先提供一下答案 13/18
回復 23# thepiano 的帖子
我也是算這答案，但我覺得我的方法太複雜了，用雙變數遞迴。不知鋼琴老師的做法為何?? 計算第 5 題
出現"黑白黑"好像很容易，所以小弟從反面思考，先計算不會出現"黑白黑"的情形
1●2●3●4●5●6
5 個白丟入 6 個空隙
(1) 5 個不分組(連在一起)：6 種方法
(2) 分成 (4，1)：2 * 5 = 10 種方法
單獨的那 1 個只能丟第 1 或第 6 個空隙
(3) 分成 (3，2)：C(6，2) * 2 = 30 種方法
(4) 分成 (1，1，3)：4 種方法
那 2 個 1 只能丟第 1 和第 6 個空隙
(5) 分成 (1，2，2)：2 * C(5，2) = 20 種方法
單獨的那 1 個只能丟第 1 或第 6 個空隙
以上合計 70 種
所求 = 1 - 70/C(10，5) = 13/18
回復 25# thepiano 的帖子
讚，這樣比較快。回復 22# kpan 的帖子
請教3. 銳角三角形ABC,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5, AB=3 , 求三角形面積？
這題的作法? 謝謝 不好意思 比較忙碌點 最近在用 樂學計畫新生報到的相關事宜
先在BC上取一點D s.t. 角 BAD = 角B 因此 AD=BD 就令它們為 x 吧
由正弦thm 可以得到 CD= x / 3
因為 sInA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
又因為 sin(A+B)= 3/5 => cos(A+B)= -4/5 (因為C是銳角 所以 A+B為鈍角)
sin(A-B)=1/5 => cos(A-B)= 2*sqrt(6)/5
然後利用 半角公式 分別 求出 sin((A+B)/2) 和 cos((A-B)/2) 和 cos((A+B)/2) 和 sin((A-B)/2) 這四個
就可以解出 sinA 和 sinB 了
再利用一次 正弦thm 就可以得到 BC長
最後 利用 兩邊一夾角的面積公式 即可 我算的是 (6+3*sqrt(6))/2
我承認我的方法 比較 繁瑣點
不知道各位先進 是否有較快的方法
[[i] 本帖最後由 kpan 於 2013-4-17 09:26 PM 編輯 [/i]] 分享一下我的想法跟作法 :)
回復 28# kpan 的帖子
感謝回答 , 其實我也是算出 (6+3*sqrt(6))/2只是我的方法也是很繁瑣
我是先推出 sinC = sin [ pi-(A+B) ] = sin(A+B) = 3/5
再利用正弦定理( c/sinC=2R) 推出外接圓半徑 R = 5/2
進而推出 BC = 5sinA 及 AC = 5sinB ( a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R )
最後我就利用 三角形面積= 1/2(BC)(AC)sinC = 1/2 (5sinA)(5sinB)sinC
所以 上式只要能解決 sinA*sinB 即可 (因為已得 sinC = 3/5)
而 sinA*sinB = 1/2 [ cos(A-B) - cos(A+B) ]
又 因為 sin(A+B)= 3/5 => cos(A+B)= -4/5
sin(A-B)=1/5 => cos(A-B)= 2*sqrt(6)/5
故 sinA*sinB 也就解決了
所以,我發現這一題真的好煩瑣喔,想看看各位大大是否也有較快方法
回復 30# GGQ 的帖子
參考看看吧，不解釋，看圖 計算第五題，當時方程式算出來有猜是雙曲線，後來用gsp畫一畫覺得有點像請問大家算的也是嗎？還是我誤會了呢？
謝謝 :)
回復 32# mathpigpig 的帖子
這裡，不難估計出 P 是有界，離原點不會太遠，個人的看法是：有界的圖形不會是雙曲線那樣的圖形，除非它剛好是一部分
倒是如橢圓和圓，這類封閉有界的二次曲線，才有可能
計算如下，如有錯誤或疏漏，還請指正：
令 \( A(a,0) , B(0,b) \)，其中 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，則有 \( P \) 之坐標可為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}+b,\frac{b}{2}+a) \) 或 \( (a-\frac{b}{2},\frac{b}{2}-a) \)。
1. 若 \( P \) 之坐標為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}+b,\frac{b}{2}+a) \)，可得 \( b=\frac{4x-2y}{3} \), \( a=\frac{4y-2x}{3} \)。
\( (\frac{4x-2y}{3})^{2}+(\frac{4y-2x}{3})^{2}=1 \Rightarrow20x^{2}-32xy+20y^{2}=9 \)，由判別式 \( 16^{2}-20^{2}<0 \)，知為一橢圓。
注意 \( (a,b)\mapsto(x,y) \) 為 \( \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} \) 的1-1 onto 映射。故以橢圓上的任一點 \( (x,y) \)，皆可逆推找到 \( A(a,0) \), \( B(0,b) \) 滿足 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，使得 \( P \) 之坐標為 \( (x,y) \)。
2. 若 \( P \) 之坐標為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}-b,\frac{b}{2}-a) \)，可得 \( b=-\frac{4x+2y}{3} \), \( a=-\frac{2x+4y}{3} \)。
