101屏東女中 三招
大家請享用 :DTOTAL共23題，補充計算證明第23題：
三角形ABC，若 $$a=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}，b=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}， c=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}，$$試證：ab+bc+ca>0。
101.7.26補充
將題目重新打字。
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-7-26 09:51 PM 編輯 [/i]]
回復 1# weni 的帖子
請教第3題的解法,謝謝!回復 2# GGQ 的帖子
第 3 題：因為 \(x\neq1\)，所以 \(\displaystyle 1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^n}{1-x}\)
將上式左右兩邊同時對 \(x\) 微分，可得 \(\displaystyle 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\frac{-nx^{n-1}\cdot(1-x)-(1-x^n)\cdot(-1)}{(1-x)^2}\)
即 \(\displaystyle 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\frac{nx^n-x^n-nx^{n-1}+1}{(1-x)^2}\)
將上式左右兩邊同時乘上 \(x\)，可得 \(\displaystyle x+2x^2+3x^3+\cdots+nx^n=\frac{nx^{n+1}-x^{n+1}-nx^n+x}{(1-x)^2}\)
將上式左右兩邊同時對 \(x\) 微分，然後左右兩邊同時乘上 \(x\)，即可得所求。 求助高手5、9題，完全沒想法....
回復 4# doordie25 的帖子
第 5 題：將第一、二式表示成 \(\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}(x-b)+(y-c)+(z-a)=0\\ b(x-b)+c(y-c)+a(z-a)=0\end{array}\right.\)
可得 \(\displaystyle (x-b):(y-c):(z-a)=\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ c& a\end{array} \right|:\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ a& b\end{array} \right|:\left|\begin{array}{cc}1 & 1\\ b& c\end{array} \right|=(a-c):(b-a):(c-b)\)
令 \(x-b=k(a-c), y-c=k(b-a), z-a=k(c-b)\)
即 \(x=b+k(a-c), y=c+k(b-a), z=a+k(c-b)\)
再帶入題目所給之第三式，可得 \((a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(k+1)=0\)
因為 \(a,b,c\) 為三相異實數，
所以 \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)\neq0\)
故， \(k=-1\)
即 \(x=b+c-a, y=a+c-b, z=a+b-c\)
回復 4# doordie25 的帖子
多背點公式吧\(\displaystyle \cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} \)
\(\displaystyle \cos\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}} \)
\(\displaystyle \cos\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}} \)
\(\displaystyle \tan\frac{A}{2}=\frac{r}{s-a} \)
\(\displaystyle \tan\frac{B}{2}=\frac{r}{s-b} \)
\(\displaystyle \tan\frac{C}{2}=\frac{r}{s-c} \)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{\tan\frac{B}{2} \tan\frac{C}{2}}}{\cos\frac{A}{2}}+\frac{\sqrt{\tan\frac{C}{2} \tan\frac{A}{2}}}{\cos\frac{B}{2}}+\frac{\sqrt{\tan\frac{A}{2} \tan\frac{B}{2}}}{\cos\frac{C}{2}} \)
\(\displaystyle =\frac{r \sqrt{bc}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}+\frac{r \sqrt{ac}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}+\frac{r \sqrt{ab}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}} \)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{s} \)
又 \(\displaystyle a+b \ge 2\sqrt{ab} \)
\(\displaystyle b+c \ge 2\sqrt{bc} \)
\(\displaystyle a+c \ge 2\sqrt{ac} \)
三式相加得到
\(\displaystyle 2(a+b+c) \ge 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}) \)
故\(\displaystyle \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{s} \le 2 \)
[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-8-2 11:13 AM 編輯 [/i]] 想請教第1,2題 謝謝
回復 7# 阿光 的帖子
第 1 題：任取－沒有選到偶數－沒有選到５＋沒有選到偶數且沒有選到５
＝\(H_5^5-H_5^3-H_5^4+H_5^2=55\)
回復 7# 阿光 的帖子
第 2 題：所求＝\(\displaystyle\sum_{k=1}^{15}C^{2k+1}_3\)
\(\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{(2k+1)\cdot(2k)\cdot(2k-1)}{3!}\)
\(\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{4k^3-k}{3}\)
\(\displaystyle=\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{15\times16}{2}\right)^2-\frac{1}{3}\cdot\frac{15\times16}{2}\)
\(=19160.\) 感謝瑋老師
回復 6# 老王 的帖子
cos的半角公式沒看過...謝謝:D 想請教填充22題:投擲四顆相異的公正骰子一次，求點數和不超過16的機率想用一個一個慢慢算...結果還是算錯...
想請教各位先進...怎麼去思考...才錯
謝謝! 請教第11與12題
另外請教第6題是否有快速解法
謝謝 [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2012-8-3 12:01 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7063&ptid=1481][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教第11與12題
另外請教第6題是否有快速解法
謝謝 [/quote]
#12
假設O1(0,0,0) ,O2(2,-5,3) ,令Q點為兩球的外公切平面與直線O1O2的交點,
利用分點公式可得Q(-1,5/2,-3/2),
而P(-1,4,0),則通過PQ的平面族可設 E: (x+1)+k(y-z-4)=0
整理E:x+ky-kz+1-4k=0 ,再利用 d(Q1,E)=1
可求出k=0或4/7
#6
代x=0就求出來了~
#11
考古題,之前有人有寫過
請先爬文一下
不懂再問~
回復 12# jmfeng2001 的帖子
22 題，反著算，點數和不超 16 和 點數和 12 以上是一樣再去計算點數和 11 以下的機率
\( H^5_7-4H^5_1 = 330 - 20 =310 \)
因此所求 \( = 1- \frac{310}{6^4}=\frac{493}{648} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-9-27 10:30 PM 編輯 [/i]] 感謝寸絲老師...
原來這樣簡單多了...
謝謝! 想請教第7和10題 謝謝
回復 17# 阿光 的帖子
第 7 題以兩點兩半徑做兩圓，則直線必為兩圓相切，即公切線
兩條外公切線、一條內公切，剩下的應該不難算
第 10 題
以圖形觀之或者令 \( z_{1}=x+yi \), \( z_{1}-a=(z_{1}+a)ki \) 可得 \( z_{1}=\pm ai\)
由方程式可得 \( \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{1\pm\sqrt{5}i}{3}\Rightarrow z_{2}=\frac{1\mp\sqrt{5}i}{2} \)
旋轉不影響面積，\( P_{1}'(a,0) \), \( P_{2}'(\frac{a}{2},\mp\frac{\sqrt{5}}{2}) \)
\( \triangle P_{1}OP_{2}=\triangle P'_{1}OP'_{2}=\frac{1}{2}|\begin{vmatrix}a & \frac{a}{2}\\
0 & \frac{\sqrt{5}}{2}a
\end{vmatrix}|=\frac{\sqrt{5}}{4}a^{2} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-8-3 09:43 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-8-3 12:31 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7064&ptid=1481][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
#12
假設O1(0,0,0) ,O2(2,-5,3) ,令Q點為兩球的外公切平面與直線O1O2的交點,
利用分點公式可得Q(-1,5/2,-3/2),
而P(-1,4,0),則通過PQ的平面族可設 E: (x+1)+k(y-z-4)=0
整理E:x+ky-kz+1-4k=0 ,再利用 d(Q1,E)=1
可 ... [/quote]
謝謝Ellipese老師
#12用懂了
#6 的確是好方法,謝謝
#11還沒想通,我在想想
謝謝你的指教,感激 想再請教16和20題 謝謝