101中正高中二招
請問１. １+２(１+３)+３(１+３+６)+４(１+３+６+１０)+........+１７(１+３+６+.....+１５３)=?
２. 一線段ＡＢ,ＡＢ長為根號３, 若ＡＭ=ＭＮ=ＮＢ, 且三角形ＡＭＢ面積為Ｓ, 三角形ＭＮＢ面積為Ｔ,求Ｓ^２+Ｔ^２之最大值＝?
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-28 06:39 AM 編輯 [/i]] 7.
\( 1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+...+17(1+3+6+...+153)= \)？
[解答]
\( f(0)=0 \)，\( f(1)=1 \)，\( f(2)=1+2(1+3)=9 \)，\( f(3)=1+2(1+3)+3(1+3+6)=39 \)，\( f(4)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)=119 \)
\( f(5)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+5(1+3+6+10+15)=294 \)
\( f(6)=1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+5(1+3+6+10+15)+6(1+3+6+10+15+21)=630 \)
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
0 & & 1 & & 9 & & 39 & & 119 & & 294 & & 630 \cr
& 1 & & 8 & & 30 & & 80 & & 175 & & 336 & \cr
& & 7 & & 22 & & 50 & & 95 & & 161 & & \cr
& & & 15 & & 28 & & 45 & & 66 & \cr
& & & & 13 & & 17 & & 21 & & \cr
& & & & & 4 & & 4 & & & } \)
\( f(n)=0 \times C_0^n+1 \times C_1^n+7 \times C_2^n+15 \times C_3^n+13 \times C_4^n+4 \times C_5^n \)
8.
將6個A，6個B及6個C共18個字母排成一列，使得前6個字母沒有Ａ，中間6個字母沒有B，最後6個字母沒有C，試問共有多少種排列方式？
[url=https://math.pro/db/thread-454-1-1.html]https://math.pro/db/thread-454-1-1.html[/url]
9.
若\( a,b,x,y \in R \)，\( \displaystyle \cases{a+b=4 \cr ax+by=13 \cr ax^2+by^2=41 \cr ax^3+by^3=127} \)，求\( ax^4+by^4 \)
[url=https://math.pro/db/thread-799-1-1.html]https://math.pro/db/thread-799-1-1.html[/url]
[另解]
\( \Bigg\vert\; \matrix{4 & 13 & 41\cr 13 & 41 & 127\cr 41 & 127 & a_4} \Bigg\vert\;=0 \)
\( a_4=389 \)
計算題
3.
令\( \displaystyle S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{729}} \)，若\( [\; x ]\; \)表不大於x的最大整數，求\( [\; S ]\;= \)？
[url=https://math.pro/db/thread-156-1-1.html]https://math.pro/db/thread-156-1-1.html[/url]
4.
求\( \displaystyle tan \frac{\pi}{7} \cdot tan \frac{2\pi}{7} \cdot tan \frac{3\pi}{7} \cdot tan \frac{4\pi}{7} \cdot tan \frac{5\pi}{7} \cdot tan \frac{6\pi}{7}= \)？
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-30 08:36 PM 編輯 [/i]] １. １+２(１+３)+３(１+３+６)+４(１+３+６+１０)+........+１７(１+３+６+.....+１５３)=?
這題括號內其實是(1+(1+2)+(1+2+3)+......+(1+2+3+......+n)) = n(n+1)(n+2)/6 這樣的形態
再來就用級數去求就可以~
注意的是會出現求級數K^4 我是用 級數(K+1)^5 - K^5 去導的
而這方法剛好是計算最後一題問的東西!! 請問填充第6題橢圓焦點的座標答案是否有誤??
我找出來的是同為正，同為負，並非答案給的一正一負，
另外請問老師們，計算第1、2題應該怎麼處理呢??
