101文華高中（代理）
試題與答案如附件。 想請教填充第15和16題,謝謝回復 2# 阿光 的帖子
不知如何直接做，所以我用推的第16題
令 \(a_{n}=\sum^{n}_{k=1}k^3+3\times \sum^{n}_{k=1}k^5\)
則可知遞迴式為 \(a_{n+1}=a_{n}+(n+1)^3+3(n+1)^5\)
先觀察：
\(a_{1}=1+3=4=4\times 1^3\)
\(a_{2}=a_{1}+2^3+3\times 2^5=4\times 3^3\)
\(a_{3}=a_{2}+3^3+3\times 3^5=4\times 6^3\)
猜測 \(a_{n}=4\times (\frac{n(n+1)}{2})^3\)
因為 \(a_{n+1}=a_{n}+(n+1)^3+3(n+1)^5\)
\(=4\times (\frac{n(n+1)}{2})^3+(n+1)^3+3(n+1)^5\)
\(=\frac{n^3(n+1)^3}{2}+(n+1)^3(3n^2+6n+4)\)
\(=(n+1)^3\times (\frac{n^3+6n^2+12n+8}{2})\)
\(=(n+1)^3\times (\frac{(n+2)^3}{2})=4\times \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^3\)
由數學歸納法得知猜測正確！
代入\( n=10\) ，得 \( P=\frac{10\times 11}{2}=55\)
[[i] 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 09:30 PM 編輯 [/i]] 3.
滿足\( (m+n)^n=m^n+2012 \)之所有正整數數對\( (m,n) \)為
\( (m+n)^n=m^n+2320 \)，求所有可能的數對\( (m,n) \)為？
(100中壢高中，[url]https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html[/url])
試求出所有正整數m、n，使\( (m+n)^n=m^n+2000 \)
(89北一女競試，[url=http://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/892t.pdf]http://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/892t.pdf[/url])
5.
請觀察右圖三角形陣列中數字之規則，令\( a_n \)為第n列之所有數字和，則\( a_{50} \)除以100之餘數為
\( \matrix{& & & & 0 & & & & & 第1列\cr
& & & 1 & & 1 & & & & 第2列\cr
& & 2 & & 2 & & 2 & & & 第3列\cr
& 3 & & 4 & & 4 & & 3 & & 第4列\cr
4 & & 7 & & 8 & & 7 & & 4 & 第5列}\)
Consider the triangular array of numbers with 0,1,2,3,... along the sides and interior numbers obtained by adding the two adjacent numbers in the previous row. Rows 1 through 6 are shown.
\( \matrix{& & & & & 0 & & & & & \cr
& & & & 1 & & 1 & & & &\cr
& & & 2 & & 2 & & 2 & & & \cr
&& 3 & & 4 & & 4 & & 3 & &\cr
& 4 & & 7 & & 8 & & 7 & & 4 &\cr
5 & & 11 & & 15 & & 15 & & 11 & & 5} \)
Let \( f(n) \) denote the sum of the numbers in row . What is the remainder when \( f(100) \) is divided by 100?
(A)12 (B)30 (C)50 (D)62 (E)74
(1995AMC12，[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=1995]http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=1995[/url])
7.
與\( (6+\sqrt{34})^4 \)最接近的正整數為
求出與\( (4+\sqrt{15})^4 \)最接近的正整數
(87北一女競試，[url=http://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/871t.pdf]http://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/871t.pdf[/url])
9.
將6個A、6個B、6個C共18個字母排成一列，使得前6個字母沒有A，中間6個字母沒有B，後6個字母沒有C，則共有________種可能的排列方法。
[url=https://math.pro/db/thread-454-1-1.html]https://math.pro/db/thread-454-1-1.html[/url]
11.
\( [\;x ]\; \)表示不大於x的最大整數，則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} \)
[url=https://math.pro/db/thread-156-1-1.html]https://math.pro/db/thread-156-1-1.html[/url]
14.
已知n為正整數，且\( 2n \)有28個正因數，\( 3n \)有30個正因數，則\( 6n \)有個正因數
(97全國高中聯招，[url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958[/url]) 請教填充第2題
題目意思sqrt(a_k))=n^2, k=1~20, sigma(a_k)=? sigma((20^2)^2)??
