102中正高中
星期二考的有很多問題晚一點來請教>"<
請參閱附件 計算3.
設\( a+b+c=3 \)，\( a^2+b^2+c^2=45 \)
(1)求\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}= \)？
(2)求\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}= \)？
[解答]
(1)
假設\( \displaystyle f(x)=\frac{(x-a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-b)^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{(x-c)^2}{(c-a)(c-b)} \)
\( deg(f(x)) \le 2 \)
\( \displaystyle f(a)=\frac{(a-b)^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{(a-c)^2}{(c-a)(c-b)}=\frac{a-b}{-(b-c)}+\frac{a-c}{-(c-b)}=1 \)
同理\( f(b)=1 \)，\( f(c)=1 \)，可知\( \forall x \in R \)，\( f(x)=1 \)
\( \displaystyle f(0)=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1 \)
這個方法卻無法應用在(2)小題
(2)
\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)} \)
\( =\displaystyle \frac{-a^4(b-c)-b^4(c-a)-c^4(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
用數學軟體因式分解可得
\( =\displaystyle \frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( =a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \)
\( =45+(-18)=27 \)
thepiano的解答[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021[/url]
類題
Simplify：\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} \)
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=166&year=2006[/url])
[答案]
\( a+b+c \)
\( a、b、c \)為相異三實數，試證\( \forall x \in R \)，\( \displaystyle \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}+\frac{(x-b)^2}{(c-b)(a-b)}+\frac{(x-c)^2}{(a-c)(b-c)} \)之值恆為一常數。
(79夜大社會組，新高中數學101修訂版p84)
104.5.2補充
若三次方程式\( x^3-x^2+2x-3=0 \)的三個根分別為\( a,b,c \)，則\( \displaystyle \frac{a^3}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}+\frac{b^3}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}+\frac{c^3}{(c^2-a^2)(c^2-b^2)}= \)[u] [/u]。
(104鳳山高中，[url]https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html[/url])
計算4.
(1)設\( a_1,a_2,\ldots,a_n \)；\( b_1,b_2,\ldots,b_n \)均為正數，
求證：\( \displaystyle \root n \of{(a_1+b_1)(a_2+b_2) \times \ldots(a_n+b_n)} \ge \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \)
(2)設\( \displaystyle 0<\theta <\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{1}{cos^3 \theta}+\frac{32}{sin^3 \theta} \)之最小值
[提示]
(1)
\( \displaystyle \Bigg(\; \root n \of{a_1}^n+\root n \of{b_1}^n \Bigg)\; \Bigg(\; \root n \of{a_2}^n+\root n \of{b_2}^n \Bigg)\; \times \ldots \times \Bigg(\; \root n \of{a_n}^n+\root n \of{b_n}^n \Bigg)\; \ge \Bigg(\ \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \Bigg)\; ^n \)
感謝寸絲提供的意見
但就我對這份試題的理解，該計算有兩小題，第一小題就是要我們去證廣義柯西，然後再給第二小題套。
所以如果我是出題者的話，看到考生接套廣義柯西，大概是拿不到什麼分數？
thepiano的解答[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021[/url]
(2)
\( \displaystyle
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1}{cos^{3/5} \theta} \Bigg)\;^5+\Bigg(\; \frac{2}{sin^{3/5} \theta}\Bigg)\;^5 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1}{cos^{3/5} \theta} \Bigg)\;^5+\Bigg(\; \frac{2}{sin^{3/5} \theta}\Bigg)\;^5 \Bigg]\; \)
\( \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \ge \Bigg(\;1 \times 1+2 \times 2 \Bigg)\;^5 \)
(我的教甄準備之路 廣義的科西不等式，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-3 04:48 PM 編輯 [/i]] 想問填充1.5 計算3
填充1. 用牛頓一次因式檢驗...只能這樣嗎?因為他的可能還滿多的...
5.可以硬把a d算出來...但是我想一定有更好的做法
計算3 (2)要怎麼因式分解阿...
