101內湖高工二招
如題 請問老師，填充題第6題應該如何處理呢??可以請老師指點一下嗎?謝謝您。
[[i] 本帖最後由 bluewing 於 2012-7-10 04:42 PM 編輯 [/i]]
101內湖高工二招填充6
6.設\(a,b,c\)為正數，\(f\)為由矩陣\( \left[ \matrix{a&-b \cr \sqrt{3}a&c} \right] \)表示的線性變換(Linear transformation)，當橢圓\(4x^2+8y^2=1\)經\(f\)變換後之圖形是以原點為圓心，1為半徑的圓，則\((a,b,c)=\)[u] [/u]
[解答]
\( \left[ \matrix{x' \cr y'} \right]=\left[ \matrix{a & -b \cr \sqrt{3}a & c} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{ax-by \cr \sqrt{3}ax+cy} \right] \)
將\( \cases{x'=ax-by \cr y'=\sqrt{3}ax+cy} \)代入\( (x')^2+(y')^2=1 \)得\( a^2x^2-2axby+b^2y^2+3a^2x^2+2\sqrt{3}axcy+c^2y^2=1 \)
和原式比較可得\( \cases{a^2+3a^2=4 \cr \sqrt{3}c-b=0 \cr b^2+c^2=8} \)，因此\( (a,b,c)=(1,\sqrt{6},\sqrt{2}) \)
印象中有更佳的解法，目前小弟只想到這種，有錯請指正
回復 3# wayloon 的帖子
先把橢圓拉長變成圓，再旋轉角度。 \( f:\, (x,y)\mapsto(x',y') \)\( \begin{bmatrix}x'\\
y'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 0\\
0 & 2\sqrt{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\
y
\end{bmatrix} \)
\( M_{f}=\begin{bmatrix}2\cos\theta & -2\sqrt{2}\sin\theta\\
2\sin\theta & 2\sqrt{2}\cos\theta
\end{bmatrix}\Rightarrow\tan\theta=\sqrt{3}
,\cos\theta=\frac{1}{2}
, \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
所以 \( (a,b,c)=(1,\sqrt{6},\sqrt{2}) \) 想請教填充第10題的表面積,謝謝
回復 5# 阿光 的帖子
10.設\(\Gamma\)為以圓\((x-2)^2+y^2=1\)繞\(y\)軸旋轉的立體(torus)，則\(\Gamma\)的體積為[u] [/u]，\(\Gamma\)的表面積為[u] [/u]
[解答]
請愛用 Pappus 定理
號稱甜甜圈專用定理
學科中心電子報 58 期 [url=http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/ePaper/Default.aspx?id=58]http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/ePaper/Default.aspx?id=58[/url] 謝謝老師的講解，另外，可以請問填充第9題的"標準差"應該如何處理呢??
答案是給3，可是始終算不出是3??謝謝老師。 9.
某水果種子的發芽率是90%，設每顆種子發芽成功與否彼此互不影響，農民同時種下了100顆種子，則發芽成功的顆數期望值為[u] [/u]顆，標準差[u] [/u]顆。
[解答]
剛查一下這一題
用\( B(n=100,p=0.9) \)
\(E=np \)
\( Var=npq \)
\(Var=9\)
\(SD=\sqrt{Var}=3 \) 不好意思想問這份試卷有公布解答嗎?謝謝 可以請教填充3怎麼解嗎?謝謝~
3.
設\(\Delta ABC\)內接於半徑為1的單位圓，\(O\)為圓心且\(∠A=60^{\circ}\)，若\(k\vec{OA}+\vec{OB}+2 \vec{OC}=\vec{0}\)，則實數\(k=\)[u] [/u]
回復 10# idontnow90 的帖子
第 3 題：\(k\vec{OA}+\vec{OB}+2\vec{OC}=\vec{0}\)
\(\Rightarrow k\vec{OA}=-\left(\vec{OB}+2\vec{OC}\right)\)
\(\Rightarrow k^2\left|\vec{OA}\right|^2=\left|\vec{OB}+2\vec{OC}\right|^2\)
\(k^2\cdot 1^2 = 1^2+2\cdot1\cdot2\cdot\cos120^\circ+4\cdot1^2\)
\(k=\pm\sqrt{3}.\)
感謝 寸絲 老師提醒，
答案只有 \(k=\sqrt{13}\)（也就是負不合）。
若 \(k\) 為負，則 \(O\) 在 \(\triangle ABC\) 外部
且 \(O\) 與 \(A\) 在 \(\overline{BC}\) 異側，得 \(\angle A\) 為鈍角，不合。
---------------------------------以下是寸絲老師的說明：
weiye 老師
本題 k 應只有唯一解 (正的)
理由如下：取 D 在 BC 上，且 DC/DB=1/2
則 OB + 2OC =3OD (向量)
而 k OA + 3OD = 0 (向量)
因此 OAD 共線，A 在 圓 O 和直線 OD 的交點上
圖形如
[attach]1523[/attach]
該直徑上有兩端點，但一者圓周角 120 度 另一者 圓周角 60 度
故僅有一解 可以請教填充5怎麼解嗎?謝謝~
5.
