回復 20# 阿光 的帖子
第 16 題：令 \(F(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)，則
\(F(x+1)-F(x)=3ax^2+(3a+2b)x+(a+b+c)\)
解 \(3a=-6,3a+2b=-4,a+b+c=4\)
可得 \(a=-2,b=1,c=5\)
因此，\(F\,'(x)=-6x^2+2x+5\)
\(\Rightarrow F\,'(2)=-15\) [quote]原帖由 [i]阿光[/i] 於 2012-8-5 07:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7078&ptid=1481][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想再請教16和20題 謝謝 [/quote]
#20
2^10*S_30- (2^10+1)*S_20 +S_10=0
整理得2^10*(S_30 -S_20)=(S_20 -S_10)
因為S_n為等比級數,所以,S_10 ,S_20 -S_10 ,S_30-S_20 成等比數列 (公比= 1/2^10)
則S_20 -S_10 = (1/2^10)*S_10
令{a_n}的公比為r
(1/2)*[r^20-1]/[r-1] - (1/2)*[r^10-1]/[r-1] = (1/2^10 ) * (1/2)*[r^10-1]/[r-1]
整理得1024* r^20 -1025*r^10+1=0
r^10=1/1024 或 r^10=1
r=1/2 (1不合)
所求=S_1+2*S_2+3*S_3+...............+n*S_n
=(1-1/2) +2 *[1- (1/2)^2]+3*[1-(1/2)^3]+..............................+n*[1-(1/2)^n]
=(1+2+3+...............+n)- [(1/2)+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+....................+n*(1/2)^n]
=n(n+1)/2 -2 + 1/2^(n-1) +n /2^n
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-8-5 10:47 PM 編輯 [/i]]
回復 20# 阿光 的帖子
第 20 題：設 \(<a_n>\) 等比數列的公比為 \(r\) 且 \(r>0\)，
令 \(S_{10}=a, r^{10}=t\)，則
\(2^{10}(a+at+at^2)-(2^{10}+1)(a+at)+a=0\)
因為 \(a>0, t>0\)，所以可得 \(\displaystyle t=\frac{1}{1024}\Rightarrow r=\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle\Rightarrow nS_n=n\cdot\frac{\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{1-\frac{1}{2}}=n-\frac{n}{2^n}\)
因此 \(<nS_n>\) 的前 \(n\) 項和 \(\displaystyle T_n = \sum_{k=1}^n k S_k = \sum_{k=1}^n\left(k-\frac{k}{2^k}\right)\)
\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n k -\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}\)
\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}\)
再化簡一下就可以得到標準答案的那個樣子了。
註：最後一行可以參考之前我回覆第 3 題的中間步驟（\(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) 代入）。 請教第8題與第21題
#8,二正跟與一負根,請提示一下
想了幾種方法都無法求出
謝謝
回復 24# arend 的帖子
第 8 題：三次曲線 \(y=x^3+3x^2-24x\) 與水平線 \(y=-a\) 有三個相異交點，
且其中有兩個交點的 \(x\) 坐標為正，一個交點的 \(x\) 坐標為負。
如下圖：
[attach]1421[/attach]
可得 \(-28<-a<0\Rightarrow 0<a<28\)
回復 25# weiye 的帖子
第 21 題：\(\displaystyle P(\mbox{丟四顆骰子一次，恰兩顆點數相同}) = \frac{C^4_2 \cdot 6\cdot5\cdot4}{6^4} = \frac{5}{9}\)
\(\displaystyle \Rightarrow P(\mbox{丟四顆骰子一次，沒有恰兩顆點數相同的情況}) = 1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\)
設滿足題述時，最少應投擲 \(n\) 次，則
\(\displaystyle 1-\left(\frac{4}{9}\right)^n>0.9\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^n<0.1\)
兩邊取 \(\log\) 得 \(n>2.xxxxxxx\)
\(\Rightarrow n\) 至少為 \(3\)。 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-8-14 03:52 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7095&ptid=1481][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 8 題：
三次曲線 \(y=x^3+3x^2-24x\) 與水平線 \(y=-a\) 有三個相異交點，
且其中有兩個交點的 \(x\) 坐標為正，一個交點的 \(x\) 坐標為負。
如下圖：... [/quote]
謝謝瑋岳老師
這個解法太漂亮了
趕快記下來 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-8-3 12:31 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7064&ptid=1481][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
#12
假設O1(0,0,0) ,O2(2,-5,3) ,令Q點為兩球的外公切平面與直線O1O2的交點,
利用分點公式可得Q(-1,5/2,-3/2),
而P(-1,4,0),則通過PQ的平面族可設 E: (x+1)+k(y-z-4)=0
整理E:x+ky-kz+1-4k=0 ,再利用 d(Q1,E)=1
可 ... [/quote]
#11
我找到了
弄懂了,謝謝
[[i] 本帖最後由 arend 於 2012-8-17 02:46 PM 編輯 [/i]]
回復 15# tsusy 的帖子
請問老師:第22題如果我直接算,設a,b,c,d分別為第一次到第四次的骰子點數.
