 & 32
\end{bmatrix}, b=[61 62 6 58 59]^T, x = [a b]^T \)
則 \( A^{T}Ax=A^{T}b \)，其中 \( A^T \) 為 A 的轉置
透過平方公式 \( (30+k)^2 \) 和分配律 \( (30+k)(60+l) \)，計算上式之矩陣乘法得
\( \begin{bmatrix}5 & 150\\
150 & 4510
\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}300\\
8992
\end{bmatrix} \) 易解得 \( x = [84 -0.8]^T \) 想先請教5，7，9，13，
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第5題因為x,y,z最多為三位數，所以a的可能值與(x,y,z)解的個數相同
\(\displaystyle 360=2^3 \times 3^2 \times 5 \)
每個質因數必須有人取到最高次，所以是
\(\displaystyle (4^3-3^3)(3^3-2^3)(2^3-1^3)=4921 \)
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第 5 題：因為 \(x,y,z\) 的最小公倍數為 \(360\)，
所以可以知道 \(x,y,z\) 三數皆頂多為三位數，
因此 \(a\) 的可能值個數 與有序數組 \((x,y,z)\) 的可能組數一樣多。
\(360=2^3\cdot3^2\cdot5\)
先來研究 \(2^3\) 的可能分布情形，\(x,y,z\) 中至少有一個數恰含 \(2^3\) 的因數（其他數中 \(2\) 的次方數皆小於或等於 \(3\)），
因此 \(2^3\) 這個因數的分配可能有 \(C^3_1\cdot (3+1)^2-C^3_2\cdot(3+1)+C^3_3 = 37\) 種
同理，\(3^2\) 這個因數的分配可能有 \(C^3_1\cdot (2+1)^2-C^3_2\cdot(2+1)+C^3_3 = 19\) 種
\(5^1\) 這個因數的分配可能有 \(C^3_1\cdot (1+1)^2-C^3_2\cdot(1+1)+C^3_3 = 7\) 種
所以，滿足條件的有序數組 \((x,y,z)\) 有 \(37\times19\times7=4921\) 組數，
即 \(a\) 的可能值個數有 \(4921\) 個。
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第7題令 \( a,b,c,d,e,p \) 分別表示A,B,C,D,E,P所代表的複數
\(\displaystyle z^5-i=(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)(z-e) \)
所求為
\(\displaystyle |p-a||p-b||p-c||p-d||p-e|=|(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(p-e)|=|p^5-i|=|-4-5i|=\sqrt{41} \)
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7. \( z^{5}-i=(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})(z-z_{4})(z-z_{5}) \)，\( z=1+i \) 代入，取絕對值，得所求 \( =|-4-5i|=\sqrt{41} \) 。
填 13. \( f(x)=(x-1)^2 \cdot\frac{1}{1-(x-1)}=(x-1)^2\cdot(1+(x-1)+(x-1)^{2}+\ldots)=\sum\limits _{k=2}^{\infty}(x-1)^{k} \), for 0<|x-1|<1。
(筆誤：漏了平方，已補上)
故 \( f^{(5)}(1)=5! \), \( f^{(7)}(1)=7! \)，所求 \( =\frac{7!}{5!}=42 \) 。
(應該要用到泰勒展開式，以及此冪級數的唯一性)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-29 11:01 PM 編輯 [/i]]
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第 7 題：令 \(z^5-i=0\) 的五根為 \(z_1, z_2, z_3, z_4, z_5\)，且令 \(z_0=1+i\)
則 \(z^5-i = \left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)\left(z-z_3\right)\left(z-z_4\right)\left(z-z_5\right)\)
\(\Rightarrow \overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}\cdot\overline{PE}\)
\(=\left|z_0-z_1\right|\cdot\left|z_0-z_2\right|\cdot\left|z_0-z_3\right|\cdot\left|z_0-z_4\right|\cdot\left|z_0-z_5\right|\)
\(=\left|z_0^5-i\right|\)
\(=\left|\left(1+i\right)^5-i\right|\)
\(=\left|\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)-i\right|\)
\(=\left|\left(2i\right)\cdot\left(2i\right)\cdot\left(1+i\right)-i\right|\)
\(=\left|-5i-4\right|\)
\(=\sqrt{41}\)
後註：我（回覆）怎麼總慢一步～囧rz...... 第9題
\(\displaystyle a_1=1+1+2+1+2=7 \)
\(\displaystyle na_n=C_3^{n+2}+n^3+2n^2+n+2-C_3^{n+1}-(n-1)^3-2(n-1)^2-(n-1)-2 \)
\(\displaystyle =C_2^{n+1}+(3n^2-3n+1)+2(2n-1)+1 \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}(7n^2+3n) \)
所以 \(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}(7n+3) \)
所求為
\(\displaystyle 7+\sum_{k=2}^{10}\frac{1}{2}(7k+3) \)
\(\displaystyle =7+\frac{1}{2}(\frac{7}{2} \cdot 10 \cdot 11+30-10)=\frac{419}{2} \)
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瑋岳老師回得比較詳細 嗯謝謝大家！ 想再請教16。謝謝。 感謝解題的高手。不好意思，小弟想請教填充12與14題。
謝謝
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填充16，用導函數的定義去做就可以囉。\( \displaystyle f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle \frac{x(x-2)(x-4)\ldots (x-100)}{(x+1)(x+2)\ldots (x+50)}}{x}=\frac{(-2)(-4)\ldots (-100)}{1 \times 2 \times \ldots \times 50}=2^{50} \) 填充第 2 題：
先看一般項 \(\displaystyle \sum_{k=1}^m k(k+1) = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^m \Bigg(k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)\Bigg) = \frac{1}{3}m(m+1)(m+2)\)
所求＝\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n-1} \Bigg(k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\Bigg) = \frac{1}{12}(n-1)n(n+1)(n+2)\)
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第14題將A點以x軸為轉軸旋轉至xy平面上，得到A'(6,-5,0)
將B點以y軸為轉軸旋轉至xy平面上，得到B'(-5,8,0)
所求即為 \( A'B'=\sqrt{11^2+13^2}=\sqrt{290} \)
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第12題三數相加後減25為此數的倍數
\( 63+91+129-25=258 \)
\( 258=2 \times 3 \times 43 \)
檢查一下知此數為43
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第 12 題：設題目所求之數為 \(a\)，且三次除法的商數與餘數分別為 \(q_1,q_2,q_3\) 與 \(r_1, r_2, r_3\)，則
\(63 = a\cdot q_1 + r_1\)
\(91 = a\cdot q_2 + r_2\)
\(129 = a\cdot q_3 +r_3\)
\(\Rightarrow 283 = a(q_1+q_2+q_3) + 25\)
\(\Rightarrow a(q_1+q_2+q_3) = 258\)
\(\Rightarrow a \Bigg| 258\)
且因為 \(258=2\cdot3\cdot43\) 以及 \(a\leq 63\)（否則餘數 \(r_1\) 就會是 \(63\)，超過 \(25\) 了）
且由 \(25=r_1+r_2+r_3<3a\Rightarrow a>8\)，可得 \(a=43\)