以上 謝謝
[[i] 本帖最後由 simon112266 於 2013-4-25 10:29 PM 編輯 [/i]]
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填充1觀察係數
\(\displaystyle 6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+11x^2-x-6 \)
\(\displaystyle =6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+6x^2+5x^2-6x+5x-6 \)
\(\displaystyle =(6x^6+6x^3+6x^2)+(5x^5+5x^2+5x)-(6x^4-6x-6) \)
\(\displaystyle =(x^4+x+1)(6x^2+5x-6) \)
計算3(2)
\(\displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0 \)
所以求值式
\(\displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}-\frac{c^4}{(a-b)(a-c)}-\frac{c^4}{(b-a)(b-c)} \)
\(\displaystyle =\frac{a-c)(a^3+a^2c+ac^2+c^2)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(b-c)(b^3+b^2c+bc^2+c^3}{(b-a)(b-c)} \)
\(\displaystyle =\frac{(a^3-b^3)+(a^2c-b^2c)+(ac^2-bc^2)}{a-b} \)
\(\displaystyle =a^2+ab+b^2+ac+bc+c^2 \)
[[i] 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 08:19 AM 編輯 [/i]]
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填充5.可將數列分成三段:
前段 \(a_1,a_2,...,a_{2013}\)，共2013項
中段 \(a_{2014},a_{2015},...,a_{3102}\)，共1089項，和為 \(\displaystyle 1302 - 3102 =-1800\)
後段 \(a_{3103},a_{3104},...,a_{5115}\)，共2013項
可看出中段的平均就是全部 (\(a_1\) 到 \(a_{5115}\)) 的平均
故所求 \(\displaystyle S_{5115}=\frac{-1800}{1089}\cdot 5115=-\frac{93000}{11}\)
附帶一提，計算3 (2) 若是填充題，湊出 \(a=6\)，\(b=-3\)，\(c=0\) 代入即可!
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-26 06:54 AM 編輯 [/i]]
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計算 3(2) 提供一個另解令 \( \alpha=\frac{c-b}{\Delta}, \beta=\frac{a-c}{\Delta}, \gamma=\frac{b-a}{\Delta} \)，其中 \( \Delta=(a-b)(b-c)(c-a) \)。
再令 \( x_{n}=\alpha a^{n}+\beta b^{n}+\gamma c^{n}, y=abc \)，則 \( a, b, c \) 滿足三次方程式 \( t^{3}-3t^{2}-18t-y=0\Rightarrow t^{3}=3t^{2}+18t+y \)。
故有 \( x_{n+3}=3x_{n+2}+18x_{n+1}+yx_{n} \)。
而 \( x_{0}=0, x_{1}=\frac{ac-ab+ba-bc+cb-ca}{\Delta}=0, x_{2}=1 \) by (1)
因此\( x_{3}=3+0+0, x_{4}=3\cdot3+18\cdot1+0=27 \)。
其中 \( x_3, x_4 \) 即為 \( \frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} \) 和 \( \frac{a^4}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^4}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^4}{(c-a)(c-b)} \) 填充5
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d) \) 為 n 的二次函數
推廣成 x 的二次函數, \(\displaystyle f(x) \) 滿足 \(\displaystyle f(2013)=3102,f(3102)=1302,f(0)=0 \)
於是
\(\displaystyle f(x)=3102 \times \frac{x(x-3102)}{2013(2013-3102)}+1302 \times \frac{x(x-2013)}{3102(3102-2013)} \)
[[i] 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 04:38 PM 編輯 [/i]]
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分享填充一的另一種看法!觀察方程式\( 6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+11x^2-x-6=0 \)
其中\( 6x^6+5x^5-6x^4=x^4(2x+3)(3x-2) \)
所以猜測接下來的\( 6x^3+11x^2-x-6 \)是否有相關因式
就可以檢測出來! 填充題第一題。以下是我的算法。
若\(f(x)=(ax+b)Q(x)\) ， \( \Rightarrow \) \(
\begin{array}{l}
(a + b)|f(1) \\
(a - b)|f( - 1) \\
\end{array} \)
1、\(
6x^6 + 5x^5 - 6x^4 + 6x^3 + 11x^2 - x - 6 = 0
\)
一次因式檢驗法，可能的一次因式有，
\(
\begin{array}{l}
x + 1,x - 1,x + 2,x - 2,x + 3,x - 3,x + 6,x - 6, \\
2x + 1,2x - 1,2x + 3,2x - 3,3x + 1,3x - 1,3x + 2, \\
3x - 2,6x + 1,6x - 1 \\
f(1) = 6 + 5 - 6 + 6 + 11 - 1 - 6 = 15 \\