能否稍微指點一下，謝謝您。
[註]：已在美夢成真討論區看到鋼琴老師的詳解，謝謝您。
[[i] 本帖最後由 bluewing 於 2012-6-30 10:09 PM 編輯 [/i]]
請教中正二招 填充5
我很喜歡這個題目求正交弦長，但求不出來 可否指點一下，謝謝回復 5# cherryhung 的帖子
去年中正就考過了。請教填充10
抱歉~這題我也想不出來 應該是有規律 請指點一下 謝謝回復 7# cherryhung 的帖子
下圖為一個正八面體。一隻螞蟻自正八面體上方的頂點出發，沿著正八面體的稜邊爬行。在每個頂點處牠會從四條稜邊中隨機地選擇一條向另一頂點前進，直到抵達下方的頂點為止。則螞蟻自上方頂點爬行到下方頂點，所經過的稜邊數的期望值為[u] [/u]。[解答]
設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案
105.4.24補充
右圖為一個正二十面體，每邊長度均為1。有一螞蟻由\(A\)點出發，只走邊，且在頂點時轉向任意邊的機率相等，求走至\(M\)點距離之期望值？
(105板橋高中，[url]https://math.pro/db/thread-2483-1-1.html[/url])
計算3
請教各位老師，計算3算出來的結果S在52.~與54之間，請問[S]要取多少？這題跟之前考古題比較感覺是特殊情況題[[i] 本帖最後由 brace 於 2012-7-1 08:28 AM 編輯 [/i]]
回復 9# brace 的帖子
計算 3. 做了一下，沒什麼問題 \( 52+\frac1{27}\leq S \leq 53 \)也許是估計做的不夠準，而主要的誤差來源在於前幾項，
所以保留部分項，其它再估計吧 [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-6-30 10:40 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6709&ptid=1446][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
去年中正就考過了。 [/quote]
請問老師:
填充5 和 100中正考題的截痕好像不一樣? 不知道我認為的對不對? 請問該如何做? 看了美夢成真板 計算第一題的解題過程 和我得不一樣
想請問我的做法那裏有問題?
f(x)=4x^3+12x^2+kx+4=0有三個相異實根
f'(x)=12x^2+24x+k=0 就有二相異實根
判別式大於0 得 k <12
回復 12# mandy 的帖子
沒看題目，和其它解法，單就你的文字而言「就有」兩個字，也就是單向的蘊含，而非等價 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-7-1 04:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6731&ptid=1446][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
沒看題目，和其它解法，單就你的文字而言
「就有」兩個字，也就是單向的蘊含，而非等價 [/quote]
不懂也~~
原f(x)=0與x軸有三個交點
f'(x)=0 有二相異實根 , 即f(x)=0 有相對極大與相對極小值
回復 14# mandy 的帖子
來個錯誤示範的例子：求解 \( x=1 \)\( x=1 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=1 \) 或 \( -1 \)
每個箭頭邏輯都是對的，但不代表 \( x=\pm 1\) 是原方程式的解
以上，犯的錯誤是一樣的。 填充第3題似乎在哪見過= =
回復 2# bugmens 的帖子
B大~可以請問第7題使用方法的出處嘛? 請問計算第4題，算出-7對嗎？我背了幾個公式算出來的，有其它方法嗎？回復 18# larson 的帖子
換成 \( \sin \), \( \cos \)之後正餘弦的連乘積都是很常見的考題
令 \( \omega = \cos\frac{2\pi}{7} + i\sin\frac{2\pi}{7} \)，
則 \( (x-\omega)(x-\omega^2)(x-\omega^3)(x-\omega^4)(x-\omega^5)(x-\omega^6) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)
\( x =\pm 1 \) 代入，取絕值，可得正弦餘之連乘積 謝謝！填充5的截痕之正焦弦長，解不出官方的答案！
填充第10題老王的方法：設為 \( x \)
再設中間的點走到下方停止的期望值為 \( y \)
\( x=1+y \)
\(\displaystyle y=\frac{1}{4}(1+(1+x)+(1+y)+(1+y)) \)
聯立解得答案
很神，但看不懂，可不可以解釋一下！！
另外想問以下相關題：(題目來源：台大數學系)
[[i] 本帖最後由 larson 於 2012-7-3 01:34 PM 編輯 [/i]]