例題：把 Σ 轉換成積分求近似值考題
[quote]稍微指點一下...拜託了sigma k=1~10000 k^(-1/2)
的整數部分為多少?[/quote]
[img]https://math.pro/temp/qq44.jpg[/img]
我也不太會畫圖，所以我畫一個如果把題目的 10000 改成 3 的圖形來給解題的人參考好了
[img]https://math.pro/temp/qq46.jpg[/img]
如圖可得，綠色區域面積<藍色區域面積<黃色區域面積
然後分別把綠色跟黃色區域的面積用積分形式表示，
就是證明裡的不等式(只是要把證明裡的 10000 改成 3，把 10001 改成 4)。
另外，額外附上電腦計算結果
[img]https://math.pro/temp/qq45.jpg[/img]
^______^
原題目來自：[url=http://www.student.tw/db/showthread.php?t=93398]http://www.student.tw/db/showthread.php?t=93398[/url] 試證明：對於一切自然數\(n\)，\(\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)恆成立。再計算\(\displaystyle \Bigg[\; \sum_{n=1}^{10000} \frac{1}{\sqrt{n}} \Bigg]\;\)，此處高斯符號\( [\;x ]\; \)表示正實數\(x\)的"整數部分"。
(71大學聯考試題，[url]https://math.pro/db/thread-2441-1-1.html[/url])
[x]表不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \Bigg]\; \)
(93國立大里高中，[url=https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html[/url])
求\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的整數部分。
(94全國高中數學競賽 台南區筆試一試題)
估計\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的值，下列何者正確？
(A) \( S \le 100 \) (B) \( 100<S \le 200 \) (C) \( 200<s \le 300 \) (D) \( 300<s \le 400 \)
(94台中縣高中聯招)
若\( \displaystyle x=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，若[x]表不大於x的最大整數，則[x]=？
(96高雄中學)
若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{9999} \frac{1}{\sqrt{k}} \)，則x的整數部分為？
(97師大附中第一次教師甄試)
設[x]表不大於x的最大整數( \( x \in R \) )，\( \displaystyle a=\sum_{k=5}^{2008} \frac{1}{\sqrt{k}} \)，試求[x]之值。
(97淡水商工)
求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}= \)？(必須寫出過程，不可僅寫簡答)
(97台南女中，[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47757]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47757[/url])
求\( 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{900}} \)的整數部分？
(99中一中，[url=https://math.pro/db/thread-929-1-1.html]https://math.pro/db/thread-929-1-1.html[/url])
\( \displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}} \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}} \)
(99左營高中，[url=https://math.pro/db/thread-1016-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1016-1-1.html[/url])
若\( \displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}} \)，求[k]？
(100文華高中，[url=https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html]https://math.pro/db/thread-1095-3-1.html[/url])
\( \displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，則[S]=？
(100北一女，[url=https://math.pro/db/thread-1123-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1123-1-1.html[/url])
令\( \displaystyle s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，若\( \displaystyle n \le \frac{s}{10}<n+1 \)，其中n為自然數，則n=？
(100台北市中正高中二招，[url=https://math.pro/db/thread-1169-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1169-1-1.html[/url])
若\( \displaystyle k=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}} \)，求[k]=？
(100香山高中，[url=https://math.pro/db/thread-1186-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1186-1-1.html[/url])
令\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{729}} \)，若\( [\; x ]\; \)表不大於x的最大整數，求\( [\; S ]\;= \)？
(101中正高中二招，[url=https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html[/url])
估計\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)的值，則(1)\( S \le 100 \) (2)\( 100<S<200 \) (3)\( 200<S<300 \) (4)\( 300<S<400 \)
(101中區國中聯招)
\( [\;x ]\; \)表示不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
(101文華高中代理，[url]https://math.pro/db/thread-1462-1-1.html[/url])
若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{2499}\frac{1}{\sqrt{k}} \)，求\( x \)的整數部分。
(103高中數學能力競賽，[url]https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html[/url])
證明：\(\displaystyle 87<\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{2019}}<89\)
(108彰化女中，[url]https://math.pro/db/thread-3123-1-1.html[/url])
設數列\(\displaystyle a_n=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n}}\)，求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}=\)[u] [/u]。
(109中科實中國中部，[url]https://math.pro/db/thread-3347-1-1.html[/url])
已知一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，\(a_1=4\)，\(a_2=5\)，若\(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}^2-1}{a_{n-2}}\)，\(n\ge 3\)，\(n\in N\)，
(1)求此數列的一般項\(a_n\)
(2)\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2021}\frac{1}{\sqrt{a_n}}\)的整數部分為何？
(110台中女中，[url]https://math.pro/db/thread-3515-1-1.html[/url])
附上正統的解法
奧數教程高一 第9講數列求和
奧數教程高二 第3講證明不等式的常用方法和技巧(Ⅰ)
奧數教程高二 第24講高斯函數[x] 想請教老師們奧數教程的解法中...為何要
2<=k <=1000000
為何2不能改成1呢??是因為估計會錯誤嗎??
不然k=1也符合不等式的部份呀?!
3Q
[quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2011-5-8 07:47 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3048&ptid=156][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
[x]表不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \Bigg]\; \)
(93國立大里高中，[url]https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html[/url])
求... [/quote]
回復 3# natureling 的帖子
\(k=1\) 時，\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}=1\) 本來就是整數，所以不用刻意去估計 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1}}\) 的範圍，
而且刻意去估計會讓誤差變大。 老師你好!對於您的算法有幾點感到很困惑，不知道能否替我解惑
1.首先，是藍色框框與黃色框框的大小關係
藍色的一二項等於黃色的一二項，這部分沒有問題，
但是如何得知x=2之後的曲面下面積會大於之後的框框，好像光由圖形中無法證明
2.您的第三步驟2 [(10001)^1/2 - 1 ] <2 [(10000)^1/2 - 1 ] <原式
這步驟的原因為何，有沒有可能有下列的情形2 [(10001)^1/2 - 1 ] <原式<2 [(10000)^1/2 - 1 ]
麻煩老師指教了 1. 第三塊黃色框框的最右邊的高度＝第三塊藍色框框最左邊的高度＝第三塊藍色框框其他地方的高度。
因為是遞減函數，所以 第三塊黃色框框其他地方的高度都會 大於等於 第三塊黃色框框最右邊的高度。
2. 你應該看錯了，我是寫 2 [(1000[color=Red]1[/color])^1/2 - 1 ] <原式<....
跳下一行寫 2 [(1000[color=Red]0[/color])^1/2 - 1 ] <2 [(1000[color=Red]1[/color])^1/2 - 1 ] <原式
多增寫的下界 "2 [(1000[color=Red]0[/color])^1/2 - 1 ]" 只是為了方便開根號。
^_____^ 喔喔!!(豁然開朗的感覺....)
謝謝瑋岳老師的指教，不知道為什麼最近眼殘的非常嚴重，再次感謝您的指導。
回復 3# natureling 的帖子
第一次估計，k=1，2*( sqr(1000001) - sqr(1) ) < S < 2*( sqr(1000000) - sqr(0) )
1998.001 < S < 2000 不確定S整數部份為1998 或 1999
再進一步估計，k=2
2*( sqr(1000001) - sqr(2) ) +1 < S < 2*( sqr(1000000) - sqr(1) ) + 1
1997.173 +1 < S < 1998 +1
1998.173 < S < 1999 ....確定整數部份為 1998 ，結束。
應該就是 #4 所說，誤差變小了，可以估計更精確(取到整數)。(估計1時，範圍太大，取不到較精確範圍)
頁:
[1]