回復 20# weiye 的帖子
感激，誤會可大了。如果考場犯了這種錯誤，一定噢死。原來重頭到尾只有投擲兩次。那這題目不難。謝謝回復 19# shingjay176 的帖子
那乾脆把這美麗的誤會繼續玩下去改成：一直擲，過程中，會連續出現兩次正面的機率。
直覺上的答案應該是 1，計算如下，以 A, B, C 三數代表，由 A, B, C 硬幣開始擲會連續出現兩次的機率
則有以下遞迴關係
\( \begin{cases}
A & =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}(\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}C)\\
B & =\frac{9}{100}+\frac{91}{100}(\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}C)\\
C & =\frac{9}{25}+\frac{16}{25}(\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B)
\end{cases} \)
其中，若由 A 開始，兩次內，有可能連續二次正面，亦有可能出現反面後改擲 B 或 C。
解聯立方程式可得 \( A=B=C=1 \)，故在此誤會情況下，所求 \( \frac{A+B+C}{3} =1 \)
話說，這類的問題，應該是有機會用 Borel-Cantelli Lemma 去處理，說它的補事件的機率為 0 填充題第九題
\( \displaystyle A=\frac{3^{100}}{2^{50}} \)
(1)\( log A=100 log 3 -50 log 2 =100 \times 0.4771 -50 \times 0.3010=32.66 \)
所以\( A \)為33位數
(2)\( \displaystyle \frac{3^{100}}{2^{50}}\times \frac{5^{50}}{5^{50}}=\frac{3^{100}\times 5^{50}}{10^{50}} \)
\( 3^{100} \times 5^{100} \)乘完後，小數點往左移50位。
(3)\( 33+50=83 \)
填充8
獻醜 計算題第一題，錯誤的原因可以這樣解釋嗎？學生那樣假設是空間中直線的參數式。。題目x+y+z=1是空間中的平面方程式。正確的解法是用柯西不等式。。。[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-6 02:50 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2013-5-6 02:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8061&ptid=1576][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算題第一題，錯誤的原因可以這樣解釋嗎？學生那樣假設是空間中直線的參數式。。題目x+y+z=1是空間中的平面方程式。正確的解法是用柯西不等式。。。 ... [/quote]
我也是這樣想耶，學生假設的只是包含於[color=darkorange]空間平面上[/color]的某[color=orange]一條直線[/color]而已...還需要舉反例嗎（在平面上但不再學生舉的線上）？還是？ 計算題第四題第一小題。我發表一下自己的看法
回復 27# shingjay176 的帖子
也來一點個人的想法：那個證明手法，每次看完之後就忘了，到底有幾次...至少也有5-6 次以上吧。所以只好用證明 \( n \) 個數的算幾的那招方法來證廣義柯西：多用幾次柯西不等式，可以先做出 \( n \) 為 2 的冪次的結果。
當 \( n \) 不是 2 的冪次時，用幾何平均把它補到 \( 2^k > n \) 個，即令 \( a = \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} \), \( b = \sqrt[n]{b_1b_2\cdots b_n} \)。
這樣的 \( (a+b) \) 要補 \( 2^k - n \) 個，再利用 \( 2^k \) 的結果，即得
\(\left[\prod\limits _{j=1}^{n}(a_{j}+b_{j})\right]\times(a+b)^{2^{k}-n}\geq\left[\sqrt[n]{\left(\prod_{j=1}^{n}a_{j}\right)\times a^{2^{k}-n}}+\sqrt[n]{\left(\prod_{j=1}^{n}b_{j}\right)\times b^{2^{k}-n}}\right]^{2^{k}} \)
而右式中，因 \( a , b \) 分別為 \( a_j, b_j \) 的幾何平均，故右式 \( = (a+b)^{2^k} \)
再與左式相約，即得 \( \prod_{j=1}^n (a_j+b_j) \geq (a+b)^n \)，開 n 次方，即得證之。
回復 28# tsusy 的帖子
就是要這樣討論，才能擦出火花。更多想法才可以消化吸收後。變成自己的解題技巧。回復 28# tsusy 的帖子
這兩種解法也太強大!!!比我的好多了，我的解法很難寫......
我是先除以 \(\displaystyle \sqrt[n]{a_1a_2 \cdots a_n} \) ，
並令 \(\displaystyle \frac{b_i}{a_i}=r_i \)
變成 \(\displaystyle \sqrt[n]{(1+r_1)(1+r_2) \cdots (1+r_n)} \ge 1+\sqrt[n]{r_1r_2 \cdots r_n} \)
這就跟之前有人PO過的這個年度學科能力競賽台北市複賽其中一題一樣了。
接著兩邊n次方後用二項式定理和算幾不等式完成。
補充，據說北市複賽講評時，教授說此題用廣義柯西不得分。
回復 30# lyingheart 的帖子
哈~你的補充說明，倒是讓人不意外，在下的看法也是一樣，見 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1576&page=1#pid7880]#2[/url]記得去年(101年) [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1355]師大附中[/url]的計算第一題 \( a>0, b>0, \theta \) 為銳角，求 \( \frac{a}{\cos \theta} + \frac{b}{\sin \theta} \) 的最小值。
即便這題不是直接考廣義柯西的等價式子，直接用廣義柯西不等式的考生也是被扣了 5 分 (本題滿分 9 分)。
師大附中的出題和閱卷，沒意外應該都是師大的教授，由此可見其對「廣義柯西」的定位。
101附中，這題應用廣西柯西的解法，都被扣了超過一半的分數。北市能力競賽或102 中正這題廣義柯西的等價式子，自然是拿不到分的
至於二項式定理展開 + 算幾不等式，乍聽之下很暴力，但實際一做卻不是想條的這麼難做，也是個好方法！
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 06:59 PM 編輯 [/i]]
回復 6# tsusy 的帖子
抱歉，計算錯誤避免誤導其他老師
自行刪文
[[i] 本帖最後由 superlori 於 2018-5-23 09:46 編輯 [/i]]
計算
3（2） 對稱式的運用[[i] 本帖最後由 laylay 於 2018-5-23 09:22 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]superlori[/i] 於 2018-5-22 18:16 發表
今天朋友問這題，
還記得以前根本不知道怎麼下筆
看到寸絲的神解根本也想不到
今日運氣很好的想到了一個方法
給各位老師參考 [/quote]
參考小弟行列式作法
回復 32# superlori 的帖子
計算3（2）您提供的 f`(x)/f(x)=1/(x-a)+1/(x-b)+1/(x-c)=1/x*(1/(1-a/x))+.......=1/x*(1+a/x+(a/x)^2+.....)+.........=(1+1+1)/x+(a+b+c)/x^2+(a^2+b^2+c^2)/x^3+(a^3+b^3+c^3)/x^4+........是很棒的喔!
[[i] 本帖最後由 laylay 於 2018-5-23 22:35 編輯 [/i]]
回復 35# laylay 的帖子
感謝laylay以及Ellipse的分享,小弟學到很多!!!
也謝謝laylay老師發現計算錯誤，
小弟自刪文章，不誤導他人
謝謝兩位的解題!!
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