請教兩題
如附件, 求各位高手的解題妙招 [quote]原帖由 [i]tuhunger[/i] 於 2012-7-22 01:16 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7002&ptid=1478][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]如附件, 求各位高手的解題妙招 [/quote]
第2題
原七次式有根 -1, i , -i
(I)x=-1 => a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6+1
共C(4,2)xC(3,1)x2x4!X3!(種)
(2)x=i => ....
這樣想對嗎? 是否有更好的方法
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第一題\( f(1)=10\Rightarrow a+b+c=9 \)
\( f(3)=30\Rightarrow9a+3b+c=3 \)
\( \Rightarrow8a+2b=-6 \)
\( f(11)-f(7)=11^{3}-7^{3}+72a+4b=11^{3}-7^{3}-12+56a \)
但 \( a \) 可為任意實數，故所求非定值
這類的題目，通常要出得剛剛好才能算，因為由兩個點，無法唯一決定那個三次式
若有計算錯證，還請指正
第二題(似乎看錯題目了)
注意 \( (x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{4}-1 \)
，
先拿 7 次式去除以 \( x^{4}-1 \) 得餘式 \( (a_{4}+1)x^{3}+(a_{5}+a_{1})x^{2}+(a_{6}+a_{2})x^{1}+(a_{7}+a_{1}) \)
被 \( x^{3}+x^{2}+x+1 \) 整除，即 \( a_{4}+1=a_{5}+a_{1}=a_{6}+a_{2}=a_{7}+a_{1}=t \)
\( t\leq8 \), 無解。
\( t=9 \) , \( 1+8=2+7=3+6=4+5\Rightarrow3!\times2^{3} \)
\( t=10 \), \( 1+9=2+8=3+7=4+6\Rightarrow3!\times2^{3} \)
\( t\geq11 \), \( a_{4} \) 無解
故有 96 組解
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-7-22 01:39 PM 編輯 [/i]] 第一題猜測題目應該是求
\(\displaystyle \frac{f(11)-f(-7)}{18} \)
[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-7-22 07:17 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-7-22 07:15 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7009&ptid=1478][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第一題猜測題目應該是求
\(\displaystyle \frac{f(11)-f(-7)}{18} \) [/quote]
沒錯, 我打錯了^^ f(1)=10且f(3)=30 => 4a+b=-3
f(11)-f(-7)=11^3-(-7)^3+a[11^2-(-7)^2]+b[11-(-7)]=11^3-(-7)^3+ 18(4a+b)
接下來答案就出來了!
我只是想問,會不會有其他速解法, 感覺 [f(11)-f(-7)]/18好像在考斜率的概念
因為不除以18一樣可以算, 這就不知道出題者的用意了
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