101松山工農(第二次)
請下載附件 想請教填充7和問答2 謝謝填充7.
\(x,y,z\)為正實數，\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=9 \cr y^2+yz+z^2=16 \cr z^2+zx+x^2=25}\)，求\(x+y+z=\)？
105.5.6補充
若三正實數\(x,y,z\)滿足\(\Bigg\{ \matrix{x^2+xy+y^2=25 \cr y^2+yz+z^2=49 \cr z^2+zx+x^2=64}\)，則\(x+y+z\)之值為何？
(建中通訊解題 第97期，[url]http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathweb/index.php?option=com_content&view=article&id=42:2012-02-07-02-50-11&catid=19:2011-11-23-08-30-15&Itemid=37[/url])
回復 2# 阿光 的帖子
填充第 7 題，方法同【100師大附中】第三題，可以利用費馬點來解題。請見 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=4#pid3109]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1100&page=4#pid3109[/url]
問答 2：乙生算出來的是 \(f(2013)\) 的值。利用差分的方法，代入函數的數字要成等差。
相關知識可搜尋關鍵字：巴貝奇（Babbage）定理、差分 想再請教問答6錯在哪裡 謝謝
回復 4# 阿光 的帖子
問答6當圓周上有六個相異點時，此六點連接所成的弦，最多可以將圓內部分成 \(31\) 塊而已。
如下圖：
[attach]1415[/attach]
至於正確的公式，可見 [url=https://math.pro/db/thread-916-1-1.html]https://math.pro/db/thread-916-1-1.html[/url] 想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??
另外想請教填充第4題..我分解好久分不出來..懇請大師提點...
感謝~ 小弟填充第 7 題聯想點：
\(x^2+xy+y^2=x^2+y^2-2xy\cos 120^\circ\)
聯想到餘弦定理，
聯想到～～～三角形內部一點到任兩頂點夾角皆為 \(120^\circ\)，
且內部此點到三角形的三頂點距離分別為 \(x,y,z\)
可知此點為費馬點。
填充第 4 題：
先整係數一次因式檢驗法，可知 \(2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=(x+1)(2x^4-10x^3+13x^2-3)\)
再來研究看看 \(2x^4-10x^3+13x^2-3\)
「猜測」它可以被強迫分解成兩個整係數二次式的乘積～
最有可能的「猜測」有～～～
\((x^2+ax-1)(2x^2+bx+3)\)
或是 \((x^2+ax+1)(2x^2+bx-3)\)
或是 \((x^2+ax-3)(2x^2+bx+1)\)
或是 \((x^2+ax+3)(2x^2+bx-1)\)
此四種情況，分別都乘開，與 \(2x^4-10x^3+13x^2-3\) 比較係數，
看看哪一個可以解出正確的 \(a,b\)。
（實際上： \(2x^4-10x^3+13x^2-3=(x^2-2x-1)(2x^2-6x+3)\)）
剩下的就容易了。 [quote]原帖由 [i]idontnow90[/i] 於 2013-3-22 04:19 PM 發表
想請教第7...
1.我有看了費瑪點的方式解法...但是我想說是否有更簡單的方法?
2.想請教這怎麼會聯想到費瑪點??[/quote]
這些題目本來就是精心設計過的，看不出來也是很正常的
但假若題目看得多的話，就能識破其中的端倪
不外乎將幾何問題改為代數問題，或將代數問題改成幾何問題
我找一些題目讓你練習看看
假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \)，\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \)，令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( \vert\ Q-A \vert\ + \vert\ Q-B \vert\ + \vert\ Q-C \vert\ \)的最小值)
(99屏北高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937&page=1#pid2024[/url])
正數x,y,z滿足方程組\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(高中數學競賽教程P261)
設實數x、y、z滿足，\( \displaystyle \matrix{x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \cr y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}} \cr z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}}} \)，且\( \displaystyle x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}} \)，其中m、n是正整數，且n不能被任何質數的平方整除，試求\( m+n \)之值。
(2006AIME，[url]http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2006_AIME_II_Problems/Problem_15[/url])
104.5.31補充
104新北市高中聯招終於考了這題。
[url]https://math.pro/db/thread-2279-1-1.html[/url]
有興趣的話可以去圖書館找"構造法解題"這本書來看 填充第8題中
矩陣A的特徵值是重根的，所以A的特徵向量是…？
題目中矩陣P的行向量我猜就是矩陣A的特徵向量了(有2個)
請問矩陣P若題目沒有給的話，要怎麼自己求出來呢？
回復 9# casanova 的帖子
Jordan Canonical Form另解. \( p_A(x) = x^2 + 8x +16 \)
考慮 \( r(x) \) 為 \( x^n \) 除以 \( p_A(x) \) 之餘式。
則有 \( r(-4) = (-4)^n, r'(-4) = n\times (-4)^{n-1} \)
以此二式解出 \( r(x) = ax+b \)。
則有 \( A^n = r(A) \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2013-5-16 10:26 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8188&ptid=1482][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
Jordan Canonical Form
另解. \( p_A(x) = x^2 + 8x +16 \)
考慮 \( r(x) \) 為 \( x^n \) 除以 \( p_A(x) \) 之餘式。
則有 \( r(-4) = (-4)^n, r'(-4) = n\times (-4)^{n-1} \)
以此二式解出 \( r(x) = ax+b \) ... [/quote]
謝謝寸絲大大的另解
這方法是不是只能用在二階方陣且特徵值是重根的情況下？
還是有別的情形也可使用？
原題目矩陣P的第一行行向量是\(A\)的特徵向量不難得知
但第二行行向量也是\(A\)的特徵向量吧，不知從何而來...
