102建國中學
有鑑於學校沒公告數學科的試題所以來回憶一下題目，有的地方沒有記得很清楚
還請有考試的考生幫忙回憶一下，謝謝！部分題目可能不太正確
其中填5 的圖是自己畫的，跟試卷的標記可能不太一樣，也忘了要求哪段的長度了
填10，則是只記得形狀，忘記數字了，經 Google 大神協助本題出處應為 2004年(第三屆)中國女子數學奧林匹克試題
數字為 [color=Red]\( \frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c} \)[/color]
填11，敘述也許和原題有出入?因為題目寫得太長了
另外填12，題目是否有給 [color=Red]\( x> -1 \)[/color] 之類的條件？
請慢慢享用
附上部分個人算的數字，僅供參考，歡迎指正。
填充題
1. \( -\frac{159}{160} \) 2. \( \frac{5}{2} < b < 4 \)
3. \( \frac{1}{32} \) 4. 2084
5. \( \frac{1+\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2} \) 6. \( \frac{6}{11} \)
7. \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) 8. \( \frac{4}{5} \)
9. \( x< \frac{1-\sqrt{5}}{2} \) 或 \( 1 < x < \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)
10. \( -17+12\sqrt{2} \) 11.\( n-1 \)
12. \( \frac{1}{x+1} \)
計算3. \( (0,0,z) \) 及 \( (1,-1,-1) \)
附件檔案修正
2. 修正填 2 的敘述，感謝鋼琴大修正。
3. 補上漏掉的條件 \( f(\frac{x}{6}) = \frac{f(x)}{2} \)，感謝鋼琴大提醒。
5. 應該求 \( \overline{BE} \) 之長。
8. 修正為 \( bx^2 \)，感謝 dream10 提醒修正。
12. 修正為 \( t^x \) 6.空間中，有四個球兩兩相切(外切)，半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球外切，則其半徑=？
空間有四個球，他們的半徑分別為2,2,3,3，每個球都與其餘3個球外切，另有一個小球與那四個球都外切，求該小球的半徑？
(1995中國數學奧林匹克)
102.4.14補充
感謝老王提醒忘了還有索迪公式
計算\( \displaystyle 3(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{r^2})=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{r})^2 \)
解出\( \displaystyle r=\frac{6}{11},-6 \)
老王的部落格有證明h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=5697&prev=5702&next=-1連結已失效
拼圖拼字拼數學P229，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=836&page=1#pid1604[/url]
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=1584&k=dad7b59bf88688c7a887c061ac4e39bf&t=1365867568&noupdate=yes[/img]
[url=https://math.pro/db/attachment.php?aid=1585&k=4a62afdfb2d269981eb57efbff25eaf4&t=1365867568]SketchUp檔下載[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2013-4-14 07:05 PM 編輯 [/i]] 請教填充 9,2 有無什麼好方法
9.
不等式\(\displaystyle \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^3}>x^3+2x\)的實數解為[u] [/u]。
[解答]
個人的想法是 \( LHS = \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^3} \) 分段遞減。而且在 \( 1\pm \) 處為 \( \pm \infty \)
而 \( RHS = x^3+2x \) 微分可知，嚴格遞增。
故僅需解 \( \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^3} = x^3+2x \) 之兩實根。
即方程式 \( x^{6}-3x^{5}+5x^{4}-7x^{3}+4x^{2}+2x-3=0 \) 之兩實根 \( \alpha< \beta \)
而不等式之解則為 \( x < \alpha \vee 1 < x < \beta \)。
但易驗，該六次式沒有理根，然後就卡了
附上 Wolfram Alpha 的答案 \( x < \frac{1-\sqrt{5}}{2} \) 或 \( 1<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)
2.
