請教第12 題題意
12.設\(\displaystyle F(x)=\int_0^1 \frac{t^x-1}{lnt}dt\)，則\(\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=\)[u] [/u]。
第12題是否想要考微積分基本定理，但是題目F(x)的定義看起來是常數，
或是小弟不才遺漏了積分函數中 t^z (z是否有特殊意義) 部分的涵義，請指教。
回復 21# basess8 的帖子
抱歉，是我的手誤打錯了，是 \( t^x \) 才正確，已修正之。這題，可以是初微的積分技巧，也可以是高微以上(上至實分析) 裡，微分和積分可否交換順序的層次 不好意思～各位老師
我想請問計算第2題
這題應該從哪個方向切入比較好？
謝謝各位老師了！！ 計算第 2 題
應是寸絲老師筆誤了
要證的部分不會成立(例：正三角形ABC及以P為垂心)
回復 24# thepiano 的帖子
倒不是筆誤，而是寸絲記的題目就是那樣。或許是記錯了吧？難怪一直做不出來
猜測，正確的命題應為 AP(BC-DE) >= BD [color=Red]P[/color]E + CE [color=Red]P[/color]D
不知道有沒有哪位，記得正確的題目，可以幫忙確認一下，謝謝！ 想請教填充7.11.12
感謝
回復 26# ilikemath 的帖子
填 7.\(OABC\)為一邊長為1的正四面體，\(D,E\)分別為\(\overline{AB},\overline{OC}\)中點。兩歪斜線\(\overline{OD}\)和\(\overline{BE}\)的距離為[u] [/u]。
[提示]
坐標化 \(\displaystyle O(0,0,0), A(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}), B(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}), C(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)\)，剩下的應該不難了。
填 12.
設\(\displaystyle F(x)=\int_0^1 \frac{t^x-1}{lnt}dt\)，則\(\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=\)[u] [/u]。
[解答]
若 \( x>-1 \)，則 \(\displaystyle t^{x}-1=\ln t\int_{0}^{x}t^{s}ds \), for \( t>0 \)
\(\displaystyle \Rightarrow F(x)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}t^{s}dsdt=\int_{0}^{x}\int_{0}^{1}t^{s}dtds=\int_{0}^{x}\frac{1}{s+1}ds=\ln(x+1) \)。
故 \(\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)=\frac{1}{x+1} \) 。
回復 6# ichiban 的帖子
我目前算到這但是無法接下去
能否幫我看一下 填充題第九題的圖
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-12 01:33 PM 編輯 [/i]]
回復 28# 王保丹 的帖子
最後一行好像應該這樣接:\( x-\frac{1}{x-1}=0 \)
\(\frac{x^2-x-1}{x-1}=0 \)
所以正負號的分界點有 \(x=1,x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
有錯煩請指正 想請教第11題
謝謝
回復 30# David 的帖子
x=1 應該不行吧~~帶入分母為0!!
回復 10# tsusy 的帖子
tsusy 老師 打擾您了想詢問填充四 這個想法是怎麼出現的??
類題：2. 高斯符號這一題 (101文華高中)
我有看了您的筆記 是取log討論 但這想法是怎麼切入
表格內容怎麼去計算出來的? 不得其門
勞煩老師能說明 謝謝您了
回復 33# insel 的帖子
版大 bugmens 已答 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317[/url]所以，我來說說其它事
其實這兩題：填4 和類題101文華，不用這樣的技巧也是可以做，
只是變成去數 i=1,2,3,... 各有幾個，再相乘相加，而幾個的數量，則是某兩個值[color=Red]相減[/color]，
最後，求和的時候，要把 i 跟其數量[color=Red]相乘[/color]，sum 起來
我單純是因為不想做上面紅字的[color=Red]減法、相乘[/color]，所以才用這樣的方法
至於聯想的起點是期望值 \( E(X) = \sum p_i x_i \) 或 \( \int f(x)x dx \)，當 \( X \) 取值為非負(非負整數) 時
式子可變形為 \( E(X) = \sum\limits_{n=1}^\infty P(X\geq n ) \) 或 \( E(X) = \int_{0}^\infty P(X>x) dx\)
回復 34# tsusy 的帖子
感謝bugmens老師的耐心回覆也謝謝tsusy老師的提示XD [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2013-4-17 11:02 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7794&ptid=1569][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
99年台中區複賽二第三題
我是分情況討論 [/quote]
想請教解法中的第10.11行的地方..為什麼都可以直接平方?題目並沒有對a,b有所大小限制阿??
