102復興高中
試題如附件。 5.若\( \displaystyle x_{n+1}=\frac{n+2}{n}x_n+\frac{1}{n} \)，且\( x_1=0 \)，則\( x_n= \)？[解答]
同乘n倍，\( n x_{n+1}=(n+2)x_n+1 \)
假設k為常數，\( n(x_{n+1}-k)=(n+2)(x_n-k) \)，展開比較係數得\( \displaystyle k=-\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle n(x_{n+1}+\frac{1}{2})=(n+2)(x_n+\frac{1}{2}) \)
\( \displaystyle x_{n+1}+\frac{1}{2}=\frac{n+2}{n}(x_n+\frac{1}{2}) \)
\( \displaystyle x_{n}+\frac{1}{2}=\frac{n+1}{n-1}(x_{n-1}+\frac{1}{2}) \)
\( \displaystyle x_n+\frac{1}{2}=\frac{n+1}{n-1}\cdot \frac{n}{n-2}\cdot \frac{n-1}{n-3}\cdot \ldots \frac{5}{3}\cdot \frac{4}{2}\cdot \frac{3}{1}(x_1+\frac{1}{2}) \)
\( \displaystyle x_n+\frac{1}{2}=\frac{n(n+1)}{4} \)
\( \displaystyle x_n=\frac{n^2+n-2}{4} \)
類題
若數列\( \{\; a_n \}\; \)滿足遞推關係式\( \displaystyle a_{n-1}=\frac{2n-1}{2n-3}a_n \)( \( n=1,2,\ldots \) )且\( \displaystyle a_1=\frac{1}{3} \)，求數列的通項
(初等代數研究P226)
這題不用求常數k是多少，直接連乘將\( a_n \)求出來
\( \displaystyle a_1=\frac{1}{2} \)，\( \displaystyle a_n=\frac{n-1}{n+1}a_{n-1}+\frac{2}{n+1} \)，求\( a_n= \)？
[url]https://math.pro/db/thread-1257-1-1.html[/url]
[提示]
同乘\( n+1 \)倍，\( (n+1)a_n=(n-1)a_{n-2}+2 \)
假設k為常數，\( (n+1)(a_n-k)=(n-1)(a_{n-1}-k) \)，展開比較係數得\( k=1 \)
3.
設過原點\( (0,0) \)有三條直線與\( y=x^3+px^2+1 \)所表示之圖形相切，則實數p值的範圍。
設過原點\( (0,0) \)有三條相異直線與\( f(x)=x^3+kx^2+1 \)相切，則實數k值的範圍為。
(100楊梅高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=1#pid4118[/url])
其他的類似題
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1381&page=2#pid6131[/url] 想請問第2題..是0積到pi/2 的sinx積分嗎?@@...
回復 3# natureling 的帖子
第 2 題：\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\left(\sin\frac{\pi}{2n}+\sin\frac{2\pi}{2n}+\sin\frac{3\pi}{2n}+\cdots+\sin\frac{n\pi}{2n}\right)\)
\(\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\frac{1}{n}\)
\(\displaystyle = \frac{2}{\pi}\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\frac{\displaystyle\frac{\pi}{2}-0}{n}\)
\(\displaystyle = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2} \sin(x) dx\)
\(\displaystyle = \frac{2}{\pi}\left(-\cos x\right)\Bigg|_0^{\pi/2}\)
\(\displaystyle = \frac{2}{\pi}\)
註：下圖是 \(n=10\) 時，
[attach]1632[/attach] 第8題這個題目,很久以前曾經當過益智問題想過
當時曾經有把它聯想成 一筆畫的問題(但後來就 不去想了)
我知道這題 答案應該是 無法完成的(最好的狀況都還是會剩下一格)
想請教
是否有人知道該如何回答第8題
回復 5# GGQ 的帖子
塗成西洋棋盤，假定四個角落都是黑色，那麼有13個黑12個白，
從白色開始，
過程一定是白黑白黑......
於是最後白色用完時，還有兩個黑，故不可能。 想請教各位先進老師第3、4、7題，謝謝。
回復 7# raint 的帖子
3. #2 應該有了4. # 令切點，算切線，算截距，算距離，柯西
或是[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1192&page=2#pid4152]100北港高中[/url] 也有這題
7. 先證「\( 2^{y}\geq1+y \), for any \( y\geq1 \)，且等號僅當 \( y=1 \) 時成立。」
↑自己微分，就會微出來
然後算幾：\( \frac{\sum\limits _{i=1}^{n}(1+b_{i})}{n}\geq\left[\prod\limits _{i=1}^{n}(1+b_{i})\right]^{\frac{1}{n}}>2^{\frac{m}{n}}\geq1+\frac{m}{n}
\Rightarrow\sum\limits _{i=1}^{n}b_{i}>m \)。 感謝寸絲老師的分享。 請教第一題
先謝謝囉
回復 10# johncai 的帖子
第 1 題：令 \(\vec{v}=(3,1), \vec{u}=(1,3)\)
則 \(\vec{OP}=\sin\alpha\,\vec{v}+\cos\beta\,\vec{u}\)
因為 \(\displaystyle 0\leq\sin\alpha\leq\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\leq\cos\beta\leq1\)
所以，所求＝\(\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-0\right)\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\big|\Bigg|\begin{array}{cc}3&1\\ 1&3\end{array}\Bigg|\big|=4\sqrt{3}-6\)
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