102北一女中
北一女102學年度第1次教師甄選數學科筆試測驗題試題暨答案只有公布填充題部份的 6 題
----------以下部分計算題內容由 kpan 網友提供------------
3. 銳角三角形ABC,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5, AB=3 , 求三角形面積？
4. 令A(x,0)和B(0,y)分別為x軸和y軸上移動,且AB=1,以AB的長度做一正方形ABCD,令P為CD上的中點,求P的軌跡方程式以及圖形為何？
5. 有5個相同的黑棋 和 5個相同的白棋,排成一列 ,若 連續出現三顆依序為"黑白黑"的機率為 ？
請教填充第六題
可以請教填充第六題嗎？謝謝回復 2# brace 的帖子
令 \( P(x) = (x-\alpha)(x-\beta) \)，由 \( P(x^2+4x-7) = 0 \) 有一根為 1 可得 \( \alpha = -2 \) 或 \( \beta =-2 \)不失一般性，令 \( \alpha = -2 \)
又 \( P(x^{2}+4x-7)=(x^{2}+4x-7+2)(x^{2}+4x-7-\beta)=(x+5)(x-1)(x^{2}+4x-7-\beta) \) 有重根
因此此重根為 1 或 -5， 或者 \( x^{2}+4x-7-\beta=0 \) 有重根
因此得 \( \beta =-2 \) 或 \( -11 \)
故 \( P(5)=(5+2)^{2}=49 \) 或 \( (5+2)(5+11)=112 \) 我的解法有用到微分
令 \(\displaystyle f(x)=P(x^2+4x-7)=(x^2+4x-7)^2+b(x^2+4x-7)+c\)
則有 \(\displaystyle f(1)=0\)，即 \(\displaystyle 4-2b+c=0\)
另外因為至少有一重根，所以在 \(\displaystyle f'(x)=0\) 的實數解之中，至少有一個滿足 \(\displaystyle f(x)=0\)
於是由 \(\displaystyle f'(x)=2(x^2+4x-7)(2x+4)+b(2x+4)=(2x+4)(2x^2+8x-14+b)\) 知道
\(\displaystyle f(-2)\), \(\displaystyle f(x_1)\), \(\displaystyle f(x_2)\) 至少一個為零，
其中 \(\displaystyle x_1,x_2\) 為 \(\displaystyle 2x^2+8x-14+b=0\) 的兩根。
\(\displaystyle f(-2)=0\) 時，得到 \(\displaystyle 11^2-11b+c=0,b=13,c=22,P(5)=112\)
\(\displaystyle f(x_1)=0\) 時，因為 \(\displaystyle 2x^2_1+8x_1-14=-b\)，得到 \(\displaystyle (-\frac{b}{2})^2+b\frac{-b}{2}+c=0\),
\(\displaystyle c=\frac{b^2}{4}, b=4, c=4, P(5)=49\)
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-13 12:28 PM 編輯 [/i]]
回復 3# tsusy 的帖子
謝謝，我懂了，感謝^_^回復 4# Joy091 的帖子
兩種方法都很好，受教了，感謝^_^ 想請教第3题，我個人是用慢慢推的方式可是我覺得很慢，很難找
我覺得應該有個比較有系統的方式
請大家給小弟一點方向，感謝先^.^
回復 7# addcinabo 的帖子
第3題以下的記號是 \( a = a_1 \), \( n = k \)
\( \frac{a+a+(n-1)}{2}\cdot n=2000\Rightarrow(2a+n-1)\cdot n=4000\)
\( \Rightarrow n\mid4000 \) 又 \( 2a=\frac{4000-(n^{2}-n)}{n}>0\Rightarrow n\leq63 \) 。
而 \( 4000=2^{5}\cdot5^{3} \) ，由 \( n\mid4000 \) 及 \( 2\leq n\leq63 \)，得 \( n \) 之可能有 \( 2,4,8,16,32,5,10,20,40,25,50 \) 。
但 \( 2a \) 為偶數可得 \( 2 , 4 , 8 , 16, 10 , 20 , 40, 50 \) 不合。 (這些 \( n \) 使得 \( \frac{4000}{n}-n+1= \) 偶- 偶+1= 奇)
故 \( (n,a)=(32,47) , (5,398) , (25,68) \) 。 請問一下第4題我的想法是p(1,5,7)到平面E的最短距離,E事由向量b及向量c所展的平面.但我的答案算出來是 1/根號3 ?是我的想法錯了嗎?