(雖然說事後算出答案後..知道這兩處..直接平方不會出問題...)
還請賜教...謝謝~
回復 25# tsusy 的帖子
銳角三角形\(\Delta ABC\)中，\(D\)、\(E\)分別在\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上。過\(D\)、\(E\)分別作\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)之垂線，交於\(\Delta ABC\)內部一點\(P\)。試證：\(\overline{AP}\cdot(\overline{BC}-\overline{DE})\ge \overline{BD}\cdot \overline{AE}+\overline{CE}\cdot \overline{AD}\)。
[解答]
前幾日(12.04)的帖子，似乎因主機異常而消失了，再重回一次
猜測修正題目的不等式為 \( \overline{AP}(\overline{BC}-\overline{DE})\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD} \)，證明如下
注意 \( \overline{AP}(\overline{BC}-\overline{DE})\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD}\Leftrightarrow\overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{BD}\cdot\overline{PE}+\overline{CE}\cdot\overline{PD}+\overline{AP}\cdot\overline{DE} \)
而 \( ADPE\) 為圓內接四邊形，由托勒密定理有 \( \overline{AP}\cdot\overline{DE}=\overline{AD}\cdot\overline{PE}+\overline{AE}\cdot\overline{PD} \)。
故原不等式等價於 \( \overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD} \)。
令 \(Q\) 為 \(P\) 對 \(\angle BAC\) 之分角線之對稱點，\(D'\), \(E'\) 分別為 \(Q\) 對 \(\overleftrightarrow{AB}\),\(\overleftrightarrow{AC}\) 之投影點，則有 \(\overline{AQ}=\overline{AP}\),\(\overline{QD'}=\overline{PE},\overline{QE'}=\overline{PD}\)。
四邊形 \(ABQC\) 之面積 \(=\frac{1}{2}\left(\overline{AB}\cdot\overline{QD'}+\overline{AC}\cdot\overline{QE'}\right)=\frac{1}{2}\left(\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD}\right)\)。
亦可寫為 \(\triangle AQB+\triangle AQC=\frac{1}{2}\overline{AQ}\cdot\overline{BC}\sin\theta\)，
其中 \(\theta\) 為 \(\vec{AQ}\) 和 \(\vec{BC}\) 的夾角。又 \(\sin\theta<1\) 且 \(\overline{AQ}=\overline{AP}\)，
因此\(\overline{AP}\cdot\overline{BC}\geq\overline{AB}\cdot\overline{PE}+\overline{AC}\cdot\overline{PD}\)，又此不等式與欲證之命題等價，故得證。
注意以上證明中，並沒有用到銳角之條件，及點 \(P\) 在三角形內部。銳角之條件雖保證點 \(P\) 在三角形內部，但點 \(Q\) 仍可以在三角形外，而且鈍角時，即使 \( P,Q \) 分在三角形外，結論及證明亦正確。
回復 36# idontnow90 的帖子
我也還沒參透為什麼可以直接平方 (或許是要分Case討論)，於是這麼解：設\(g(y)=y^2+ay+(b-2)\)，20# 老王老師解到
\(g(y)=0\)有實根且至少一根絕對值\(\geq2\)
反過來想就是不能兩根都落在\((-2,2)\)，因此\(a,b\)須滿足\(D=a^2-4(b-2)\geq0\)
且\((a,b)\)不能落在 \(-2<-\frac{a}{2}<2\) \(\Rightarrow -4<a<4\)
\(g(-2)>0\) \(\Rightarrow 2a-b<2\)
\(g(2)>0\) \(\Rightarrow 2a+b>-2\) 這三式以及\(D\geq0\)同時成立之區域
以上範圍作圖，可知\(\min(a^2+b^2)=d^2(O,L)=\frac{4}{5}\)，其中\(L\)為直線\(2a-b=2\)或\(2a+b=-2\) 想請教 12題 的第一步 為什麼可以這樣做~ QAQ