101建國中學二招
想問填充1、3、4及全部計算題101.7.5版主補充
將題目轉正，方便網友閱讀
回復 1# larson 的帖子
填充 3若\(x\)的101次方程式\(x^{101}-202x^{101}+a_{99}x^{99}+\ldots+a_1x+a_0=0\)有101個正實根，對於所有可能的方程式，試求\(\displaystyle \sum_{k=0}^{99}|\;a_k|\;\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
紙老虎，看起來嚇人的題目而已
令 \( x_{k}, k=1,2,3,\ldots,101 \) 是 101 個正根
多項式 \( \prod(x-x_{i}) \) 展開的係數正負相間。\( x=-1 \) 代入，每項皆負，取絕對值得
\(\displaystyle \prod(x_{i}+1)=\sum_{k=0}^{101}|a_{k}|\Rightarrow\sum_{k=0}^{99}|a_{k}|=\prod(x_{i}+1)-203 \)
由算幾不等式得 \(\displaystyle \sqrt[101]{\prod(x_{i}+1)}\leq\frac{\sum x_{i}}{101}+1=3 \)
所以當 \( x_{i}=2 \) 時，\(\displaystyle \sum_{k=0}^{99}|a_{k}| 有最大值 3^{101}-203 \)
填充 4. 考慮 \( n \) 個數的情況，反正 \( 96 \) 和 \( n \) 沒什麼差別
令 \( c_{n} \) 是 \( n \) 個數的情況排法數
如果 \( n \) 在 \( a_{n} \) 的位置，就有 \( c_{n-1} \) 種排列
如果 \( n \) 在楚河漢界 \( a_{i} \)，那其它任選邊站，再按大小序排好即可，[color=#ff0000]但不可全部在前，否則 \( i=n \) 不合[/color]
所以 \( c_n=c_{n-1}+2^{n-1}-1 \)
又 \( c_{2}=1 \), \( c_{3}=4 \Rightarrow c_{n}=1+(2^{2}-1)+(2^3-1)+\ldots+(2^{n-1}-)=2^{n}-(n+1) \)
故所求為 \( 2^{96} -97 \) "[color=#ff0000]令 [/color][color=#ff0000][font=serif][size=17px][i]c[/i][size=12px][i]n[/i][/size]
[/size][/font] 是 [font=serif][size=17px][i]n[/i][/size][/font] 的排法數
[/color][color=#ff0000]如果 n 在 a_{n} 的位置，就有 c_{n-1} 種排列[/color]"
前面這兩句話看不懂！
回復 1# larson 的帖子
前幾天正好在寫，給點計算題的提示好了計算 1.
已知銳角\(\triangle ABC\)的外接圓半徑為\(R\)，且\(\overline{AB}=c=1\)，\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{CA}=b\)，\(\angle BAC=\theta\)，則：
(1)證明正弦定理：\(\displaystyle \frac{a}{sin\theta}=2R\)。
(2)若\(b\le cos\theta+\sqrt{3}sin\theta\)，證明：以\(A\)、\(B\)、\(C\)為圓心，1為半徑的3個圓能覆蓋\(\triangle ABC\)。
[解答]
\( P \in \triangle ABC \), 且 \( \triangle ABC \) 為銳角三形，則 \( \min\{\overline{PA},\overline{PB},\overline{PC}\} \) 在外心的位置在最大值 \( R \)
所以只要證 \( R\leq 1\)
計算 2.
已知四面體\(ABCD\)，\(H_a,H_b,H_c,H_d\)分別是\(\triangle BCD,\triangle ACD,\triangle ABD,\triangle ABC\)的垂心，試問：\(\overline{AH_a}\)、\(\overline{BH_b}\)、\(\overline{CH_c}\)、\(\overline{DH_d}\)四直線相交於一點的充分必要條件是什麼？並證明之。
[解答]
充要條件為 \( \overleftrightarrow{AH_{a}}\perp E_{BCD} \), \( \overleftrightarrow{BH_{b}}\perp E_{ACD} \), \( \overleftrightarrow{CH_{c}}\perp E_{ABD} \), \( \overleftrightarrow{DH_{d}}\perp E_{ABC} \)
三垂線定理及其逆定理
計算 3.