平面上坐標上，\(\Gamma\)為所有的點\(P\)滿足到直線\(x=4\)與\((1,0)\)的距離和為5之曲線。試求\(b\)的範圍，使得\(\Gamma\)上恰有三組點，關於點\((b,0)\)對稱。
[解答]
想法，先畫個概圖
[attach]1587[/attach]
注意上下對稱於 x 軸 必一組，另兩組為是 \( y = \pm c \)，四個交點成矩形，畫個對角線交點就是 \( (b,0) \)
但 \( c=0 \), \( b =\frac52 \) 會多出一組左右對稱點，隨著 \( c \) 從 \( 0\to 4\)，[color=Red]猜測[/color] \( b \) 從 \( \frac52 \to 4 \)
故猜答案為 \( \frac52 < b < 4 \) 填充第 2 題
寸絲老師的幾何解法很漂亮且答案應是正確的，建議題目最後一句改成 "使得Γ上恰有三組點，關於(b，0)對稱" 比較好理解
這題最難的地方是畫出Γ 關於第六題
順便記一下索迪(Soddy)公式吧:
對於\(n\)維情況，有\(n+2\)個球互相切來切去，所有球的半徑記為 \( r_i \)，
再記半徑的倒數為 \(\displaystyle c_i=\frac{1}{r_i} \)
那麼有
\(\displaystyle n \sum_{i=1}^{n+2}c_i^2=(\sum_{i=1}^{n+2}c_i) ^2 \) 我後悔了，本來打算不等式推推推出來，
推了半天推出錯
還是跟隨寸絲老大的腳步求那兩根就好
\(\displaystyle \frac{2x^2-4x+3}{(x-1)^3}=x^3+2x\)
\(\displaystyle \frac{2x^2-4x+2}{(x-1)^3}-2x=x^3-\frac{1}{(x-1)^3}\)
\(\displaystyle -2(x-\frac{1}{x-1})=(x-\frac{1}{x-1})(x^2+\frac{x}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2})\)
\(\displaystyle x-\frac{1}{x-1}=0\)
\(\displaystyle x=\frac{1+-\sqrt{5}}{2}\)
所以\(\displaystyle x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)或\(\displaystyle 1<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
回復 6# ichiban 的帖子
解得漂亮，原來是把 2 跟 2 放一起，1 跟 1 也放一起什麼時候我才可以也有這種眼力，看出其中竅門所在 有關填充 2，我發現 \(\displaystyle Γ \) 其實只是兩個拋物線的合成圖:
\(\displaystyle x<4\) 時，為 \(\displaystyle y^2=4x ... Γ _1\)
\(\displaystyle x>4\) 時，為 \(\displaystyle y^2=-16x+80 ... Γ _2\)
不難得到若要在 \(\displaystyle Γ _1\)上找一組點對稱 (b,0)，則這組點必對稱 x 軸。
所以要在兩個拋物線上各找一點，才有可能產生三組關於 (b,0) 的對稱點。
令 \(\displaystyle P(\frac{a^2}{4},a)\)，其關於 (b,0) 的對稱點 \(\displaystyle Q(2b-\frac{a^2}{4},-a)\) 落在 \(\displaystyle Γ _2\) 上，
化簡得到 \(\displaystyle b=\frac{3a^2+80}{32}\)
因為 \(\displaystyle 0<a<4\)，故 \(\displaystyle \frac{5}{2}<b<4\)。
回復 7# tsusy 的帖子
別誇我 , 我寧願拿我碰巧的眼力換你千錘百鍊的實力小弟正在算你的大作 Math Note 01-10
目前正在第九頁 , 看到了一些錯誤 , 不過可以肯定的是數學寶典不會再是101了
被你奪走了
對了
42題 , 我弄不出來
回復 8# Joy091 的帖子
原來如此~~感謝 Joy091 解惑另外填 3 是個有趣的題目，做法如下
填 3.
若函數\(f(x)\)滿足\(f(1)=1\)，\(f(x)+f(1-x)=1\)，\(\displaystyle \frac{x}{6}=\frac{1}{2}f(x)\)，其中\(0\le x\le 1\)，且對\(0\le x_1<x_2\le 1\)，有\(f(x_1)\le f(x_2)\)，則\(\displaystyle f(\frac{1}{2013})=\)[u] [/u]。
[解答]
注意由函數之性質可得 \(f(\frac16) = \frac12 = f(\frac56) \)
又 \( \frac16 < \frac{6^4}{2013} < \frac56\), 故 \( f(\frac{6^4}{2013})=\frac12\)
因此所求 \( f(\frac1{2013}) = \frac1{32}\)
補充一類題：設函數 \(f (x) \) 在\( 1 \leq x\leq 3\) 時，滿足 \(f (x) =1-|x-2|\) ，且對所有的正數 \(x\)，\(f (x)\) 滿足\(f(3x) = 3f (x)\)。試求最小的正數 \(x\) 使得 \(f (x) = f (2011)\)。
(100二區能力競賽 )(2001AIME 則是 2011變成 2001)
填 4.
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2013}\Bigg[\;\root 5 \of {\frac{2013}{k}} \Bigg]\;=\)[u] [/u]。([]為高斯符號)
[解答]
則是基本的題型，提供一個有趣的方法：Fubini 定理
令 \( S=\{\sqrt[5]{\frac{2013}{k}}\mid k=1,2,3\ldots,2013\} \), \( S_{n}=S\cap\{x\mid x\geq n\} \)。
由 Fubini 定理有 \(\sum\limits _{k=1}^{2013}\left[\sqrt[5]{\frac{2013}{k}}\right]=\sum\limits _{n=1}^{\infty}|S_{n}|\) 。
\( \left[\sqrt[5]{\frac{2013}{k}}\right]\geq n\Leftrightarrow\frac{2013}{k}\geq n^{5}\Leftrightarrow\frac{2013}{n^{5}}\geq k \)，
故 \( |S_{n}|=\left[\frac{2013}{n^{5}}\right]=2013,62,8,1,0,0\ldots \)。故所求 \(=2013+62+8+1=2084\)。
類題：2. \(y=[x] \) 表高斯函數，求 \(\sum\limits _{k=1}^{40}\left[10^{\frac{k}{40}}\right]\)。(101文華高中) 老師好，第一題想了很久，也試圖用插值多項式處理
但是找無規律，不知道怎麼切入比較好?
