回復 20# larson 的帖子
去年中正那題截痕是拋物線，今年填充5的截痕是橢圓，線段BD長=長軸長
而其中一個焦點就是三角形ABD的內切圓和線段BD的切點。
以上為小弟的想法，有錯誤請指正。
[[i] 本帖最後由 wayloon 於 2012-7-3 02:10 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]wayloon[/i] 於 2012-7-3 02:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6773&ptid=1446][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
去年中正那題截痕是拋物線，
今年填充5的截痕是橢圓，線段BD長=長軸長
而其中一個焦點就是三角形ABD的[color=#ff0000]內切圓[/color]和線段BD的[color=#ff0000]切點[/color]。
以上為小弟的想法，有錯誤請指正。 ... [/quote]如上面紅字的部分是怎麼來的？ [quote]原帖由 [i]larson[/i] 於 2012-7-3 12:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6771&ptid=1446][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝！填充5的截痕之正焦弦長，解不出官方的答案！
填充第10題老王的方法：設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案
很 ... [/quote]
x=(1/4)(1+y) *4 =1+y
^^^^^^^^^^^^^
A到任一中點的機率是１/４, 有四條選擇
y=(1/4)*1 + (1/4)(1+y) +(1/4)(1+y) + (1/4)(1+x)
^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^
B-->C B-->另ㄧ個中點-->C B-->另ㄧ個中點-->C B-->A-->C
回復 20# larson 的帖子
感謝 mandy 老師已經幫忙解說了。至於今年台大數學推甄題解，其實我已經寫好了，只是很懶惰!!
打字還缺最後兩題沒打~~~~
回復 22# larson 的帖子
[url=http://goo.gl/sDR8I]http://goo.gl/sDR8I[/url]請參考本篇文章主題二，有相關內容和證明
這是利用到過球外一點會產生無限多條切線的觀念，有錯請指正 謝謝王老師與mandy與wayloon這麼快的回覆！太感激了！
[[i] 本帖最後由 larson 於 2012-7-3 10:03 PM 編輯 [/i]]
回復 20# larson 、21# wayloon 的帖子
[align=left]填充 5 [/align][align=left]我畫了個圖，如下：[/align]
[align=left][img]http://img440.imageshack.us/img440/4149/27927370.png[/img][/align]
[align=left]因為[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1136&page=2#pid4110]100年中正一招[/url]時，可知綠色的軌跡為抛物線，[/align]
[align=left]現今我將底圓以點 \(B\) 為定點，順著圓錐面向上滑 \(30^{\circ}\)，則[/align]
[align=left]所以 \(P,~Q\) 將順著此抛物線向上滑動到 \(P',~Q'\) 形成所求橢圓的短軸 [/align]
[align=left]利用 \(y=tx^2\) 定座標 \(E(0,0),Q(2,-2)\)，可算出 \(t=-\frac{1}{2}\) [/align][align=left]而 \(Q'(k,-1)\) 代入可求出 \(k=\sqrt{2}\)[/align]
[align=left]所以 \(b=\sqrt{2}\)[/align]
[align=left]又 \(a=\frac{1}{2}\overline{BD}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}\)[/align]
[align=left]所以正焦弦為 \(\large \frac{2b^2}{a}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)[/align]
[[i] 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-7 08:33 PM 編輯 [/i]]
回復 3# fredslong 的帖子
填充 7. 其實應該改寫成組合數，才會有 Fu\( \displaystyle \sum_{n=1}^{17}(n-1+1)C_{3}^{n+2}=4\sum_{n=2}^{17}C_{4}^{n+2}+\sum\limits _{n=1}^{17}C_{3}^{n+2}=4C_{5}^{20}+C_{4}^{20}=66861 \)
類題
100 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&extra=&page=1]文華高中代理 填充16[/url]
試求 \( (1+x^{2})+2(1+x^{2})^{2}+3(1+x^{2})^{3}+\ldots+15(1+x^{2})^{15} \) 展開式中， \( x^{4} \) 項的係數。
100 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1119&page=1#pid3325]中壢高中 填充9[/url]
試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \) 。 想請教填充2和4題,謝謝
回復 29# 阿光 的帖子
填充2就是要找 \(x^2+2(a-c)x+(b-d)=0\) 無實數解的情形，
即 \((a-c)^2<b-d\) 的機率
(1)\(|a-c|=0\)且\(b-d\geq 1\)：\(\frac{6}{36}\times \frac{15}{36}\)
(2)\(|a-c|=1\)且\(b-d\geq 2\)：\(\frac{10}{36}\times \frac{10}{36}\)
(3)\(|a-c|=2\)且\(b-d\geq 5\)：\(\frac{8}{36}\times \frac{1}{36}\)
所以答案為 \(\frac{90+100+8}{36\times 36}=\frac{11}{72}\)
填充4