請教第5題
每一列的和2+2^2+2^3+...+2^n-1
這公式怎麼導出來的
第7題
我是先令x=6+sqrt(34) , y=6-sqrt(34)
x^4+y^4=(x+y)(x^3+y^3)-xy(x^2+y^2)
慢慢做出來的
請問版上高手有其他解法?
若高次方時,這方法就很費時
謝謝
暑安 第七題..二項式定理..參考看看
[attach]1366[/attach] 第二題...參考看看..(PS:最後那個式子打錯了..自己更改一下是(20X21)/2..不是(20X21)/[color=red]6[/color])
[attach]1367[/attach]
[[i] 本帖最後由 andyhsiao 於 2012-7-9 04:02 PM 編輯 [/i]] 請教各位老師第12題，感謝！ [quote]原帖由 [i]andyhsiao[/i] 於 2012-7-9 03:56 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6887&ptid=1462][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第二題...參考看看..(PS:最後那個式子打錯了..自己更改一下是(20X21)/2..不是(20X21)/6)
1367 [/quote]
謝謝老師
我懂了 第12題..參考看看...最後等差X等級級數自己算一下^^
回復 8# Duncan 的帖子
第 12 題：設此台車跑完圈數的期望值為 \(x\)，則
\(\displaystyle x = \left(1-\frac{1}{9}\right)\left(1-\frac{1}{16}\right)(1+x)\)
可得 \(x=5\) 可以請問一下：第6題、第13題？
[[i] 本帖最後由 tunmu 於 2012-7-11 02:44 PM 編輯 [/i]] 第六題...參考看看 希望看得懂....不知道有沒有更好的法^^...有錯請指教
回復 14# andyhsiao 的帖子
第 13 題：有序數對 \((A,B)\) 有 \((2\times3-1)(2\times5-1)(2\times3-1)=225\) 組。
當中只有一組 \((A,B)\) 會與 \((B,A)\) 相同，也就是 \((8100,8100)\) 這組。
因此，所求為 \(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(225-1)+1=113.\)
類題： 101中正預校第 14 題：[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1383&page=2#pid6119[/url]
101清水高中填充第 13 題：[url]https://math.pro/db/thread-1393-1-1.html[/url] 感謝 andyhsiao大大 和 瑋岳學長 的解題…
回復 15# weiye 的帖子
好方法...快多了...謝謝 [quote]原帖由 [i]阿光[/i] 於 2012-7-7 07:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6866&ptid=1462][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想請教填充第15和16題,謝謝 [/quote]
第15題...參考看看....
回復 18# andyhsiao 的帖子
第 15 題（另一種解法）：用 \(O,A,B,C,D\) 五色塗 \(n\) 個環狀區域，且第一個區域要塗 \(O\) 這一色，
塗法有 \(a_n=\frac{1}{5}\left((5-1)^n+(5-1)\cdot(-1)^n\right).\)
註：套用 [url=https://math.pro/db/thread-499-1-1.html]https://math.pro/db/thread-499-1-1.html[/url] 的公式，
乘以 \(\frac{1}{5}\) 是因為套用的公式中的第一個區域原本有 \(O,A,B,C,D\) 五種顏色可以塗，
到此題被限制只能塗 \(O\)，所以相差五倍。 填充題第8題我的算法：
(1.) 「呀」插入「人生人生」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；75種。
(2.) 「呀」插入「生人生人」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；75種。
(3.) 「呀」插入「人人生生」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；38種。
(4.) 「呀」插入「生生人人」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；38種。
(5.) 「呀」插入「人生生人」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；55種。
(6.) 「呀」插入「生人人生」有五種情形，根據每種情形，再將四個「海」插入；55種。
所求\(=2(75+38+55)=336\)
好不容易才想出這個方法，過程中不小心還算錯好幾次@@
請問有沒有別的算法呢？以別的觀點或更快更好的方法。
[[i] 本帖最後由 casanova 於 2012-8-2 11:27 AM 編輯 [/i]]
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