Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 101台中二中二招

mandy 發表於 2012-7-5 22:18

101台中二中二招

請問ㄧ題:

求y=x^2 與 y=-x^2+2x-5 之公切線與二曲線所為成的區域面積=?

其他題目等二中公佈.

101.7.6補充
學校已公佈試題，感謝zeratulok告知

以下資料供以後考生參考：

初試最低錄取分數 58分
取10名參加複試，錄取1名
72,64,64,62,60,60,60,60,60,58

其他，
50~57分 26人
40~49分 29人
30~39分 41人
20~29分 14人
10~19分 12人
0~9分   0人
缺考    31人

共計 163人

shiauy 發表於 2012-7-5 22:58

[quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-7-5 10:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6819&ptid=1459][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問ㄧ題:

求y=x^2 與 y=-x^2+2x-5 之公切線與二曲線所為成的區域面積=?

其他題目等二中公佈. [/quote]
我把兩條公切線算出來時間就到了說@@
令切線斜率m，分別切兩圖形於\(({x_1},{y_1})({x_2},{y_2})\)
則有\(m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2{x_1} =  - 2{x_2} + 2\)
\({x_1} =  - {x_2} + 1\)代入
\(\frac{{ - {x_2}^2 + 2{x_2} - 5 - {{( - {x_2} + 1)}^2}}}{{{x_2} - ( - {x_2} + 1)}} =  - 2{x_2} + 2\)
可解得\({x_2} = 2, - 1\)，\(m =  - 2,4\)
兩公切線分別為\(y =  - 2x - 1\)、\(y = 4x - 4\)
至於面積部份只要算上部分的面積再乘以2就好了

zeratulok 發表於 2012-7-6 22:45

題目已經公佈了！

h ttp://announce.tcssh.tc.edu.tw/download.php?dpid=3&duid=10&dfn=%E6%95%B8%E5%AD%B8%E9%A1%8C%E7%9B%AE.pdf　連結已失效

想要請問一下填充7，我算的出移動24
應該比答案的25少吧…還是有什麼特殊的解法呢？
感謝！

onenineone 發表於 2012-7-6 22:58

回復 3# zeratulok 的帖子

填充7
如圖，設有6個盒子，各盒內分別有8,14,15,19,25,21個乒乓球。如果想一次從一個盒內搬一個球到相鄰的盒內，那麼最少要搬[u]　　　[/u]次才能使每個盒子裡的球數相同。

99高雄市聯招14題
大哥請~
[url]https://math.pro/db/thread-975-1-4.html[/url]

zeratulok 發表於 2012-7-7 10:10

回復 4# onenineone 的帖子

可能我當時鬼打牆吧…
因為方法差不多…
感謝大哥的回應！

tunmu 發表於 2012-7-15 11:31

可以請問一下填充5 & 9 計算5 感謝！

mandy 發表於 2012-7-15 13:39

請問填充４

請問填充４　謝謝!!

tsusy 發表於 2012-7-15 17:15

回復 7# mandy 的帖子

填充4.
一位小孩在地面上\(A,B,C,D,E\)等5個點跳動，且每次跳動一定跳至相異於起跳點的位置且每一點機會均等。現在這位小孩在\(A\)點處，若已知這小孩跳動4次後跳在\(A\)點處，求他四次中恰有兩次跳到\(A\)點的機率。
[解答]
x 代表非 a，所求即 \(\displaystyle \frac{xaxa}{xaxa+xxxa} \)

\( \displaystyle P = \frac{4\cdot1\cdot4\cdot1}{4\cdot1\cdot4\cdot1+4\cdot3\cdot3\cdot 1} = \frac{4}{13}\)


填充9.
已知函數\(f(x)=x^3-ax^2+(a^2-1)x\)有極值。設\(I=\{\;x \in R|f'(x)\ge0 \}\;\)，且\(I\)包含區間\( (\; -\infty,0)\; \)與\( (\;1,\infty )\; \)，則實數\(a\)的範圍為[u]　　　[/u]。
[解答]
\( f'(x)=3x^{2}-2ax+a^{2}-1 \) , 兩根 \( 0\leq\alpha<\beta\leq1 \)

(1) \( D\geq0\Rightarrow-\frac{\sqrt{6}}{2}<a<\frac{\sqrt{6}}{2} \)

(2) \( 0\leq\alpha<\beta\Rightarrow2a>0 \)  且 \( a^{2}-1\geq0\Rightarrow a\geq1 \)

(3) 令\( y=x-1 \) , 則 \( y \) 之兩根 \( \alpha'<\beta'\leq0 \)

\( f'(x)=3y^{2}-(2a-6)y+(a^{2}-2a+2)\Rightarrow2a-6<0\) 且 \( a^{2}-2a+2\geq0\Rightarrow a<3 \)

綜合以上得 \( 1\leq a<\frac{\sqrt{6}}{2} \)

mandy 發表於 2012-7-15 21:45

請問

請問填充５　謝謝

阿光 發表於 2012-7-16 10:00

填充5
已知\(L\)：\( \Bigg\{\; \matrix{x+2y-7=0 \cr 2y+z-7=0} \)為\(L_1\)：\( \displaystyle \frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{-5}=\frac{z+2}{7} \)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x-5}{a}=\frac{y-1}{b}=\frac{z-5}{-5}\)之角平分線，試求\(a+b=\)[u]　　　[/u]。
[解答]
\(L_1\)上一點\(A(1,6,-2)\)在\(L\)上投影點為\(B(-1,4,-1)\)，\(C\)在\(L_2\)上,
\(B\)為\(\overline{AC}\)的中點，\(C(-3,2,0)\)帶入\(L_2\)得\(a=-8,b=1\)