f( - 1) = 6 - 5 - 6 - 6 + 11 + 1 - 6 = - 5 \\
\end{array}
\)
用 \(
\begin{array}{l}
a + b|f(1) = 15 \\
a - b|f( - 1) = - 5 \\
\end{array}
\)篩選
剩下可能的一次因式有， \(
x + 2,2x + 1,2x + 3,2x - 3,3x + 2,3x - 2
\)
在使用綜合除法檢查，可得有理根為 \( \frac{{ - 3}}{2},\frac{2}{3} \)
所以此兩個有理根相加， \(
\frac{{ - 3}}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{ - 5}}{6}
\)
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-20 05:00 PM 編輯 [/i]] 感謝各位強者老師
我還是需要多多加油阿!! 填充題第二題。慢慢討論各種狀況。
\( M-m<5 \)的情形有：
(1)\( n \)次全部都沒有出現6點和1點：\( 4^n \)
(2)\( n \)次中有出現6點但完全沒有出現1點：
\( \displaystyle \matrix{出現一次 \cr C_1^n 4^{n-1}}+\matrix{二次 \cr C_2^n 4^{n-2}}+\matrix{三次 \cr C_3^n 4^{n-3}}+\ldots+\matrix{n次 \cr C_n^n 4^0}=(4+1)^n-C_0^n 4^n=5^n-4^n \)
(3)\( n \)次中有出現1點但完全沒有出現6點：
方法數同(2) \( 5^n-4^n \)
\( \displaystyle P_n=\frac{(4^n)+(5^n-4^n)+(5^n-4^n)}{6^n}=\frac{2 \cdot 5^n-4^n}{6^n} \)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P_n=2 \times \frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{5}{6}}-\frac{\frac{4}{6}}{1-\frac{4}{6}}=2 \times \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}-\frac{\frac{4}{6}}{\frac{2}{6}}=10-2=8 \) 填充題第三題
恰有3個數字相同的四位數共有[u] [/u]個
(1)三個0
000□
\( C_1^9=9 \)
(2)三個數字相同，另一個不為0
aaab
\( \displaystyle C_2^9 \times 2 \times \frac{4!}{3!}=\frac{9 \times 8}{2 \times 1}\times 2 \times 4=288 \)
(3)三個數字相同，另一個為0
aaa0
\( \displaystyle C_1^9 \times \frac{3!}{2!}=27 \)
\( 9+288+27=324 \) 請問老師，填充 7（2）
回復 13# martinofncku 的帖子
7(2)條件機率題目說: 在兩次都是擲同一個硬幣之下,因此,可從題意推出就是第一次一定要擲正面的情況了
(因為題目說 第一次若擲反面,就要換成另外兩枚硬幣了,所以,代表第一次一定是擲正面,才有機會兩次擲同一硬幣)
題目 7.(2) 問: 在已知兩次都是投擲同一個硬幣之下,是由硬幣C擲出的?
就相當於 我們去算 第一次在擲正面的情況之下,是由硬幣C所擲出的? (因為題目說:若第一次擲正面的話,就第二次繼續同擲同一個硬幣)
由題目已知
第一次若擲A硬幣 正面機率為 1/2
第一次若擲B硬幣 正面機率為 3/10
第一次若擲C硬幣 正面機率為 3/5
且 每一枚硬幣被挑中的機率都一樣(都1/3)
條件機率:
p(由硬幣C擲出 | 兩次擲同一個硬幣) =
p(由C硬幣擲出正面 | 第一擲正面情況之下 ) = (3/5) 除以 [ 1/2 + 3/10 + 3/5 ] = 6/14 = 3/7
[[i] 本帖最後由 GGQ 於 2013-4-27 03:24 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]GGQ[/i] 於 2013-4-27 03:09 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7902&ptid=1576][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
7(2)條件機率
題目說: 在兩次都是擲同一個硬幣之下,因此,可從題意推出就是第一次一定要擲正面的情況了
(因為題目說 第一次若擲反面,就要換成另外兩枚硬幣了,所以,代表第一次一定是擲正面,才有機會兩次擲同一硬幣)
... [/quote]
謝謝老師超詳細的解釋。可是，我的做法是：1/3＊3/5＊3/5除以7/30。可否請老師告訴我那裡出錯了？
回復 15# martinofncku 的帖子
7(2)「若已知[color=Red]兩次[/color]均投擲[color=Red]同一枚[/color]的條件」的條件是「[color=Red]第一次[/color]丟出[color=Red]正面[/color]」。而對第二次沒有任何限制，你的算式中分子多乘了一次，分母用第一小題的數字也不對
應該，做的太順手，被拐過去 [quote]原帖由 [i]simon112266[/i] 於 2013-4-25 08:24 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7879&ptid=1576][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
星期二考的
有很多問題晚一點來請教>"<
請參閱附件 [/quote]
請教各位老師:填充第二題怎麼做
謝謝(已解決,謝謝各位)
[[i] 本帖最後由 ksy 於 2013-5-3 10:23 AM 編輯 [/i]]
回復 17# ksy 的帖子
補充：填充2利用取捨原理即可得 \(\Large P_{n}=\frac{5^n+5^n-4^n}{6^n}\) 第七題第一小題，我畫樹狀圖發現，要出現兩個正面的情形。會一直無窮下去。把所有情況都列出來也太複雜了。莫非用轉移矩陣嗎??有更好的想法嗎?
回復 19# shingjay176 的帖子
你誤會題目了，題目沒有說可以擲第三次、第四次、第五次‧‧‧依照題意就只丟兩次而已。
填充第 7 題的 (1)：
所求＝\(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot\left(\left(50/100\right)^2+\left(30/100\right)^2+\left(60/100\right)^2\right)=\frac{7}{30}\)
頁:
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