\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=\sum^{n}_{k=1}kC^{n}_{k}C^{n}_{k}=\sum^{n}_{k=1}nC^{n-1}_{k-1}C^{n}_{k}=n\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)
再考慮 \((1+x)^{2n-1}\) 展開後 \(x^{n}\) 的係數： \(C^{2n-1}_{n}\)
且
\((1+x)^{2n-1}=(1+x)^{n-1}(1+x)^{n}\)
\(=\left(C^{n-1}_{0}+C^{n-1}_{1}x+C^{n-1}_{2}x^2+\cdots+C^{n-1}_{n-1}x^{n-1} \right )\left(C^{n}_{0}+C^{n}_{1}x+C^{n}_{2}x^2+\cdots+C^{n}_{n}x^{n} \right )\)
乘開後 \(x^{n}\) 的係數為 \(\sum^{n}_{k=1}C^{n-1}_{n-k}C^{n}_{k}\)
所以，\(\sum^{n}_{k=1}k(C^{n}_{k})^2=nC^{2n-1}_{n}\)
套入原題中，\(\sum^{2012}_{k=1}k(C^{2012}_{k})^2=2012\times C^{4023}_{2012}=2012\times C^{4023}_{2011}\)
故 \((m,n)=(4023,2012),~or~(4023,2011)\)
[[i] 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-4 09:52 AM 編輯 [/i]]
回復 21# wayloon 的帖子
您的想法正確，可算得半長軸 \( a=\sqrt{3} \)而內切圓半徑則由面積 \( rs=\triangle BDA =2\sqrt{3} \) 可得 \( r = \sqrt{3}-1 \)
注意 \( \angle D \) 是直角，因此切點到 D 的距離恰為半徑
因此 \( c=a-r=1\Rightarrow b=\sqrt{2}\Rightarrow\frac{2b^{2}}{a}=\frac{4}{\sqrt{3}} \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-7-4 12:07 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6788&ptid=1446][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 7. 其實應該改寫成組合數，才會有 Fu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{17}(n-1+1)C_{3}^{n+2}=4\sum_{n=2}^{17}C_{4}^{n+2}+\sum\limits _{n=1}^{17}C_{3}^{n+2}=4C_{5}^{20}+C_{4}^{20}=66861 \)
類題
100 文華 ... [/quote]
請問寸絲老師: 如何觀察出 Ｃ(ｎ+２,３) 及 係數一般都只會寫ｎ ?
回復 32# mandy 的帖子
你把巴斯卡三角形係數寫出來就看得到了！藍色上一排即題目中括號內的數字！[img]http://img821.imageshack.us/img821/688/striangle1.png[/img]
(圖片取自：[url=http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/DynamicProgramming.html]http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/DynamicProgramming.html[/url]，並自行上色)
[[i] 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-5 09:28 AM 編輯 [/i]]
回復 29# 阿光 的帖子
填充4. [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1192]100北港高中[/url] 考過了#30 katama5667 老師已解，小弟來提供另一個做法
\( \displaystyle \frac{\sum\limits _{k=1}^{2012}kC_{k}^{2012}C_{2012-k}^{2012}}{C_{2012}^{2024}} \) 可視為箱中有 2012 個白球和 2012 個黑球，取出 2012 個球，白球數的期望值
而該期望值，可視為 1 個個慢慢取，每次取得白球的機率為 \( \frac{1}{2} \)，由期望值的加性得 \( \frac{2012}{2} \)
故其分子為 \( C_{2012}^{4024} \cdot \frac{2012}{2} = \frac{4023!}{2011!2011!} = 2012 C^{4023}_{2011}\)
回復 27# katama5667 的帖子
請問為何是順著圓錐面45度，而不是30度?回復 35# cherryhung 的帖子
不好意思，我寫錯了！等等我更正！已更正完成！
[[i] 本帖最後由 katama5667 於 2012-7-15 08:15 AM 編輯 [/i]]
請教填充第一題
小弟愚昧..實在想不出來填充第一題如何解題...請各位老師與大大指點迷津....回復 37# wallydx 的帖子
P+3q+4r=x.....(1)2p+q+3r=y.....(2)
p=1-q-r...........(3)
(3)代入(1)和(2)得
2q+3r=x-1.....(4)
-q+r=y-2........(5)
解聯立得
5r=x+2y-5>=0.....(6)
5q=x-3y+5>=0....(7)
5p=-2x+y+5>=0..(8)
.......畫圖得一三角形圖形..即可得面積
回復 38# andyhsiao 的帖子
感謝andyhsiao老師的指導^^ [quote]原帖由 [i]katama5667[/i] 於 2012-7-3 10:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6784&ptid=1446][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]填充 5
我畫了個圖，如下：
[img]http://img440.imageshack.us/img440/4149/27927370.png[/img]
因為100年中正一招時，可知綠色的軌跡為抛物線，
現今我將底圓以點 \(B\) 為定點，順著圓錐面向上滑 \(30^{\circ}\)，則
所以 \(P,~Q\) 將順 ... [/quote]
\(Q'(k,-1)\) 為何知道它的\(y\)坐標是\(-1\)呢？
[[i] 本帖最後由 casanova 於 2012-7-22 09:08 AM 編輯 [/i]]