101羅東高中二招3題
請教各位老師這3題如何解題
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1.我剛算錯了！沒注意到下標，修正了！
\(\large \sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n}_{k}}{k+1}\)
\(\large =\sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n+1}_{k+1}}{n+1}\)
\(\large =\frac{1}{2(n+1)}\times \sum^{n}_{k=0}2^{k+1}\times C^{n+1}_{k+1}\)
\(\large =\frac{1}{2(n+1)}\times \left(\sum^{n}_{k=-1}2^{k+1}\times C^{n+1}_{k+1}-2^{0}\times C^{n+1}_{0} \right)\)
\(\large =\frac{1}{2(n+1)}\times \left((2+1)^{n+1}-1 \right)\)
\(\large = \frac{1}{2(n+1)}\times \left(3^{n+1}-1 \right) \)
3.
令大圓為 \(\Gamma :x^2+y^2=4r^2\)
則小圓的圓心將在 \(x^2+y^2=r^2\) 上
令小圓圓心為 \((rcos\theta,rsin\theta)\) ，\(\theta \) 代表滾動時相對大圓的參考角
則可得小圓方程式為 \((x-rcos\theta )^2+(y-rsin\theta)^2=r^2\)
在小圓上任取一點 \(P(x,y)=(rcos(\alpha+\theta)+rcos\phi,rsin(\alpha +\theta)+rsin\phi)\)
其中 \(\alpha\) 為起始參考角， 決定在小圓上的位置，\(\phi\) 代表 \(P\) 點在小圓上旋轉角
觀察小圓滾動的情形，發現 \(\theta=-\phi\)
因為 \(rcos(\alpha+\theta) +rcos\phi=rcos(\alpha+\theta) +rcos\theta=r(cos(\alpha+\theta) +cos\theta)\)
且 \(rsin(\alpha+\theta) +rsin\phi=rsin(\alpha+\theta) -rsin\theta =r(sin(\alpha+\theta) -sin\theta)\)
則 \(\large \frac{y}{x}=\frac{r(sin (\alpha+\theta) -sin\theta)}{r(cos (\alpha+\theta) +cos\theta)}=\frac{2cos(\frac{(\alpha+\theta) +\theta }{2})sin(\frac{(\alpha+\theta) -\theta }{2})}{2cos(\frac{
(\alpha+\theta) +
\theta
}{2})cos(\frac{
(\alpha+\theta) -\theta
}{2}) }=tan\frac{\alpha}{2}\)
所以，當我們選定 \(P\) 點時，\(\alpha\) 也就固定了！
因此，我們發現 \(P\) 的 \(x,y\) 座標滿足 \(y=tan\frac{\alpha}{2} x\)
此即為一直線，又大圓的圓心為原點，此線必過原點，故得證！
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最後，我亦做了GGB檔，會較有感覺
同時，我也修正了之前錯誤的修正！
[attach]1353[/attach]
[[i] 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 08:37 PM 編輯 [/i]] 太感恩了，謝謝。真是非常厲害。謝謝
回復 3# jen123 的帖子
大圓小圓那題其實，還有一點點的小問題在！就是P點位置的起始角度，我沒有考慮進去，
我已修正了那個部分，同時我之前角度的換算也有錯！也一起修正了！
[[i] 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 08:14 PM 編輯 [/i]]
回復 1# jen123 的帖子
第2題原式兩邊平方，得 \(36x^2+96x\sqrt{1-x^2}+64(1-x^2)=25(2+2\sqrt{1-x^2})\)
\(\Rightarrow 48x\sqrt{1-x^2}+7(1-2x^2)=25\sqrt{1-x^2}\)
將 \(x=sin\theta\) 代入，得
\(48sin\theta cos\theta+7(1-2sin^2\theta)=25cos\theta\)
\(\Rightarrow 24sin2\theta+7cos2\theta=25cos\theta\)
\(\Rightarrow \frac{24}{25}sin2\theta+\frac{7}{25}cos2\theta=cos\theta\)
令 \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\) 使得 \(sin\alpha=\frac{24}{25},cos\alpha=\frac{7}{25}\) ，則上式變成
\(cos(2\theta-\alpha)=cos\theta\)
則
(1) \(2\theta-\alpha=\theta\Rightarrow \theta=\alpha\Rightarrow x=sin\theta=\frac{24}{25}\) ，即得答案
(2) \(2\theta-\alpha=-\theta\Rightarrow \theta=\frac{\alpha}{3}\Rightarrow x=sin\theta<sin\frac{\pi}{6}<\frac{1}{2}\) ，此解不合
[[i] 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-6 05:50 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]katama5667[/i] 於 2012-7-4 03:21 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6798&ptid=1454][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
1.
我剛算錯了！沒注意到下標，修正了！
\(\large \sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n}_{k}}{k+1}\)
\(\large =\sum^{n}_{k=0}2^{k}\times \frac{C^{n+1}_{k+1}}{n+1}\) ... [/quote]
還是不太清楚，能有好心人畫一下\(\alpha\)和\(\theta\)與\(\phi\)的位置關係嗎？或是再解釋地清楚一點。
這一段最不懂：
「在小圓上任取一點 \(P(x,y)=(rcos(\alpha+\theta)+rcos\phi,rsin(\alpha +\theta)+rsin\phi)\)
其中 \(\alpha\) 為起始參考角， 決定在小圓上的位置，\(\phi\) 代表 \(P\) 點在小圓上旋轉角
觀察小圓滾動的情形，發現 \(\theta=-\phi\)」
不懂\(P(x,y)\)是這樣假設，還有\(\theta=-\phi\)。 [quote]原帖由 [i]casanova[/i] 於 2012-7-9 08:13 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6895&ptid=1454][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
還是不太清楚，能有好心人畫一下\(\alpha\)和\(\theta\)與\(\phi\)的位置關係嗎？或是再解釋地清楚一點。
這一段最不懂：
「在小圓上任取一點 \(P(x,y)=(rcos(\alpha+\theta)+rcos\phi,rsin(\alpha +\theta)+rsin\phi)\) ... [/quote]
大圓小圓那題,之前有人問過
[url=https://math.pro/db/thread-1304-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1304-1-1.html[/url] [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-7-9 08:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6896&ptid=1454][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
大圓小圓那題,之前有人問過
[url=https://math.pro/db/thread-1304-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1304-1-1.html[/url] [/quote]
這個也看不太懂，可以提供更淺顯或相關的資料嗎？ [quote]原帖由 [i]casanova[/i] 於 2012-7-9 08:54 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6897&ptid=1454][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這個也看不太懂，可以提供更淺顯或相關的資料嗎？ [/quote]
考這個的話,那軌跡公式一定要背
有幾個人可以當場導出公式?
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