2000AMC12一題
若 a+b+c =10 , 求 abc+ab+ac+bc的最大值 ? (amc的試題)補上條件 a,b,c為非負整數
(題本參考解法)
abc+ab+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1 <= 如何得到的呢?
101.11.13版主補充
修改文章標題和補上出處
Let A,M,C and be nonnegative integers such that \( A+M+C=12 \). What is the maximum value of \( A \cdot M \cdot C+A \cdot M+M \cdot C+C \cdot A \)?
(A)62 (B)72 (C)92 (D)102 (E)112
(2000AMC12，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=2000[/url])
回復 1# s6423579 的帖子
[quote]原帖由 [i]s6423579[/i] 於 2012-11-13 09:29 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7274&ptid=1504][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]若 a+b+c =10 , 求 abc+ab+ac+bc的最大值 ? (amc的試題) [/quote]
取 \(a=2k+10, b=-k, c=-k\)，其中 \(k\in\mathbb{R}\)
則 \(a+b+c=10\) 且 \(abc+ab+bc+ca=2k^3-7k^2-20k\)
當 \(k\to\infty\) 時，\(abc+ab+bc+ca\to\infty\)。
故，\(abc+ab+bc+ca\) 無最大值。
註：題目的 \(a,b,c\) 如果沒有「其它限制」的話，所求是沒有最大值的。
回復 1# s6423579 的帖子
如果題目如 2000 年 AMC 的原始題目為 \(a,b,c\) 是"非負整數"且 \(a+b+c=12\) 的話，則 \(abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)-1-(a+b+c)=(1+a)(1+b)(1+c)-13\)
由算幾不等式，可得 \(\displaystyle\frac{(1+a)+(1+b)+(1+c)}{3}\geq \sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\Leftrightarrow 125\geq(1+a)(1+b)(1+c)\)
\(\Leftrightarrow 112 \geq (1+a)(1+b)(1+c)-13\)
\(\Leftrightarrow 112 \geq abc+ab+bc+ca\)
且當等號成立時，\(a=b=c=4\)。
註：把 \((1+a)(1+b)(1+c)\) 乘法展開～會有 \(a\cdot b\cdot c, 1\cdot a\cdot b, 1\cdot b\cdot c,1\cdot a\cdot c, 1\cdot 1\cdot a, 1\cdot 1\cdot b, 1\cdot 1\cdot c, 1\cdot 1\cdot 1\) 各一個，
所以 \((1+a)(1+b)(1+c)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)
\(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca=(1+a)(1+b)(1+c)-1-(a+b+c)\)
回復 3# weiye 的帖子
abc+ab+ac+bc=(a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c)-1 這一步，如何聯想到的呢?回復 4# s6423579 的帖子
\(abc+ab+ac+bc\) 就是 \(a,b,c\) 任選三個相乘，加上～任選兩個相乘～就會想說～其它的（任選一個、零個相乘）跑去哪裡了？
全部補齊的話，就是 \(abc+ab+bc+ca+a+b+c+1\)
可是～那就是 \((1+a)(1+b)(1+c)\) 呀！
所以把 \((1+a)(1+b)(1+c)\) 扣掉題目沒有的 \(a+b+c+1\)，就會是題目要問的 \(abc+ab+ac+bc\) 了！
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