自己的線性代數一直不太好...
回復 11# casanova 的帖子
方法沒有限定 2 階，也沒限定重根，但是也是有一些可能的限制在方法：是找出一個 \( A \) 的零多項式，通常用特徵多項式 \( p_A(x) \)
然後由除法原理有 \( x^n = p_A(x) q(x) + r(x) \)
當然不可能真的去做長除法，而是要透過類似餘式定理的方式，或者 \( p_A(x) \) 有特殊結構，才能快速的求出 \( r(x) \)。
例如： \( p_A(x) \) 如果是一個二次式，且 \( p_A(x) = 0 \) 之解是兩個無理解，那就透過餘式定理解 \( r(x) \)，只是係數有點醜。
一般的情況下，除非 \( p_A(x) \) 可以解分成一些簡單(如整係數)的一次式和二次式的乘積。
否則一旦碰上，沒有有理根的三次式，要計算 \( r(x) \) 可能就是一件困難的事了
不過如果真的這樣，要對角化還是算 Jordan Canonical Form 應該也是很難算才是。
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\( u \) 是特徵值 \( \lambda \) 所對應的特徵向量，再去解 \( (A-\lambda I)x= u \) (二階的可以這樣做)
特徵值的重數如果 \( >2 \) ,上面的方法就可能失效
有興趣自個 Google Jordan Canonical Form 去吧 想請教填充2和問答3，謝謝！
回復 13# clovev 的帖子
填充第 2 題：\(\displaystyle \log\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\log2\approx\frac{1.4142}{2}\times0.3010\approx0.2128\approx\log1.63\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^\sqrt{2}\approx1.63\)
\(\displaystyle \Rightarrow \log\left(\sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\right)=\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\log2\approx1.63\times0.5\times0.3010\approx0.2453\approx\log1.75\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\approx1.75\)
小數點以後第二位四捨五入，可得
\(\displaystyle \Rightarrow \sqrt{2}^{\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)}\approx1.8\)
回復 13# clovev 的帖子
問答題第 3 題：丙學生的算法是錯誤的，
因為第一個算幾不等式等號成立的條件是 \(\displaystyle a=\frac{1}{b}\Rightarrow ab=1\)
而第二個算幾不等式等號成立的條件是 \(\displaystyle 3b=\frac{1}{3a}\Rightarrow 9ab=1\)
顯然兩者不會同時成立，
丙學生找出來的是"下界"，而非最小值。
最小值需要確保"等號"會成立才行。
而正確的算法可以透過如下，使用柯西不等式：
\(\displaystyle \left(\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\right)\left(\left(\frac{1}{\sqrt{3a}}\right)^2+\left(\sqrt{3b}\right)^2\right)\geq\left(\sqrt{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{3a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\cdot\sqrt{3b}\right)^2\)
可得 \(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)\geq\frac{16}{3}\)
且上述柯西不等式等號成立的條件為 \(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\frac{1}{\sqrt{3a}}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{b}}}{\sqrt{3b}}\) ，即 \(3a=b\)
帶入 \(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)=\frac{16}{3}\)
可解得 \(\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=1\)（依題意，\(a,b\) 為正數）
因此，\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{3a}+3b\right)\) 之最小值為 \(\displaystyle\frac{16}{3}\)
註：在求不等式的最大或最小值時，只要有用超過一個以上的不等式串接時，
就要檢查是否所有不等式的等號是否有可能同時成立，
如果可以同時成立，那找出來的下界才會是最小值。 謝謝瑋岳老師！問答題我也是用柯西但是無法解釋算幾為何不成立。豁然開朗了感恩
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