已知正數\(a,b,c\)滿足：\(5c-3a\le b\le 4c-a\)，\(clnb\ge a+clnc\)，求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍。
[解答]
\(\displaystyle x=\frac{a}{c} \), \( y=\frac{b}{c} \), \( \frac{b}{a}=\frac{y}{x} \) 是 \( (x,y) \) 和 原點 \( (0,0) \) 連線的斜率 自己解的填充5和6
有錯請不吝指正
另想請教填充1,2,7,8
5.
設函數\(f(x)=-x^3+3x+2\)分別在\(x_1\)、\(x_2\)處取得極小值、極大值。在\(xy\)平面上點\(A\)、\(B\)的座標分別為\((x_1,f(x_1))\)、\((x_2,f(x_2))\)，該平面上動點\(P\)滿足\(\vec{PA}\cdot \vec{PB}=4\)，點\(Q\)是點\(P\)關於直線\(y=2(x-4)\)的對稱點，求動點\(Q\)的軌跡方程為[u] [/u]。
[解答]
∵\( f(x)=-x^3+3x+2 \Rightarrow f'(x)=-3x^2+3=0 \Rightarrow x=\pm 1 \)
令\( A(-1,0) \)，\( B(1,4) \)，\( P(x,y) \)
∴\( \vec{PA} \cdot \vec{PB}=0 \Rightarrow (x+1,y)(x-1,y-4)=0 \Rightarrow x^2+(y-2)^2=5 \)，為一圓
因為點\( Q \)是點\( P \)對\( y=2(x-4) \)的對稱點
考慮圓心\( (0,2) \)對\( y=2(x-4) \)的對稱點為\( (8,-2) \)
∴\( (x-8)^2+(y+2)^2=5 \)
6.
已知複數\(\displaystyle a=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i\)，若\(z_n=1024a^n\)，其中\(n\)為正整數，則絕對值\(|\;z_9-z_{11}|\;=\)[u] [/u]。
[解答]
\( \displaystyle |\; z_9-z_{11} |\;=|\; 1024a^9-1024a^{11} |\;=1024 \cdot |\; a |\;^9 \cdot |\; 1-a^2 |\;=\frac{\sqrt{21}}{2} \)
回復 5# ilikemath 的帖子
以下都是之前寫的，沒有仔細再看一次，如有錯誤，還請告知。[b]填充1[/b].
球\(S_1\)外接於四面體\(ABCD\)，另一個半徑為1的球面\(S_2\)與平面\(ABC\)相切，並且\(S_1\)、\(S_2\)內切於\(D\)點，已知\(\overline{AD}=3\)，\(\displaystyle cos\angle BAC=\frac{4}{5}\)，\(\angle BAD=\angle CAD=45^{\circ}\)，試問四面體\(ABCD\)的體積為[u] [/u]。
[解答]
不高明的方法如下
令 \( H , H_{1} , H_{2} \) 分別為 D 對 \( ABC \) , \( \overline{AB} \), [color=Red]\( \overline{AC}\)[/color] 之投影點。可得 \( \triangle AHH_{1}\cong\triangle AHH_{2} \) (RHS)。
(紅字修正原筆誤，三垂線定理 \( \Rightarrow H_1, H_2 \) 處直角)
因此 \( \overline{AH} \) 平分 \( \angle BAC\Rightarrow\cos\angle BAH=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow \) [color=Red]\( \overline{AH}=\frac{\cos\angle BAD}{\cos \angle BAH}\overline{AD} \)[/color] \(=\sqrt{5}\Rightarrow\overline{DH}=2 \) 。
(紅字修正原筆誤 \( \overline{AH} = .. \) )
令 \( Q \) 為 \( S_2 \) 的球心，\( R \) 為 \( S_2 \) 和平面 ABC 切點。則 \( 2 = \overline{DQ}+\overline{QR} \geq \overline{DR} \geq \overline{DH} =2 \)。等號成立條件為 \( R = H \) 且 \( D, Q, H \) 共線。
(補上三角不等式之論證)
又 \( D \) 為兩球之切點，因此 \( D, Q, S_{1} \) 之球心亦共線，因此 \( \overleftrightarrow{DH} \) 通過 \( D, Q, H \) 和 \( S_1 \) 的球心。
又 \( \overleftrightarrow{DH} \perp ABC \) 平面於 \( H \)，故 \( H \) 為 \( \triangle ABC \) 之外心。
因此 \( \overleftrightarrow{HH_{1}}
, \overleftrightarrow{HH_{2}} \) 為 \( \overline{AB}, \overline{AC} \)之中垂線，\( \Rightarrow \overline{AB} = \overline{AC} = 2\cdot \overline{AD} \cos45^\circ \)。
\( \triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot(3\sqrt{2})^{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{27}{5}\Rightarrow V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{27}{5}\cdot2=\frac{18}{5} \) 。
[b]填充2[/b].