已知平面上的點排列\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\ldots,P_n(x_n,y_n)\)，其中各點座標定義如下：
\(x_1=1,y_1=0\)且\( \displaystyle x_{n+1}=\frac{3}{5}x_n+\frac{2}{5}y_n \)，\(\displaystyle y_{n+1}=\frac{2}{5}x_n+\frac{3}{5}y_n\)，
試求：
(1)能使\(x_n+\alpha y_n=\beta(x_{n-1}+\alpha y_{n-1})\)成立的正實數\(\alpha\)，\(\beta\)值，則\((\alpha,\beta)=\)[u] [/u]
(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=(a,b) \)，則\((a,b)=\)[u] [/u]
回復 12# 艾瑞卡 的帖子
第 5 題：(1) \(x_n, y_n\) 帶入乘開，比較係數，可得 \(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\cdot\alpha=\beta, \frac{2}{5}+\frac{3}{5}\cdot\alpha=\alpha\cdot\beta\)
兩式相除，可解得 \((\alpha, \beta)=(1,1)\) 或 \((-1,\frac{1}{5})\)
(2) 解 \(a=\frac{3}{5}\cdot a+\frac{2}{5}\cdot b, b=\frac{2}{5}\cdot a+\frac{3}{5}\cdot b\) 且 \(a+b=1\)
可得 \((a,b)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) 沒有找到這份試題的解答，想要對答案
日後有時間完成這份試題的老師們再來幫忙修正一下囉！
#1. 20 #7. 15
#2. \(5\sqrt{3}\) #8. \(\frac{1}{4}\)
#3. \(\sqrt{3}\) #9. 期望值90, 標準差3
#4. (1) \(-\frac{1}{2}\leq k \leq 3\)；(2) \(\big(\frac{8}{5},\frac{21}{5}\big)\) #10. 體積\(4\pi^{2}\), 表面積\(8\pi^{2}\)
#5. (1) \((1,1), \big(-1,\frac{1}{5}\big)\)；(2) \(\big(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\big)\) #11. (1) 不存在；(2) \(2\pi\)
#6. \((1,\sqrt{6},\sqrt{2})\) #12. \(p'(1)=1\), \(q'(4)=-\frac{1}{3}\)
計算證明 #1. (2) 都不存在；(3) 就是畫 \(y=\ln{x}\)
計算證明 #2. (1) 收斂：無窮等比級數，公比\(\displaystyle\frac{\pi}{6}\in(-1,1)\)
(2) 發散：作圖，積分審斂，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n+1}>\int_{1}^{\infty}\frac{1}{3x+1}dx\)，又\(\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{3x+1}dx\)發散
(3) 發散：當\(n>10\), \(\displaystyle\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}>k\frac{n!}{10^n}\), 其中\(k>1\)
[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2013-12-28 11:35 AM 編輯 [/i]] 翻了一下電腦裡的檔案，發現我有這份的解答。
從哪來的已經忘了，應該是當年留下來的官方版本(?)吧!!!
回復 15# nicolesukg 的帖子
謝謝您的提供！仔細看了一下第5題題目，原來有要求\(\alpha, \beta\)為正
回復 13# weiye 的帖子
請問weiye 老師\(a+b=1\)是因為\(x_1=1\),\(y_1=0\)的緣故嗎 ?
謝謝
另外 小弟愚昧 想請教填充10 看了Pappus 還是不知如何下筆 可否指導
填充11的第一小題 不存在是因為-1積到1 含0 所以\(x^{-2}\)為不存在嗎 ?
先謝謝weiye老師
回復 17# kittyyaya 的帖子
代答一下5. 從\( x,y \)的係數可知，寫成矩陣，是個轉移矩陣，轉移矩陣何持總和不變
11. 碰到函數在積分區域有瑕點時，這種積分是被當作瑕積分。所以說本題的積分記號意思是
\( \displaystyle \int_{-2}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx=\lim\limits _{a\to0^{+},b\to0^{-}}\left(\int_{-2}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{a}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx\right) \) 想請教一下第8題
題目沒有說同球或不同球
如果同球的話 那1空箱的機率就是\( \displaystyle \frac{2}{4} \) 樣本空間為{(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)}
如果不同球的話 那1空箱的機率就是\( \displaystyle \frac{2}{8} \) 樣本空間的元素個數為2*2*2
如果題目沒說同球或不同球 那是不是兩個答案都可以呢
請問我這樣的理解哪裡有錯誤
感謝!
回復 19# Callmeluluz 的帖子
題目是求空箱個數的期望值，不是求 1 個空箱的機率頁:
[1]
2