謝謝老師! 來這裡找吧，這裡有滿滿的考古題
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108[/url]
回復 11# best2218 的帖子
1.設\(f(x)\)為一317次多項式滿足\(\displaystyle f(k)=\frac{1}{k}\)，\(k=1,2,3,\ldots,318\)，則\(f(320)=\)[u] [/u]。
[解答]
要直接用插值多項式做，也不是不可以，只是組合恆等式要熟一點，可以像下面這樣做
以拉格朗日，插值多項式表示之，令 \( f(x)=\sum\frac{1}{k}f_{k}(x) \)，其中 \( f_{k}=\frac{\prod_{i=1}^{k-1}(x-i)\cdot\prod_{i=k+1}^{318}(x-i)}{\prod_{i=1}^{k-1}(k-i)\cdot\prod_{i=k+1}^{318}(k-i)}=(-1)^{k}\frac{\prod_{i=1}^{k-1}(x-i)\cdot\prod_{i=k+1}^{318}(x-i)}{(k-1)!(318-k)!} \)
而 \( \frac{1}{k}f_{k}(320)=\frac{(-1)^{k}}{k}\cdot\frac{319!}{320-k}\cdot\frac{1}{(k-1)!(318-k)!}=(-1)^{k}\frac{319-k}{320}\frac{320!}{k!(320-k)!}=(-1)^{k}\frac{319-k}{320}C_{k}^{320} \)。
注意 \( (1+x)^{320}=\sum\limits _{k=0}^{320}C_{k}^{320}x^{k} \)，微分得 \( 320(1+x)^{319}=\sum\limits _{k=1}^{320}kC_{k}^{320}x^{k-1} \)。
將 \( x=-1 \) 代入得 \( \sum\limits _{k=0}^{320}(-1)^{k}C_{k}^{320}=0 \), \( \sum\limits _{k=1}^{320}(-1)^{k-1}kC_{k}^{320}=0 \)。
故所求
\( \begin{aligned}f(320) & =\sum\limits _{k=1}^{318}\frac{1}{k}f_{k}(x)=\frac{319}{320}\cdot\sum\limits _{k=1}^{318}(-1)^{k}C_{k}^{320}+\frac{1}{320}\cdot\sum\limits _{k=1}^{318}(-1)^{k-1}kC_{k}^{320}\\
& =\frac{319}{320}\cdot(-1+320-1)+\frac{1}{320}\cdot(320-319\cdot320)\\
& =-\frac{159}{160}
\end{aligned} \)
做樣，挺累的...而且一不小心就會出錯，所以還是看樓上連結裡的方法吧 感謝各位!
也謝謝寸絲老師將我的不足說明
謝謝! 填充5
終於找到，是93年新竹區筆試一第二題，不一樣的是邊長為4，以及求的是BD
回復 15# 老王 的帖子
填 5. 再補另一個解法：[attach]1599[/attach]
由面積可知正方形之邊長為 \( \sqrt[4]{3} \)。注意直角的位置，可知正方形左下角為原來的 \( H \)，右上角為原來的 \( I \)。
並且正方形之一邊(最右邊)為 \( 2\overline{GI}=\sqrt[4]{3} \) \( \Rightarrow\overline{GI}=\frac{\sqrt[4]{3}}{2} \)。坐標化，
令 \( G(0,0), F(-1,0), B(-\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}) \), \( r=\frac{\sqrt[4]{3}}{2} \)。
再令 \( \Gamma \) 為一圓，其圓心為 \( G \)，半徑為 \( r \)，則 \( \overline{FE} \) 為圓 \( \Gamma \) 之切線。
計算此切線方程式得 \( y=-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}}(x+1) \)，其與 \( y=-\frac{\sqrt{3}}{2} \) 之交點 \( E \) 之坐標為 \( (\frac{\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}-1,-\frac{\sqrt{3}}{2}) \)。
故所求 \( \overline{BE}=\frac{\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2}-1+\frac{3}{2}=\frac{1+\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{2} \) 。 6.
空間中，有四個求兩兩相切(外切)，半徑分別為2,3,2,3。有另一球與四球皆外切，則其半徑=[u] [/u]。
求救第6題
算了兩次都同一解
我是用坐標化
設計出四個外切圓 , 他們的圓心位置成了一個還算好算的四面體
接著假設了第五圓的方程式 , 並求其半徑
不過我的答案是\(\displaystyle \frac{-110+12\sqrt{133}}{41}\)
直覺這麼醜不是答案 , 又想說是建中 , 醜好像也是應該的
請問我這樣的方向是正確的嗎
若正確 , 我就再拼一次
若錯誤 , 請救援~
想請教第八題 四次方程式的問題
想請問第八題，四次方程式有實數解，則可能四實數，或二實二虛。能否請版上各位先進給一個方向讓我繼續想下去
回復 18# basess8 的帖子
填 8.若\(x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0\)有實數解，則\(a^2+b^2\)的最小值為[u] [/u]。
[提示]
那樣係數首尾對稱的式子
常用 \(\displaystyle t = x+\frac1x \) 代換處理之
這樣就可以降低成二次方程式
回復 18# basess8 的帖子
99年台中區複賽二第三題我是分情況討論