101竹山高中
想請問證明2,4謝謝~~ 證明4
拋物線和\( x \)軸,直線\( x-y-1=0 \)，\( x+y+1=0 \)都相切，其焦點為\( P(h,k) \),\( h>0 \),\( k>0 \)，則\( P \)點軌跡方程式為何？
對\( (h,k) \)做三條切線之對稱點\( (h,-k),(k+1,h-1),(-k-1,-h-1) \)
此三點皆在準線上，也就是三點共線
故用三點共線的關係就可以得到\( h^2+k^2=1 \)
請問計算1,2,3
感恩 好強..感謝一心老師 計算1單位圓內一內接四邊形\( ABCD \)，其中\( \overline{AD} \)為直徑，\( ∠ABC=120^{\circ} \)，求四邊形\( ABCD \)的最大周長？
[attach]1313[/attach]
因為\( ∠ABC=120^{\circ} \)，對角互補
所以\( C \)點也被固定了，實際上變動的點就只有\( B \)，在弧AC之間
最大周長出現在B在弧AC的中間點，
此時\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1 \)
\( \overline{AD}=2 \)
故最大周長為5
計算3
求\( \displaystyle sin \frac{\pi}{11}sin \frac{2\pi}{11}sin \frac{3\pi}{11}sin \frac{4\pi}{11}sin \frac{5\pi}{11}= \)？
這一題考古題出現很多次了
都還有了公式
\( \displaystyle \sin \frac{\pi }{{2n + 1}}\sin \frac{{2\pi }}{{2n + 1}}...\sin \frac{{n\pi }}{{2n + 1}} = \frac{{\sqrt {2n + 1} }}{{{2^n}}}\)
用複數解吧
(92屏東高中)(93彰女)(數學101 p161)
回復 5# shiauy 的帖子
感謝一心老師 想請教計算第2題,謝謝計算2.
\( f(n) \)表由小到大的第\( n \)個非完全平方數，如\( f(1)=2 \),\( f(2)=3 \),\( f(3)=5 \)，求證：\( f(n)=n+\{\; \sqrt{n} \}\; \)，其中\( \{\; \sqrt{n} \}\; \)表最接近\( \sqrt{n} \)的整數。
想問填充1、6兩題
可否給提示填充1.
\( a \)為正無理數，\( p=a^3-a^2-13a+6 \)，\( q=a^2-4a \)均為有理數，則\( (p,q,a)= \)？
填充6.
\( \Delta ABC \)中\( \overline{AB}=10 \)，\( \overline{AC}=6 \)，\( P \)在內部，\( ∠APB=90^{\circ} \)，\( ∠ABP=∠ACP \)，\( M \)為\( \overline{BC} \)中點，則\( \overline{PM}= \)？
回復 8# larson 的帖子
填充 1. 基本想法是 \( x+ya = 0 \), \( x,y \in Q \) 則 \( x=y=0 \)剩下的就是從 \( p,q \) 裡湊寫一寫得 \( p=(a^{2}-4a-1)a+\left[3(a^{2}-4a)+6\right] \Rightarrow (q-1)a+(3q+6-p) = 0 \)
那 \( q,p,a \) 就有了
至於怎麼湊...小弟也說不出個好方法，但不難湊就是了
填充 6. 今年附中考過 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1355&page=1#pid5501]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1355&page=1#pid5501[/url] [quote]原帖由 [i]larson[/i] 於 2012-6-28 09:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6685&ptid=1441][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可否給提示 [/quote]
填充1
參考美夢成真:鋼琴老師與小弟的作法~
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=8138#p8138]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=8138#p8138[/url]
回復 1# wind2xp 的帖子
計算證明 2. 來個不高明的數歸納法好了，如果有什麼其它高招，請不吝告訴在下先分析 \( \{m\} \) 這個函數。注意 \( (n+\frac{1}{2})^{2}=n^{2}+n+\frac{1}{4}, (n-\frac{1}{2})^{2}=n^{2}-n+\frac{1}{4} \)。
若 \( n^{2}-n<m\leq n^{2}+n, m,\, n\in N \), 則 \( \{m\}=n.\) 注意 \(\dot{\cup}(n^{2}-n,n^{2}+n]=(0,\infty) \).
以數學歸納法證之：
\( n=1, f(1)=2=1+\{1\} \), 顯然成立。
設 \( m\leq k (k\geq1) \) 時成立，分成二情況
(情況一)若 \( k=n^{2}+n \), for some \( n\in N \).
由歸納法假設有 \( f(k)=(n^{2}+n)+n=n^{2}+2n \). 因此下個數 \( (n+1)^{2} \) 是完全平方數
故 \( f(k+1)=f(k)+2=(n^{2}+n+1)+(n+1)=k+1+\{k+1\} \).