阿光 發表於 2012-7-16 10:02

想請教計算4,5題

andyhsiao 發表於 2012-7-16 20:26

計算5
如圖，平面上三角形\(ABC\)，已知\(D,E\)分別在線段\(\overline{AB},\overline{BC}\)上，且\( \overline{AD}:\overline{BD}=4:5 \)，\( \overline{BE}:\overline{EC}=3:2 \)，\(\overline{AE}\)和\(\overline{CD}\)交於點\(O\)，若點\(O\)為三角形\(ABC\)之外心，試求\(\overline{AB}^2:\overline{BC}^2:\overline{AC}^2\)

我的方法有點麻煩...參考看看....有錯請訂正...
應該會有比較快的方法吧...

阿光 發表於 2012-7-18 20:10

想請教計算第4題 謝謝

andyhsiao 發表於 2012-7-19 07:49

第4題
有五筆二維數據\((0,4),(1,2),(-2,-2),(5,0)\)及\((x,y)\)，若點\((x,y)\)為直線\(L\)：\(y=mx-2\)上一點，且滿足此五筆數據的相關係數為0，試求\(m\)的範圍。

只想得到這原始方法...不知道對不對...參考看看就好

tsusy 發表於 2012-7-19 08:10

回復 14# andyhsiao 的帖子

計算 4. 用不平移的應該會稍微好算一點

也就是 0 = Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]

jmfeng2001 發表於 2012-7-31 09:31

填充8.
平面上，\(\Delta ABC\)中\(D、E\)依序為線段\(\overline{AB}\)與\(\overline{AC}\)上一點，\(F\)為線段\(\overline{DE}\)上一點，且\( \displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=x \),\( \displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}=y \),\( \displaystyle \frac{\overline{DF}}{\overline{DE}}=z \),滿足\(\displaystyle 2y+z-x=\frac{4}{5}\)，若\( \Delta BDF \)面積為\( \Delta ABC \)面積的\(a\)倍，則\(a\)的最大值為[u]　　　[/u]。

想請問各位先進
填充八該如何做
我令三角形面積=1,BCF面積=a
用比例慢慢求關係式(a/z)x(1/1-x)ABx(1/1-y)AC=ABC面積
然後...我就...做不出來...
想請教大家...該如何做
謝謝!

weiye 發表於 2012-7-31 12:19

回復 16# jmfeng2001 的帖子

填充第 8 題：

\(\triangle BDF \mbox{面積}=z \triangle BDE \mbox{面積}\)

　　　　　　　　\(=z\cdot (1-x) \triangle ABE \mbox{面積}\)

　　　　　　　　\(=z(1-x)\cdot y \triangle ABC \mbox{面積}\)

所以 \(a=(1-x)yz\)，

由題述 \(\displaystyle 2y+z-x=\frac{4}{5}\Leftrightarrow 2y+z+(1-x)=\frac{9}{5}\)，

因為 \(2y, z, (1-x)\) 皆非負，由算幾不等式，

可得 \(\displaystyle \frac{2y+z+(1-x)}{3}\geq \sqrt[3]{2y\cdot z\cdot (1-x)}\)

　　　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{3}{5}\geq\sqrt[3]{2a}\Leftrightarrow \frac{27}{250}\geq a\)

可知，\(a\) 之最大值為 \(\displaystyle \frac{27}{250}\)，

且此時，\(\displaystyle 2y=z=1-x=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x=\frac{2}{5},y=\frac{3}{10},z=\frac{3}{5}\)

jmfeng2001 發表於 2012-7-31 18:06

謝謝瑋岳老師,原來我搞錯了...難怪一直算不出來
謝謝

casanova 發表於 2012-10-3 14:21

[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-7-15 05:15 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6940&ptid=1459][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 4. x 代表非 a，所求即 \(\displaystyle \frac{xaxa}{xaxa+xxxa} \)

\( P = \frac{4\cdot1\cdot4\cdot1}{4\cdot1\cdot4\cdot1+4\cdot3\cdot3\cdot 1} = \frac{4}{13}\)
填充 9.

\( f'(x)=3x^{2}-2ax+a^{2}-1 \) ... [/quote]

請問為什麼還要多討論(3)呢？
(3) 令 \( y=x-1 \)，則 \( y \) 之兩根 \( \alpha' < \beta' \leq 0 \)

casanova 發表於 2012-10-4 15:44

[quote]原帖由 [i]shiauy[/i] 於 2012-7-5 10:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6822&ptid=1459][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]

我把兩條公切線算出來時間就到了說@@
令切線斜率m，分別切兩圖形於\(({x_1},{y_1})({x_2},{y_2})\)
則有\(m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2{x_1} =  - 2{x_2} + 2\)
\({x_1} =  - {x_2} + 1\)代入 ... [/quote]

為何面積部份只要算上部分的面積再乘以2就好了呢？
請問要怎麼看呢？

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