102大直高中
計算題為教學現場如何引導學生做題及觀念陳述。 想請教填充第8題 謝謝回復 2# 阿光 的帖子
填充第 8 題：有一個數列，\( a_1=1 \)且\( a_9+a_{10}=646 \)。此數列的第一、第二、第三項成等比數列，第二、第三、第四項成等差數列；且一般而言，對所有的\( n \ge 1 \)，\( a_{2n-1},a_{2n} \)及\( a_{2n+1} \)成等比數列，\( a_{2n},a_{2n+1} \)及\( a_{2n+2} \)成等差數列。設\( a_k \)為此數列中小於1000的最大項，試求\( k= \)？
[解答]
拋磚引玉一下，小弟的作法有點繁瑣～而且答案有兩個～＝＝？
有勞大家幫忙 debug 了！：Ｐ
-----------------------------------------------------------------------------------
令 \(a_2 = r\)，則
觀察一下數列：
\(a_1 = 1\)
\(a_2 = r\)
\(\displaystyle a_3 = \frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}=r^2\)
\(a_4=2a_3-a_2 = r\left(2r-1\right)\)
\(\displaystyle a_5=\frac{\left(a_4\right)^2}{a_3}=\left(2r-1\right)^2\)
\(a_6=2a_5-a_4 = \left(2r-1\right)\left(3r-2\right)\)
\(\displaystyle a_7=\frac{\left(a_6\right)^2}{a_5}=\left(3r-2\right)^2\)
\(a_8=2a_7-a_6 = \left(3r-2\right)\left(4r-3\right)\)
\(\displaystyle a_9=\frac{\left(a_8\right)^2}{a_7}=\left(4r-3\right)^2\)
\(a_{10}=2a_9-a_8 = \left(4r-3\right)\left(5r-4\right)\)
可以找到規律是 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2, a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right),\forall n\geq 2\)
（應該可以用數學歸納法證明這件事～：Ｐ）
由 \(a_9+a_{10}=646\)，可得 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\) 或 \(r=5\)
若 \(r=5\)，則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000 \Rightarrow n\leq 7\)
\(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq8\)
\(\Rightarrow k=2\times8=16\)
若 \(\displaystyle r=\frac{-125}{36}\)，則 \(a_{2n+1}=\left(nr-\left(n-1\right)\right)^2<1000 \Rightarrow n\leq 7\)
\(a_{2n}=\left(\left(n-1\right)r-\left(n-2\right)\cdot\left(nr-\left(n-1\right)\right)\right)<1000\Rightarrow n\leq7\)
\(\Rightarrow k=2\times7+1=15\) [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-4-17 11:53 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7797&ptid=1572][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
觀察一下數列：
... [/quote]
第八題我的算法也是這樣耶~
算出來的\(r\)值也一樣
4分而已....好少.... [quote]原帖由 [i]tacokao[/i] 於 2013-4-17 01:24 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7781&ptid=1572][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算題為教學現場如何引導學生做題及觀念陳述。 [/quote]
有去考試的老師們能提供一下計算題是哪些題目嗎？ 8.
有一個數列，\( a_1=1 \)且\( a_9+a_{10}=646 \)。此數列的第一、第二、第三項成等比數列，第二、第三、第四項成等差數列；且一般而言，對所有的\( n \ge 1 \)，\( a_{2n-1},a_{2n} \)及\( a_{2n+1} \)成等比數列，\( a_{2n},a_{2n+1} \)及\( a_{2n+2} \)成等差數列。設\( a_k \)為此數列中小於1000的最大項，試求\( k= \)？
A sequence of positive integers with \( a_1=1 \) and \( a_9+a_{10}=646 \) is formed so that the first three terms are in geometric progression, the second, third, and fourth terms are in arithmetic progression, and, in general, for all \( n \ge 1 \), the terms \( a_{2n-1} \), \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \) are in geometric progression, and the terms \( a_{2n} \), \( a_{2n+1} \), and \( a_{2n+2} \) are in arithmetic progression. Let \( a_{n} \) be the greatest term in this sequence that is less than 1000. Find \( n+a_{n} \).