回復 9# cally0119 的帖子
第4題，方法是對的，應該只是計算錯誤而已\( \vec{b} \times \vec{c} = (-1,2,-1) \)，故平面 E 之方程式為 \( x-2y+z=0 \)
點 \( P(1,5,7) \) 到平面之距離為 \( \frac{|1-10+7|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)
回復 9# cally0119 的帖子
第 4 題設\(\vec{a}=(1,5,7),\vec{b}=(3,4,5),\vec{c}=(1,1,1)\)，且\(x,y\)為實數，則\(|\;\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}|\;\)之最小值為[u] [/u]。
[解答]
（對比上法～這是另解～：Ｐ）：
\(\left|\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}\right|^2=\left|\vec{a}\right|^2+x^2\left|\vec{b}\right|^2+y^2\left|\vec{c}\right|^2-2x\vec{a}\cdot\vec{b}-2y\vec{a}\cdot\vec{c}+2xy\vec{b}\cdot\vec{c}\)
\(=75+50x^2+3y^2-116x-26y+24xy\)
\(=50x^2-4\left(29-6y\right)x+\left(3y^2-26y+75\right)\)
\(=50\left(x-\frac{29-6y}{25}\right)^2+\left(\frac{3}{25}y^2+\frac{46}{25}y+\frac{193}{25}\right)\)
\(=50\left(x-\frac{29-6y}{25}\right)^2+\frac{3}{25}\left(y+\frac{23}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\)
\(\geq \frac{2}{3}\)
當 \((x,y)=(3,\frac{-23}{3})\) 時，\(\left|\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}\right|\) 有最小值為 \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
註：也可以令 \(f(x,y)=75+50x^2+3y^2-116x-26y+24xy\) 由 \(\frac{\partial }{\partial x} f(x,y)=0, \frac{\partial }{\partial y} f(x,y)=0\) 解得最小值發生時的 \((x,y)\) 之值。
113.1.30補充
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957[/url] 謝謝!我知道哪裡錯了,我竟然在最後一步將答案寫成 根號2/根號3 ! 竟然檢驗半天看不出來!謝謝你的答覆! 也謝謝瑋岳老師的解法!其實最先開始我是用這個方法,但是我是用配方法解覺得很麻煩!原來是我沒想到用微分,受益良多,謝謝! [填充3] 參考看看~
(1)奇數項：設 n-j,....,n-2, n-1, n, n+1, n+2,...,n+j (2j+1項)
2000 = (2j+1)n = 5*400 = 25*80 = 5*16
a_1 = n-j = 398 或 68
(2)偶數項：設 n-j,...,n-2, n-1, n, n+1, n+2,....,n+j-1 (2j項)
2000 = j(2n-1) = 400*5 = 80*25 = 16*5
a_1= n-j =47
感謝瑋岳老師、hau0127老師、tuhunger老師提供第1題、第5題的作法，讓小弟獲益匪淺^^
[[i] 本帖最後由 airfish37 於 2013-6-22 02:08 PM 編輯 [/i]]
回復 14# airfish37 的帖子
填充第 5 題：[attach]1592[/attach]
回復 14# airfish37 的帖子
補充一個填充5，但做法類似瑋岳大。回復 14# airfish37 的帖子
填充第 1 題：[attach]1594[/attach]
註：感謝 Joy091 老師提醒我最後一行漏寫了絕對值。現已修正。
（我真是漏東漏西，擔心以後會有痴呆症。哈！） [quote]原帖由 [i]tuhunger[/i] 於 2013-4-15 05:43 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7756&ptid=1568][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[/quote]
第四題 另解
[[i] 本帖最後由 tuhunger 於 2013-4-15 11:29 PM 編輯 [/i]]
第4題 另解
我的方法應該 跟cally0119老師有異曲同工之妙(我的稍微偏向代數) 由小弟來提供一下 計算題部份（沒有全部） 因為第一和第二 是偵錯題 來不及抄題3. 銳角三角形ABC,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5, AB=3 , 求三角形面積？
4. 令A(x,0)和B(0,y)分別為x軸和y軸上移動,且AB=1,以AB的長度做一正方形ABCD,令P為CD上的中點,求P的軌跡方程式以及圖形為何？
5. 有5個相同的黑棋 和 5個相同的白棋,排成一列 ,若 連續出現三顆依序為"黑白黑"的機率為 ？
小弟卡在第五題～～～若有需要 晚點在po 3 和4 小弟的解法........
[[i] 本帖最後由 kpan 於 2013-4-16 03:03 PM 編輯 [/i]]
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