請教一題三角問題：A+B+C=180度，證明 cosA cosB cosC<=(1/8)
若A+B+C=180度如何證明
cosA cosB cosC<=(1/8)
謝謝
試過"積化和差",算不出來
請教版上高手
回復 1# arend 的帖子
之前寫過，但方法不是很漂亮，參考就好了，期待樓下證得更簡潔一點當 \( \triangle ABC \) 為鈍角三角形或直角三角形時，\(\displaystyle \cos A\cos B\cos C\leq0\leq\frac{1}{8} \) ，不等式成立。
若 \( \triangle ABC \) 為銳角三角形，則 \( \cos A , \cos B , \cos C>0 \) 。
由算幾不等式得 \(\displaystyle \cos A\cos B\cos C\leq(\frac{\cos A+\cos B+\cos C}{3})^{3} \)
而 \(\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}\leq2\cos(90^{\circ}-\frac{C}{2})=2\sin\frac{C}{2} \) 。
故有 \(\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C\leq2\sin\frac{C}{2}+\cos C=2\sin\frac{C}{2}+1-2\sin^{2}\frac{C}{2}=-2(\sin\frac{C}{2}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}\leq\frac{3}{2} \) 。
綜合以上得 \(\displaystyle \cos A\cos B\cos C\leq(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8} \)，等號成立條件為 \(\displaystyle \sin\frac{C}{2}=\frac{1}{2} \) 且 \( \angle A=\angle B \) 。
又 \( \triangle ABC \) 為銳角三角形，故此即為 \( \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ} , \triangle ABC \) 為正三角形之時，等號才會成立。
上面的方法有點小瑕疵，是針對三角形 ABC 的三內角，而非任意的 \( A+B+C =180^\circ \)
113.5.31補充
試證明在三角形\(ABC\)中，求\(cosA\cdot cosB\cdot cosC\)的最大值為\(\displaystyle \frac{1}{8}\)。
(113華江高中，[url]https://math.pro/db/thread-3880-1-1.html[/url])
回復 2# tsusy 的帖子
若 \( \triangle ABC \) 為銳角三角形，則 \(\displaystyle \cos A\cos B\cos C \leq ( \frac{\cos A+\cos B+\cos C}{3})^{3} \leq ( \cos \frac{A+ B+C}{3})^{3} \leq \frac{1}{8} \) 謝謝
tsusy老師與李老師
這個問題我當時有想過算幾不等式
不過在書中(高中數學競賽教程P.162)
所提到只是三角形ABC
所以....
再次感謝你們
回復 3# cplee8tcfsh 的帖子
另解,請參考，若 \( \triangle ABC \) 為銳角三角形，
以下請自行作圖，作三角形的三高,AD,BE,CF，令AF,FB,BD,DC,CE,EA依序為a,b,c,d,e,f，
則 \(\displaystyle \cos^2 A\cos^2 B\cos^2 C =
\frac{a}{e+f} \frac{f}{a+b}
\frac{b}{c+d} \frac{c}{a+b}
\frac{d}{e+f} \frac{e}{c+d}
=
\frac{a b }{(a+b)^2}
\frac{c d }{(c+d)^2}
\frac{e f }{(e+f)^2}
\leq \frac{1}{64}
\) [quote]原帖由 [i]cplee8tcfsh[/i] 於 2012-12-21 09:55 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7387&ptid=1516][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
另解,請參考，
若 \( \triangle ABC \) 為銳角三角形，
以下請自行作圖，作三角形的三高,AD,BE,CF，令AF,FB,BD,DC,CE,EA依序為a,b,c,d,e,f，
則 \( \cos^2 A\cos^2 B\cos^2 C =
\frac{a}{e+f} \frac{f}{a+b}
\frac{b}{c+d} \) ... [/quote]
謝謝 李老師
想通了,好方法
謝謝
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