幾何證明題
1.已知\(A\)、\(B\)為圓\(O\)外之兩點，且\(\overline{OA}\ne \overline{OB}\)，試作一直徑\(\overline{PQ}\)，使得\(\overline{AP}=\overline{BQ}\)。
2.
在\(\Delta ABC\)中，已知\(O\)、\(I\)分別為\(\Delta ABC\)之外心與內心，若\(\overline{AB}+\overline{AC}=2\overline{BC}\)，試證：\(\overline{OI}⊥\overline{AI}\)。
3.
已知\(E\)、\(F\)為\(\overline{AB}\)之三等分點，且\(\overline{EF}\)為圓\(O\)之直徑，設\(\overline{AP}\)切圓\(O\)於\(D\)點，試證：\(∠ADE=∠PDB\)。
4.
在\(\Delta ABC\)中，已知\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(∠ABC=60^{\circ}\)，\(\overline{AB}=2\)，設\(\overline{AD}\)是\(\overline{BC}\)邊上的高，\(E\)是\(\overline{AC}\)上一點，且\(\Delta CDE\於)之外接圓\(O\)交\(\overline{BE}\)於\(F\)點，令\(\overline{AE}=x\)，則以\(x\)表示\(\Delta DBF\)之面積。
5.
已知\(I\)為\(\Delta ABC\)之內心，設\(\overline{ID}⊥\overline{BC}\)於\(D\)點，且\(\overline{AB}\times \overline{AC}=2\overline{BD}\times \overline{DC}\)，試證：\(∠A=90^{\circ}\)。
6.
設\(a_1\)、\(a_2\)、\(\ldots\)、\(a_{20}\)是20個小於70的自然數，且\(a_1<a_2<\ldots<a_{20}\)，今任意取2個數為一組，並計算出差之絕對值，試證：這些差中至少有四組是相同的。
請教幾題證明題
謝謝 !!
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第一題作B關於O的對稱點C
作AC的中垂線交圓O於P，P'
作直徑PQ和P'Q'即為所求。
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第二題參考
[url]http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=2909&prev=2915&l=f&fid=11[/url]
由性質四直接得到。
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第三題分別過E、B作AP的垂線，垂足為G、H，
EG : BH=1 : 3
GD : DH=EO : OB=1 : 3
所以三角形EGD和三角形BHD相似
角ADE=角PDB
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第四題BD=1
分別過E、F作BD的垂線，垂足為G、H，
FH : EG=BF : BE
角BFD=角C=角BAD，所以A、B、D、F四點共圓，角AFB=90度。
所以 \( BF : FE=BA^2 : AE^2=4 : x^2 \)
\(\displaystyle FH=\frac{4}{4+x^2}EG=\frac{4}{4+x^2} \times \frac{2\sqrt{3}-x}{2} \)
\(\displaystyle (BDF)=\frac{1}{2} \times BD \times FH=\frac{2\sqrt{3}-x}{4+x^2} \)
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第五題bc=2(s-b)(s-c)
\( 2bc=(a+c-b)(a+b-c)=a^2-(b-c)^2=a^2-b^2+2bc-c^2 \)
\( a^2=b^2+c^2 \)
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