已知拋物線的頂點在原點，焦點在\(x\)軸上，\(\triangle ABC\)三個頂點都在拋物線上，且\(\triangle ABC\)的重心為拋物線的焦點\(F\)，若\(\overline{BC}\)邊所在的直線為\(4x+y-20=0\)，試求拋物線的方程式為[u] [/u]。
[解答]
設所求方程式為 \( y^{2}=4cx \) ，則 \( F(c,0) \) 。與直線方程式聯立可得
\( 4x^{2}-(40+c)x+100=0\Rightarrow x_{1}+x_{2}=\frac{40+c}{4}\Rightarrow y_{1}+y_{2}=-c \) 。
由重心可得三頂點之坐標和 \( \begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3} & =3c\\
y_{1}+y_{2}+y_{3} & =0
\end{cases}\Rightarrow x_{3}=\frac{11}{4}c-10
, y_{3}=c\Rightarrow c^{2}=11c^{2}-40c\Rightarrow c=4 \) 或 0 (不合)。
故所求 \( y^{2}=16x \) 。
[b]填充 7[/b].
已知\(\cases{tan\alpha+log_3(3tna\alpha+6)=2\cr tan\beta+3^{tna\beta-1}=4}\)，求\(tan\alpha+tan\beta=\)[u] [/u]。
[解答]
這題很常見，只是要稍微平移一下
令 \( x=\tan\alpha+2 \) ，則 \( x+\log_{3}x=3\Rightarrow3-x=\log_{3}x \) ；
令 \( y=\tan\beta-1 \) ，則 \( y+1+3^{y}=4\Rightarrow3^{y}=3-y \) 。
由反函數圖形之對稱性得 \( x+y=3\Rightarrow\tan\alpha+\tan\beta=2 \) 。
[b]填充 8[/b].
將268個數放在一個圓周上，任意連續的20個數字之和都等於75，且放在第17號位置的數為3，第83號位置的數為4，第144號位置的數為9，則第210號位置的數為[u] [/u]。
[解答]
連續 21 個數，頭尾必相等，因此間隔為 \( \{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\} \) 之數必相等。而 \( \gcd(268,20)=4\Rightarrow\{20m+268n\mid m,\, n\in\mathbb{Z}\}=4\mathbb{Z} \)。
\( 17\equiv1 (mod 4), 210\equiv2 (mod 4 ), 83\equiv3 (mod 4 ), 144\equiv0 (mod 4 ) \)，所以 \( (3+4+9+x)\cdot5=75\Rightarrow x=-1 \) 。 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-8-5 11:45 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7082&ptid=1457][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
前幾天正好在寫，給點計算題的提示好了
計算 1. \( P \in \triangle ABC \), 且 \( \triangle ABC \) 為銳角三形，則 \( \min\{\overline{PA},\overline{PB},\overline{PC}\} \) 在外心的位置在最大值 \( R \)
所以只 ... [/quote]
想請教第三題...我照了您的提示作...
從第一個條件得到
X+Y<=4
3X+Y>=5
圖形是開放的區域..請問這樣要怎麼算斜率呢?
從第二個條件得到
X<=lnY
想請教後續如何解??感謝~
回復 6# tsusy 的帖子
填充第一題~題目給的四面體沒說是"正"四面體,可您的解法卻將之視為正四面體在解,感覺不算對耶!
第二行最後那求AH線段,如果ABC不是正三角形等號就不成立了吧!
阿~分子部分是角BAD 這樣就說的通了~
回復 8# fredslong 的帖子
不好意思，寫得有得糊...可能有些地方沒交待清楚再加上有一點筆誤，自己看了一下，花點時間才看懂才做什麼
做法中，沒有用到"正四面體",，第二行有個筆誤是 \( \overline{AH}=\frac{\cos\angle BAD}{\cos\angle BAH} \)
(這裡用到三垂線定理)
還有第一行 \( H_2 \) 是 D 對 \( \overline{AC} \) 的投影點。
另外，論證球心在直線 DH 的地方是用到三角不等式等號成立。
第四行後方，應為 \( \angle BAH=\angle CAH\Rightarrow\triangle ABC \) 等腰，\( \overline{AB} = \overline{AC} = 2\cdot \overline{AD} \cos45^\circ \)
(稍後再編輯一些上面那篇)
回復 6# tsusy 的帖子
想請問一下填充7如何根據反函數圖形對稱性得到 x+y=3 這個關係?