(情況二)若 \( n^{2}-n<k<n^{2}+n, \Rightarrow n^{2}<f(k)<n^{2}+2n\Rightarrow \) 下一個數 \( n^{2}<f(k)+1<(n+1)^{2} \) 非完全平數
所以 \( f(k+1)=f(k)+1=k+\{k\}+1=(k+1)+\{k+1\} \)。
由數學歸納法得證
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-10-28 11:56 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]shiauy[/i] 於 2012-6-26 05:14 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6635&ptid=1441][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算1
最大周長出現在B在弧AC的[color=#ff0000]中間點[/color]， ... [/quote](1)想請問要如何證明在弧AC的[color=#ff0000]中間點[/color]
(2)順便想問填充8
\( \Delta ABC \)中\( \overline{AB}=\overline{AC} \)，\( ∠BAC=84^{\circ} \)，\( P \)在其內部\( ∠PBC=12^{\circ} \)，\( ∠PCB=30^{\circ} \)，則\( ∠APB= \)？
回復 12# larson 的帖子
填充八在 \( \Delta PBC \) 中，\(\displaystyle \frac{PB}{\sin30^o}=\frac{BC}{\sin138^o} \)
\(\displaystyle PB=\frac{\frac{1}{2}BC}{\sin42^o}=AB \)
所以
\(\displaystyle \angle{APB}=\frac{1}{2}(180^o-(48^o-12^o))=72^o \)
回復 13# 老王 的帖子
謝謝，太強了，竟然可以看出來！！！不知還有沒有將圖形旋轉或平移的作法！[[i] 本帖最後由 larson 於 2012-7-1 12:01 AM 編輯 [/i]]
填充第一題
\(a\)為正無理數，\(p=a^3-a^2-13a+6\)，\(q=a^2-4a\)均為有理數，則\((p,q,a)=\)？[解答]
\(q+4=(a-2)^2\)⇒\(a=2\pm \sqrt{4+q}\)，(\(q>-4\))
(1)
當\(a=2+\sqrt{4+q}\)，此時\(p=(2+\sqrt{4+q})^3-(2+\sqrt{4+q})^2-13(2+\sqrt{4+q})+6\)
整理得\(p=\sqrt{4+q}(q-1)+(4+5q)\)，\(\sqrt{4+q}\in Q^{*} \)⇒\(q=1，p=9，a=2+\sqrt{5}\)
(2)
當\(a=2-\sqrt{4+q}\)，此時\(p=(2-\sqrt{4+q})^3-(2-\sqrt{4+q})^2-13(2-\sqrt{4+q})+6\)
整理得\(p=\sqrt{4+q}(-q+1)+(4+5q)\)⇒\(q=1，p=9，a=2-\sqrt{5}<0\)(不合)
綜合以上：⇒\(q=1，p=9，a=2+\sqrt{5}\)
回復 9# tsusy 的帖子
謝謝寸絲的填充6，我可能要好好的練功了！回復 14# larson 的帖子
個人以為，在考場中用三角函數硬作，解出來的機會比較大。這樣的問題出現很多次了，我上面的作法其實不夠一般，應該要這樣作:
假設(底下都省略度) \(\displaystyle \angle{PAB}=x \)
\(\displaystyle \frac{PA}{PB}=\frac{\sin36}{\sin x} \)
\(\displaystyle \frac{PB}{PC}=\frac{\sin30}{\sin12} \)
\(\displaystyle \frac{PC}{PA}=\frac{\sin(84-x)}{\sin18} \)
然後三式相乘得到
\(\displaystyle \sin36 \sin30 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \sin18 \)
然後其實應該先猜答案是多少，當然，畫個近似準確的圖是重要的，這樣才可以猜測。
像這裡先整理最後的式子得到
\(\displaystyle \cos18 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \)
這樣應該不難猜出答案是 \( 72 \)
接著朝目標前進
\(\displaystyle \sin72 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \)
\(\displaystyle \sin(156-x)+\sin(x-12)=\sin(x+12)+\sin(x-12) \)
\(\displaystyle \sin(156-x)=\sin(x+12) \)
剩下就是判斷哪個才是解了。
順便放上早上頭腦清醒的狀態:
[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-7-1 10:45 AM 編輯 [/i]]
請問
填充題第9題不知道有沒有什麼提示
回復 18# sport 的帖子
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=587[/url]填充題第9題
解，
三白球 → ○○○
三白球形成4個空隙
五黑球放到四個空隙，平均每個空隙有 5/4 顆黑球(空隙中黑球個數的期望值)
→ (5/4個●) ○ (5/4個●) ○ (5/4個●) ○ (5/4個●)
由左到右取球，取到白球取完時，共取了 (1+5/4)*3 = 27/4 顆球
回復 19# weiye 的帖子
謝謝我懂了