回復 20# johncai 的帖子
在\(1,2,\ldots,96\)的直線排列排列\((a_1,a_2,\ldots,a_{96})\)中，滿足條件\((*)\)的排列共有[u] [/u]個？\((*)\)：恰有一個\(i \in \{\;1,2,\ldots,95 \}\;\)，使得\(\cases{a_1<a_2<\ldots<a_i\cr a_i>a_{i+1}\cr a_{i+1}<a_{i+2}<\ldots<a_{96}}\)成立。
[解答]
可以換個方式想^^
題目的意思可以想成：現在有前段\(A\)和後段\(B\)
1, 2 , 3, ..., 96每個數字都能自由選擇要進入\(A\)或\(B\)，進入後就自動由小至大排好
總共有\(2^{96}\)種方法數，但這當中包含了違背題意的方法，那就是
1, 2, 3, ..., 96從小到大先排好，從這97個間隔中任選一間隔給他一刀兩斷下去，前面為\(A\)區，後面為\(B\)區
故要扣掉上述這97種方法
113.5.16補充
在\(1,2,\ldots,2023\)這2023個數字的直線排列中\((a_1,a_2,\ldots,a_{2023})\)中，滿足下列條件的排列有[u] [/u]個。
排列條件：恰有一個\(i\in \{\;1,2,\ldots,2023 \}\;\)，使得\(\cases{a_1<a_2<\ldots<a_i\cr a_i>a_{i+1}\cr a_{i+1}<a_{i+2}<\ldots<a_{2023}}\)
(112竹東高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3758&page=1#pid25199[/url])
回復 6# tsusy 的帖子
不好意思 寸絲老師又 D 為兩球之切點，因此 D Q "S1之球心"亦共線，因此 DH 通過 D,Q,H 和 S1 的球心。
又 DH垂直ABC 平面於 H，故 H 為 ABC 之外心。
也就是說任一D-ABC四面體
假設四面體外接圓的圓心為O
D對三角形ABC投影點為H
若D,O,H共線
則H為三角形ABC外心
這樣推論正確嗎?
如果正確 這要怎證明呢?
回復 22# Callmeluluz 的帖子
跟共線沒關係，四面體的外接球的球心對其中一面的投影點，必為該面三頂點所形成的三角形之外心。回復 23# tsusy 的帖子
感謝寸絲老師的提醒 用RHS就可以證明了 是我想太困難了!!另外我想請教一下
計算證明第一第二題
第一題
我假設b=cosθ+acosC代入
得到 R不大於(sqrt3/2)/cosC
也就是說我只要有角C介於0度~30度就算完成証明了
但是這題好像沒給到這個條件
不知道該如何完成
計算證明第二題則是毫無頭緒
希望老師能再多多指點迷津
感謝!!
回復 24# Callmeluluz 的帖子
計算 1(2)[color=Red]"b=cosθ+acosC"????[/color] 題目給的條件是 " \( b \leq \cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta \)"，其中 \( \theta = \angle BAC \)。
你這麼一改，跟題目的條件完完全全不同了
還有根據正弦定理 \(\displaystyle R = \frac{1}{2\sin C} \)，所以需要論證的應是 \(\displaystyle \sin C \geq \frac12 \)，又 \( \angle C \) 是銳角，因此即為 \( \angle C \geq 30^\circ \)
回復 25# tsusy 的帖子
寸絲老師因為b=ccosA+acosC 題目中b=1 A=θ
所以我把這串代入 b<=cosθ+sqrt3*sinθ
不過老師的方向應該比較合理
我會從這再思考看看 感謝
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