101松山家商代理
請問一下填充第12題原題應該是x 是屬於i,[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-7-26 11:00 PM 編輯 [/i]] 想請問老師們 填充12題 我設 x+(1/x)=t 後 就不知如何算了
另外還有計算證明3 我得到 sin x=(根號5 -1)/2 後 也不知該如何證明
麻煩老師們 謝謝
回復 2# kittyyaya 的帖子
填充第 12 題：令 \(t=x+\frac{1}{x}\) ，
則 \(p=\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
\(=\left(t^3-3t\right)-\left(t^2-2\right)+t\)
\(=t^3-t^2-2t+2\)
因為 \(x\in\mathbb{R}\) 且 \(x\neq0\)，
若 \(x>0\)，則由算幾不等式可得 \(t=x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\Rightarrow t\geq2\)
若 \(x<0\)，則由算幾不等式可得 \(-t=(-x)+(-\frac{1}{x})\geq2\sqrt{(-x)\cdot(-\frac{1}{x})}=2\Rightarrow t\leq-2\)
因此可知 \(t\) 的範圍為 \(t>2\) 或 \(t<-2\)
（或是也可以由 \(t=x+\frac{1}{x}\Rightarrow x^2-tx+1=0\)
其中 \(x\in\mathbb{R}\Rightarrow\) 判別式 \(t^2-4\geq0\Rightarrow t>2\) 或 \(t-2\) ）
令 \(f(t)=t^3-t^2-2t+2\Rightarrow f\,'(t)=0\Rightarrow t=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}\)
可知若 \(t\in\mathbb{R}\) 時，\(f(t)\) 的極大極小值發生在 \(t=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}\) 時，
但 \(-2<\frac{1-\sqrt{7}}{3}\) 且 \(\frac{1+\sqrt{7}}{3}>2\)
因此 \(f(-2)=-6\) 為（相對）極大值且 \(f(2)=2\) 為（相對）極小值，
\(p\leq-6\) 或 \(p\geq2.\)
[attach]1967[/attach]
回復 2# kittyyaya 的帖子
證明第 3 題：解聯立方程式 \(y=\tan x\) 與 \(y=\cos x\) 時，帶入消去，可得 \(\tan x = \cos x\)
且 \(\tan\left(180^\circ-x\right)=-\tan x = -\cos x = \cos\left(180^\circ-x\right)\)
因此，若 \(\theta\) 為 \(\tan x = \cos x\) 在 \(0^\circ \leq x\leq 180^\circ\) 的解，
則 \(180^\circ-\theta\) 亦為 \(\tan x = \cos x\) 在 \(0^\circ \leq x\leq 180^\circ\) 的解。
因為 \(y=\tan x\) 與 \(y=\cos x\) 在 \(0^\circ \leq x\leq 180^\circ\) 恰只有兩相異交點，
因此 \(a=180^\circ - c\)，亦即 \(a+c=180^\circ\)
又 \(b=\tan a\) 且 \(d=\tan c = \tan\left(180^\circ-a\right)=-\tan a\)
\(\Rightarrow b+d = \tan a + \left(-\tan a\right)=0\)
頁:
[1]