\( (-\frac{2x+4y}{3})^{2}+(-\frac{4x+2y}{3})^{2}=1 \Rightarrow20x^{2}+32xy+20y^{2}=9 \)，由判別式 \( 16^{2}-20^{2}<0 \)，知為一橢圓。
注意 \( (a,b)\mapsto(x,y) \) 為 \( \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} \) 的對射。故以橢圓上的任一點 \( (x,y) \)，皆可逆推找到 \( A(a,0) \), \( B(0,b) \) 滿足 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，使得 \( P \) 之坐標為 \( (x,y) \)。
綜合以上，軌跡為 \( \{(x,y)\mid 20x^{2}\pm32xy+20y^{2}=9\} \)，其圖形為兩橢圓。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-18 07:22 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2013-4-18 06:40 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7805&ptid=1568][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這裡，不難估計出 P 是有界，離原點不會太遠，
個人的看法是：有界的圖形不會是雙曲線那樣的圖形，除非它剛好是一部分
倒是如橢圓和圓，這類封閉有界的二次曲線，才有可能
計算如下，如有錯誤或疏漏，還請指正：
令 \( A(a,0) , \)... [/quote]
請教一下
P點座標是怎麼來的?
想好久, 不好意思,打擾一下
回復 34# arend 的帖子
P在第一象限的case:若ABCD的外接正方形為OMNW，O為原點，
且B在OM上，C在MN上，D在NW上，A在WO上,
則 三角形AOB, BMC, CND, DWA 皆為 兩股a 與 b, 斜邊1的直角三角形
因而 M(0,a+b), N(a+b,a+b), W(a+b,0),
C(b,a+b), D(a+b,a)
而 P 為CD中點 ((a+2b)/2,(2a+b)/2)
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-20 09:14 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]Joy091[/i] 於 2013-4-20 08:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7821&ptid=1568][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
P在第一象限的case:
若ABCD的外接正方形為OMNW，O為原點，
且B在OM上，C在MN上，D在NW上，A在WO上,
則 三角形AOB, BMC, CND, DWA 皆為 兩股a 與 b, 斜邊1的直角三角形
因而 M(0,a+b), N(a+b,a+b), W(a+b,0),
C(b,a+b), ... [/quote]
謝謝joy091老師 [size=3]填充題 6. 設 P(x) 為領導係數為1 的二次多項式, 若 P(x²+4x–7) = 0 有一根為 1, 且至少有一重根, 則 P(5) 的所有可能值為?[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]<Sol>: 解 P(x²+4x–7) = 0 的方法: 1. 先解出 x²+4x–7 = t ; 2. 再解出 x[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故 P(x²+4x–7) = 0 有重根 ⇔ P(x) 有重根 或 x²+4x–7 = t 有重根[/size]
[size=3][/size]
[size=3](i) P(x) 有重根，又 P(-2) = 0 ⇒ P(x) = (x+2)² ⇒ P(5) = 49[/size]
[size=3][/size]
[size=3](ii) x²+4x–7 = t 有重根 ⇒ t = -11 ⇒ P(-11) = 0，又 P(-2) = 0 ⇒ P(x) = (x+11)(x+2) ⇒ P(5) = 112[/size]
[size=3][/size] [size=3]計算5. 有 5 個黑棋和 5 個白棋，排成一列 ，則有連續出現三顆依序為 "黑白黑" 的機率為？[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]分母: C(10,5) = 252
[/size]
[size=3]分子: 利用取捨原理 = C(4,1)*H(5,4) - C(4,2)*H(4,3) + C(4,3)*H(3,2) - C(4,4)*H(2,1) = 182[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求 = 182 / 252 = 13/18[/size][size=3]
[/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2016-9-24 02:43 AM 編輯 [/i]]
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