(2004AIME第九題，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=2004[/url])
點題號會跳到討論文章
中文題目應該是從這裡抄出來的，檔案就少了正整數這個條件
h ttp://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=866 連結已失效
回復 5# casanova 的帖子
計算題總共八題，細節有點記不太住了，真是抱歉，不過最後一題為101全國聯招，計算第2題，([url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&highlight=101[/url]) 。重點應該是如何引導學生，而非解題。 另外還記得一題，圓內接四邊形ABCD，四邊長依順時針方向為1、4、8、7，求圓的半徑。回復 1# tacokao 的帖子
填充第4 (向量那題) 答案應該給錯了...舉個特別的例子:
A(0,0), B(0,5), C(5,0)
則依題意 P(4,6)
a(ABC)=25/2
a(ABP)=24/2
得到 a(ABP):a(ABC)=24:25 (答案給4:5)
另外一提，最近在登錄 mathpro 時，一直遇到驗證碼錯誤而無法登入的問題，
不知大家是否也有相同的困擾??
回復 9# Joy091 的帖子
我依你的數據算了a(ABP)是5*4/2=20/2
比完之後確實是4:5
答案應該沒錯~
回復 10# ichiban 的帖子
我發現我哪裡算錯了，謝謝!回復 9# Joy091 的帖子
如果照您的方式a(ABP) 的底 為5 高為4才對 所以面積 為10
答案 也是 4:5 想請問填充題第9題如何解?
回復 13# 王保丹 的帖子
第 9 題：若\(a>0,b>0\)，則\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
已知 \(a>0, b>0\)
由柯西不等式，可得
\(\displaystyle \left(\left(\sqrt{a+1}\right)^2+\left(\sqrt{b+3}\right)^2\right)\left(1^2+1^2\right)\geq\left(1\cdot\sqrt{a+1}+1\cdot\sqrt{b+3}\right)^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\right)^2}{a+b+4}\leq 2\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\leq \sqrt{2}\)
且當等號成立時，\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}}{1}=\frac{\sqrt{b+3}}{1}\Leftrightarrow a=b+2\)
回復 13# 王保丹 的帖子
令\(a+1=x , b+3=y\)則原式=\(\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}\)
設\(f(x) = \sqrt x \)
由jensen不等式，對於\(x,y > 0\)
則有\(\displaystyle\sqrt {\frac{{x + y}}{2}} \ge \frac{1}{2}(\sqrt x + \sqrt y )\)
即\(\displaystyle\frac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{\sqrt {x + y} }} \le \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)
回復 13# 王保丹 的帖子
被學長搶先了一步還好方法不一樣
[attach]1612[/attach] 謝謝各位大大的解答
我反應真的太慢了
我也解出來了
整份考卷只有第八題算不出來
還是看各位的解答才會的
還好有這網站
回復 1# tacokao 的帖子
可以舉手問第一題嗎？！想了很久，除了一個一個帶數字外，還有其他辦法嗎？！
回復 18# Sandy 的帖子
第 1 題：設\(n\)為大於1的正整數，若\(n^2+3n+11\)為兩相鄰正奇數的乘積，則\(n=\)[u] [/u]。
[解答]
依題意可令 \(\displaystyle n^2+3n+11 = (2k-1)(2k+1)\)，其中 \(k\) 正整數，
\(\displaystyle \left(n+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4} = 4k^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(4k\right)^2 - \left(2n+3\right)^2= 39\)
可得 \(\displaystyle \left(4k-2n-3\right)\left(4k+2n+3\right)=39\)
且因為 \(n,k\) 皆為正整數，所以 \(4k+2n+3>4k-2n-3\) 且兩者皆為正整數，
所以
case 1: \(\displaystyle 4k-2n-3=1, 4k+2n+3=39 \Rightarrow k=5, n=8\)
case 2: \(\displaystyle 4k-2n-3=3, 4k+2n+3=13 \Rightarrow k=1, n=1\) （不合）
回復 13# 王保丹 的帖子
第九題若\(a>0,b>0\)，則\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
提供另一個想法
看成點\((1,1)\)至直線\(\sqrt{a+1}x+\sqrt{b+3}y=0\)上一點的最大值
代 點到直線距離公式即可得所求式子~最大值為\((1,1)\)到\((0,0)\)距離
頁:
[1]
2