兩個反函數不是對稱於 x=y 的直線?
感恩~~~
回復 6# tsusy 的帖子
寸絲老師想請教一下，我一樣把D點作投影到AB、AC、平面ABC，點分別為H1、H2、H
然後AH1=AD*Cos角BAD
AH=AH1*Cos角BAH=AD*Cos角BAD*Cos角BAH，這樣算出來跟老師的AH不一樣
但我悟不透哪裡有問題，陷入無限迴圈中…
可否敬請賜教…QQ
回復 11# zeratulok 的帖子
第四行的地方，由三垂線定理知 \( \angle AH_1H = 90^\circ \)所以 \( \overline{AH} \) 是斜邊，\( \overline{AH} = \overline{AH_1} \sec \angle BAH \)
不過我自己是覺得這樣做不是什麼好方法，當初回了，也是當拋磚引玉，看看是否有高手出來把它解決
回復 10# fredslong 的帖子
#6 樓處，我的符號寫的不好，不要用 \( x, y \)，改用 \( a, b \)，符號比較不會混淆令 \( P, Q \) 分別是 \( y = 3^x \) 和 \( y =\log_3 x \) 的函數圖形和 \( x+y =3 \) 的交點。
即 \( P, Q \) 坐標為 \( P(a,3^a), Q(b, \log_3 b) \)
注意 \( x+y = 3 \) 和 \( x=y \) 垂直，故 \( x+y=3 \) 亦對稱於 \( x=y \)。
又指對數函數圖形對稱於 \( x= y \)，故 \( P, Q \) 對稱於 \( x=y \Rightarrow 3^a = b\)
所以 \( a+b = a + 3^a = 3 \) (P在直線上)
回復 12# tsusy 的帖子
謝老師！我剛剛想通了！回復 2# tsusy 的帖子
可以請問寸絲老師填充第4題 C_3=4 列出情況嗎 ?
整題不太清楚題意
謝謝
回復 15# kittyyaya 的帖子
當 \( n=3 \)\( i=1, (3,1,2), (2,1,3) \)
\( i=2, (1,3,2), (2,3,1) \)
就是恰一個 > 其它都 < 的意思
回復 2# tsusy 的帖子
寸絲老師很抱歉，因為我看不大懂您寫的填充第三題，每項皆負，取絕對值得....加了絕對值後，|f(-1)|=|-(1+x1)(1+x2)...(1+x101)|，為何會等於|a1|+|a2|+...|a99|-1-202 ?有點轉不過來....== 。回復 17# tacokao 的帖子
絕對值中的各項若同號，則先加再絕對值與先絕對值再加的結果相同，例：\(|-1-2-3-4-5-6-8-10|=|-1|+|-2|+|-3|+|-4|+|-5|+|-6|+|-8|+|-10|\)，
或者換個方式，單項各別處理，
因為 \( x_{i}>0 \), 所以 \( a_{k}:\begin{cases}
+ & \mbox{, if }k\mbox{ is odd;}\\
- & \mbox{, if }k\mbox{ is even.}
\end{cases} \Rightarrow(-1)^{k}a_{k}=-|a_{k}|<0 \)，亦即前文所說[color=Red]正負相間[/color]
\( \prod\limits _{k=1}^{101}(-1-x_{i})=-1-202+\sum\limits _{k=0}^{99}(-1)^{k}a_{k}=-203-\sum\limits _{k=0}^{99}|a_{k}| \)
故 \( \sum\limits _{k=0}^{99}|a_{k}|=\prod\limits _{k=1}^{101}(1+x_{i})-203 \)。
回復 18# tsusy 的帖子
謝謝寸斯老師詳細的說明~~~感恩~~~回復 2# tsusy 的帖子
不好意思請教一下填充第四題
遞迴式的後面為何是加上2的n-1次方
想很久想不通@
麻煩各位了
先謝謝^^
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