則a+b+c+d<=16, 0<= a,b,c,d <=6
a'+b'+c'+d' <= 12, 0<= a',b',c',d'<=5
則點數和不超過16的結果為 H(512) - 4*H(5,6) = 980
故所求機率為 980/(6*6*6*6) = 490/648 不等於 493/648
請問是哪個步驟出問題了?! 請各位老師協助指正,謝謝!
回復 29# vicky614 的帖子
「容斥原理」，以前叫排容，換個名字也沒有比較好的樣子a'= 6, b'=6, c'=d'=0
在 H(5,12) - 4*H(5,6) 中
被扣了兩次
所以應該用容斥或排容修正之
回復 30# tsusy 的帖子
請問寸絲老師:1. 用容斥原理如何修正?
2. 所以這就是您一開始選擇用倒扣的方式,而不直接算的原因嗎?
是因為倒扣時,數字小,不會有重複扣嗎?
很好奇老師為什麼一開始不直接用這樣算,而是用扣的,想問想法.
麻煩老師,謝謝您的幫忙!
回復 31# vicky614 的帖子
1. 容斥原理自己該做點功課，翻書或 Google 都很容易找到
2. 基本上寸絲是個懶人
容斥的做法，也做到，但人懶沒藥醫，但麻煩就會胡思亂想
有句話叫「科技始終來自於人性」，所以我的數學，始終來自於墯性(笑) 想請問13，18題
[[i] 本帖最後由 icetea 於 2012-11-27 04:39 PM 編輯 [/i]]
回復 33# icetea 的帖子
18. 令 f(x) = ( x - k )( x - 1)( x - 2 )( x - 3) + 4x 這題我只告訴各位方向，有興趣的請自行將證明補完13.P為△ABC內部一點，且\( ∠PAB=∠PBC=∠PCA=15^o \)，求\( \displaystyle \frac{1}{sin^2 A}+\frac{1}{sin^2 B}+\frac{1}{sin^2 C}= \)？
[提示]
\( csc^2 A+csc^2 B+csc^2 C=csc^2 15^o \)
假如還是想不到該如何證明的話，可以到這裡找
[url]http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/[/url]
至於是哪一篇就要你自己慢慢瀏覽了，也順便看看其他的文章，對你絕對有幫助
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-11-28 12:10 PM 編輯 [/i]]
回復 18# tsusy 的帖子
想請教 寸絲老師" 可得 z1=ai" 這是如何來的?? 我化簡不出來@@
想請老師再說明一下!
還想請教第14題
為何我一直算出 1<a<4+2根號3 這個答案 是否有盲點 還請高手指教
另外第17題 除了直接硬做外,是否有簡單的方法?
感謝大家
回復 36# dennisal2000 的帖子
第 10 題，是我的的錯誤，正確的推論應該是 \( |z_1| = |a| \) 且 \( z_1 \neq -a \)把純虛數解釋成垂直，可得 \( z_1 \) 必須在以 \( \pm a \) 為端點之線作當直徑的圓上
第 17 題，提供一個近似想法 (不標準的方法)
令 \( y =x- 3 \)，以 \( \sqrt{a+y}\approx\sqrt{a}+\frac{y}{2\sqrt{a}} \)
近似值可得以下
\( \sqrt{x+\sqrt{2x+\sqrt{3x}}}=\sqrt{3+y+\sqrt{6+2y+\sqrt{9+3y}}} \)
\( \approx\sqrt{3+y+\sqrt{6+2y+3+\frac{y}{2}}}=\sqrt{3+y+\sqrt{9+\frac{5}{2}y}} \)
\( \approx\sqrt{3+y+3+\frac{5}{12}y}=\sqrt{6+\frac{17}{12}y} \)
\( \approx\sqrt{6}+\frac{17}{144}\sqrt{6}y \)
故所求 \( =\frac{17\sqrt{6}}{144} \) 。
回復 37# tsusy 的帖子
謝謝寸絲老師~~ 請問23題要怎麼證?先感謝~我用2種方法都做不出來...
方法一:
\(a=\overline{AB} \overline{AC}cosA,\) 以此類推得b.c
因此所求=cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA之正負..
但是我只知當A=90度時得證...A頓或銳角時呢??
方法貳:
令\(\displaystyle \overline{AB}=\beta,\overline{AC}= \gamma,
cosA=\frac{\vec{AB}\vec{AC}}{\overline{AB}\overline{AC}}=\frac{a}{\beta \gamma}=\frac{\beta^2+\gamma^2-\alpha^2}{2\beta\gamma}
得 a=0.5(\beta^2+\gamma^2-\alpha^2) \)以此類推得b.c..然後在下去乘...但是無法得證
[[i] 本帖最後由 idontnow90 於 2013-3-16 10:40 PM 編輯 [/i]]
回復 39# idontnow90 的帖子
略獻管窺敬請卓參
謝謝