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bugmens 發表於 2010-6-23 06:44

99鳳新高中

試題及答案請見附件。

以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 79分
100,86,82,80,79

其他
70~76分 6人
60~69分 5人
50~59分 8人
40~49分 15人
30~39分 14人
20~29分 16人
10~19分 18人
0~ 9分 25人

共計112人

bugmens 發表於 2010-6-23 06:45

1.設數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)遞迴定義式為\( \displaystyle \cases{\displaystyle a_1=1 \cr a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4}，(n \in N,n \ge 2) } \)，求\( a_n= \)？(以n表示)


2.求\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)的最小值？及當時的x值？

88高中數學能力競賽　台北市筆試二試題
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... h_TaipeiCity_02.pdf
95台中高農，96彰師附工，97文華高中，99萬芳高中都考過這題
[url=https://math.pro/db/thread-969-1-1.html]https://math.pro/db/thread-969-1-1.html[/url]


5.若a,b,c為△ABC的三邊長，且\( \displaystyle s=\frac{a+b+c}{2} \)，求證：\( \displaystyle \sqrt{s-a}+\sqrt{s-b}+\sqrt{s-c} \le \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}} \)

a,b,c為△ABC的三邊長，試證明\( \sqrt{a+b-c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{-a+b+c} \le \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \)

(1996APMO，[url=http://www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo1996.html]http://www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo1996.html[/url]
97中二中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=44807　連結已失效
99新竹實驗中學 都考過這題)


7.
解\( \displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \)
[解答]
\( \displaystyle \left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)=x-1 \)
\( \displaystyle \left( x \right)\left(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}\right)=x-1 \)
\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\frac{x-1}{x} \)
\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)
兩式相加得到\( \displaystyle 2 \sqrt{x-\frac{1}{x}}=(x-\frac{1}{x})+1 \)
\( \displaystyle 4 \left( x-\frac{1}{x} \right)=\left( x-\frac{1}{x} \right)^2+2 \left( x-\frac{1}{x} \right)+1 \)
\( \displaystyle \left( x-\frac{1}{x} \right)^2-2 \left(x-\frac{1}{x} \right)+1=0 \)
\( \displaystyle \left( x-\frac{1}{x}-1 \right)^2=0 \)
\( \displaystyle x-\frac{1}{x}-1=0 \)
\( x^2-x-1=0 \)
\( \displaystyle x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)

112.8.21補充出處
Find all real numbers \(x\) such that \(\displaystyle x=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{1/2}+\left(1-\frac{1}{x}\right)^{1/2}\)
(1998加拿大數學奧林匹亞，[url]https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1998.pdf[/url])

其他類似問題請一併準備
解方程式\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)
(初中數學競賽教程P58)

解方程式\( \displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{2x}}+\sqrt{2x-\frac{1}{2x}}=2x \)
(94台北縣高中聯招)
[url=http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=36653]http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=36653[/url]
[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12804]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12804[/url]

解方程式\( \displaystyle \sqrt{x+\frac{1}{x}+1}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}=x \)
(建中通訊解題第55期)

111.7.1補充
若\(a\)是\(\displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x\)的解，則\(a=\)[u]　　　[/u]。
(101桃園農工，[url]https://math.pro/db/thread-1379-1-6.html[/url])

8.若\( \cases{ax+by=3 \cr ax^2+by^2=7 \cr ax^3+by^3=16 \cr ax^4+by^4=42} \)，求\( ax^5+by^5= \)？
更多類似題目請見　[url=https://math.pro/db/thread-799-1-2.html]https://math.pro/db/thread-799-1-2.html[/url]

rudin 發表於 2010-6-23 14:19

想請問第4題

weiye 發表於 2010-6-23 17:09

第 4 題

若 \(\displaystyle\left(4\cos^2 9^\circ-3\right)\left(4\cos^2 27^\circ - 3\right) = \tan x^\circ\)，求最小的正整數 \(x=\)？


解答：

\(\displaystyle\left(4\cos^2 9^\circ-3\right)\left(4\cos^2 27^\circ - 3\right)\)


\(\displaystyle= \frac{\left(4\cos^3 9^\circ-3\cos9^\circ\right)\left(4\cos^3 27^\circ - 3\cos 27^\circ\right)}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ}\)


\(\displaystyle=\frac{\cos27^\circ \cos81^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ}\)


\(\displaystyle=\frac{\cos27^\circ \sin9^\circ}{\cos 9^\circ \cos 27^\circ}\)


\(\displaystyle=\tan9^\circ.\)

老王 發表於 2010-6-23 19:48

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2010-6-23 05:09 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2276&ptid=974][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 4 題

若 \(\displaystyle\left(4\cos^2 9^\circ-3\right)\left(4\cos^2 27^\circ - 3\right) = \tan x^\circ\)，求最小的正整數 \(x=\)？


解答：

... [/quote]

這個一定要讚十次~~~~~
打破腦袋也想不出來
又多學一招

rudin 發表於 2010-6-23 20:25

謝謝，第五題除了琴生不等式外，是否有其它解法，因為不會使用琴生不等式(可在最後一步驟進一步說明嗎？)

weiye 發表於 2010-6-23 21:09

[quote]原帖由 [i]rudin[/i] 於 2010-6-23 08:25 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2281&ptid=974][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝，第五題除了琴生不等式外，是否有其它解法，因為不會使用琴生不等式(可在最後一步驟進一步說明嗎？) [/quote]

琴生不等式　→　就是凹（或凸）函數的特性。

可以查詢關鍵字：[url=http://www.google.com.tw/search?&q=jensen%27s+inequality]Jensen's inequality[/url]

至於另解嘛～～我也來想看看。＝＝

bugmens 發表於 2010-6-23 21:11

回復 6# rudin 的帖子

Jensen不等式就要請你自行google了

另外一種方法就用均方根
連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=20&year=1996
點題號跳到討論的文章

八神庵 發表於 2010-6-24 00:13

[quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2010-6-23 09:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2285&ptid=974][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
Jensen不等式就要請你自行google了

另外一種方法就用均方根
[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=20&year=1996]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=20&year=1996[/url]
點題號跳到討論的文章 [/quote]

[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1576&start=0]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=1576&start=0[/url]
M9331707大的科西

rudin 發表於 2010-6-24 12:45

謝謝大家，已用琴生不等式完成！

Duncan 發表於 2010-6-24 21:48

想請問bugmens老師

第一題遞迴的想法是怎麼想到的

感覺沒有動機= =

還有請問各位老師有什麼書是專門講遞迴數列的

我覺得我那邊很弱

八神庵 發表於 2010-6-25 00:42

[quote]原帖由 [i]Duncan[/i] 於 2010-6-24 09:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2298&ptid=974][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問bugmens老師

第一題遞迴的想法是怎麼想到的

感覺沒有動機= =

還有請問各位老師有什麼書是專門講遞迴數列的

我覺得我那邊很弱 [/quote]
先把第一題的遞迴先倒數,令A_n=1/a_n
再利用(A_n)-aplha=4/5[(A_n-1)-alpha]
求出alpha=3
可知(A_n)-3為r=4/5之等比數列
故(A_n)-3=[(A_1)-3]乘(4/5)^(n-1)
這樣就會解了吧.....

idontnow90 發表於 2012-9-15 00:42

請教一題

想請教這題~\( \displaystyle \sqrt{x+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)
我令\( \displaystyle \alpha=\sqrt{x+\frac{1}{x}},\beta=\sqrt{1-\frac{1}{x}} \)
得到  \( \displaystyle x=\alpha +\beta \) 和   \( \displaystyle \alpha^2+\beta^2=x+1\)
請問接下來怎麼解呢?感謝~

poemghost 發表於 2012-9-16 21:38

這一題記得有三種方法以上
我自己是用最原始的方法，平方移項再平方，就可以去根號解出x了
當然要記得根號裡必須是非負的限制，其實不會很複雜的，可見原始不一定是壞事^^
另一種就是變數變換之類的，還有一種是幾何構造，這就比較深了

idontnow90 發表於 2012-9-17 21:57

我有試過您說的方式.可是這樣移項.平方再平方.變成
\( \displaystyle x^4-2x^3-x^2-2x+5-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}=0 \)
請教這樣要怎麼繼續下去呢?感謝~

bugmens 發表於 2012-9-18 20:09

題目出自初中數學競賽教程P58，結論是題目印錯將減號印成加號，考量各位網友手邊沒有這本書，我直接將書本內容貼出來，希望各位不要再受到這題的困擾了。

[attach]1433[/attach]
[attach]1434[/attach]

考古題也考過
解方程式\( \displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{2x}}+\sqrt{2x-\frac{1}{2x}}=2x \)
(94台北縣高中聯招，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12804　連結已失效)

\( x \in R \)且\( \displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x \)
(99鳳新高中，[url]https://math.pro/db/thread-974-1-1.html[/url])
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42580　連結已失效

解\( \displaystyle \sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x \)
(100建國中學數理資優入班鑑定初選　數學能力測驗試題卷，[url]http://www.ck.tp.edu.tw/~cktop94/test/mstest/100math.pdf[/url])

101.9.21補充
和99鳳新高中這篇文章合併在一起

102.6.23補充
若\( \displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \)，求\( x= \)？
(102基隆高中，[url]https://math.pro/db/thread-1659-1-1.html[/url])

106.7.21補充
試求所有實數\(x\)，使得\( \displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \)
(106木柵高工，[url]https://math.pro/db/thread-2842-1-1.html[/url])

idontnow90 發表於 2012-9-20 22:23

原來是題目印錯了阿..恍然大悟~謝謝~

tuhunger 發表於 2016-4-13 23:12

回復 15# idontnow90 的帖子

我算是x^4 -2X^3 -X^2 +2X +1=0
=> [x^2 -x -1]^2=0 後面就BJ4了

查看完整版本: 99鳳新高中