用卡當三次方公式 當 x^3+px=q 時 , 三根為a,b,c 時
則 判別式 -4p^3-27q^2 = [ (a-b)(a-c)(b-c) ]^2
所以 , 該題 x^3-x-1=0 用 p = -1 , q =1 代入得
[ (a-b)(a-c)(b-c) ]^2 = -4(-1)^3-27(1)^3 = 4 - 27 = -23
故得 (a-b)(a-c)(b-c) = 正負(根號23) i
sorry! 我剛剛才看到 版上已有大大 提供這方法了 ......^.^
[[i] 本帖最後由 GGQ 於 2013-4-23 07:32 AM 編輯 [/i]] 填充１
讓f(x)=x^3-x^2-13x+(6-p)
g(x)=x^2-4x-q
a可以看成是f(x)=0和g(x)=0的解
因為a是g(x)=0的無理根
=> a可寫成x+\sqrt(y)這種形式
=> 有理係數多項式方程式的x+\sqrt(y)這種根會成對出現
=> g(x) | f(x)
所以g(x)是g(x)和f(x)的最高公因式
=> g(x) | f(x)-xg(x) = 3x^2-(13-q)x+(6-p)
=> 1 : -4 : -q = 3 : -(13-q) : (6-p)
=> p=9, q=1, a=2+\sqrt(5)
--
後來覺得自己的方法沒有前面幾位前輩來得簡易
但因為我習慣用這類方式看待這種題目...所以還是PO上來分享
請多指教...謝謝
[[i] 本帖最後由 阿吉 於 2013-6-23 03:09 AM 編輯 [/i]]
回復 24# tsusy 的帖子
想請教轉彎那題p值怎麼思考得到，以及E(X)=17p是二項分配期望值的算法嗎？思緒疑惑繞不太出去...先謝謝了。
回復 43# 瓜農自足 的帖子
提供一下另解轉彎的情形有 "→↑" 和 "↑→"
捷徑之走法相當於把 9 個 → 和 9 個 ↑ 排成一列的排法
"→↑" 可放的位置有 17 個，其餘的 8 個 → 和 8 個 ↑ 有 C(16，8) 種排法
同理，"↑→" 亦同
所求 = [C(16，8) * 17 * 2]/C(18，9) = 9
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-9-19 12:59 PM 編輯 [/i]]
回復 43# 瓜農自足 的帖子
不是二項分配，但算法一樣。二項分配是"獨立"且相同分布的白努力隨機變數相加
而99高雄高中那題，則是"非獨立"且相同分布白努力隨機變數相加
回復 44# thepiano 的帖子
thepiano 兄的另解真酷，竟然走了 Fubini 定理的路子！
回復 45# tsusy 的帖子
p值還是揣測不出來，想說以Fubini 定理思考，卻也卡關了，想請教如何分類出機率值\( \displaystyle \frac{C(16，8) *17*2}{C(18,9)}=1\times{P(X=1)}+2\times{P(X=2)}+3\times{P(X=3)}+...+ 17\times{P(X=17)} \)或是說怎麼思考理解左式分子計數了2次\(n(X=2)\)
謝謝！(好笨一直理不清@@)
[[i] 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-21 06:01 PM 編輯 [/i]]
回復 46# 瓜農自足 的帖子
以下用符號的方式來解釋，不過顯然沒有比 thepiano 老師的文字說明還要清楚，只是單純賣弄一下符號而已以 \( \omega \) 表示一個樣本點(一條捷徑), \( n(\omega) = \sum \chi_i(\omega) \)
其中 \( \chi_i \) 為表示第 i 到 i+1 是否有轉彎的函數，有為 1，無為 0。
期望值 \( \sum n(\omega) P(\omega) = \frac{1}{C^{18}_9}\sum n(\omega) = \displaystyle \frac{1}{C^{18}_9} \sum_\omega \sum_i \chi_i(\omega)\)
交換兩個 \( \sum \) 的順序，就得到 thepiano 老師的式子
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-9-21 10:32 PM 編輯 [/i]]
回復 47# tsusy 的帖子
原來如此，非常謝謝寸絲師撥冗解決我的疑惑！十分欽佩。
[[i] 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-9-21 08:57 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-9-19 12:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=12007&ptid=1441][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
提供一下另解
轉彎的情形有 "→↑" 和 "↑→"
捷徑之走法相當於把 9 個 → 和 9 個 ↑ 排成一列的排法
"→↑" 可放的位置有 17 個，其餘的 8 個 → 和 8 個 ↑ 有 C(16，8) 種排法
同理，"↑→" 亦同
所求 = [C(16，8) * 17 ... [/quote]
理解成：
每一個走完 "→↑"(或 "↑→")後，單一個點 E(X)=p=C(16，8) /C(18，9)
不知是否正確？
回復 49# mathca 的帖子
沒有用到走"完"、"後"，走了之後就變成條件機率，後面的期望值就改變了，這樣會很難算 (還是我誤解你的文字了)用到的是期望值的線性性質，以 # 47 的記號來說，就是
\( E[n] = E[ \sum \chi_i ] = \sum E[\chi_i] = 17 E[\chi_1] = 17 \cdot \frac{2\times C^{16}_8}{C^{18}_9} \)
(忘了乘2，補上去)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2015-12-20 08:13 PM 編輯 [/i]]
回復 50# tsusy 的帖子
轉彎函數等於 1 或 0 可以理解(代表有轉彎則計數1)，至於17是從何而得的？代表什麼數？
轉彎函數的期望值，怎知是 C168/C189？==>這不是只有放一個轉彎後的上右方法數/總上右排列數？
回復 51# mathca 的帖子
我覺得我不太清楚你的思路，畢竟前面好幾帖都是討論這題。thepiano 老師的做法，和我的作法入手的點是不同，加上中間有的是解釋兩個解法間的關係。
#44 thepiano 老師的做法：計算所有路徑的所有轉彎數和
#47 我所寫，是先算每條轉彎數，再加起來 = 總轉彎數
和先算每個可能的點有幾路路徑轉紬，再加起來 = 總轉彎數
而 # 50 處，我看到你在 #49 樓用的"單一個期望值"的字眼，以為你要把個別期望值加起來，所以就回了期望值的做法了
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2021-4-20 21:12 編輯 [/i]]
回復 52# tsusy 的帖子
其實單獨兩種分開來看，我都看不太懂，所以才好像試圖用一種解釋另一種。或請再詳#50 中 i 從何取到17的，感謝。
[[i] 本帖最後由 mathca 於 2015-12-20 09:52 PM 編輯 [/i]]
回復 19# weiye 的帖子
想請教weiye老師&各位先進填充9的這結果真的很棒
印象 我看過一個文章
類似討論 m個黑球 n個白球
討論
當有1個黑球時 n個白球 求白球取完的期望次數
當有2個黑球時 n個白球 求白球取完的期望次數
一直討論到
當有m個黑球時 n個白球 求白球取完的期望次數
發現有等差性質 才去解一般的情況 得到漂亮的結果
不知是數學傳播還是其他老師們分享的文章（bee?
最近念到這題 想好好筆記一下 感謝
[[i] 本帖最後由 CyberCat 於 2016-1-13 09:19 PM 編輯 [/i]]
回復 54# CyberCat 的帖子
但 19 樓 weiye 老師的做法，已經適用於你說的 m 黑 n 白所以，好像也不需要補充任何東西了 不好意思
想請教各位老師
1. A 在方格的左下角，B 在方格的右上角，各有 9 個→與↑ ，求 A 到 B 走捷徑轉彎數之期望值。
以及
2.將 4 個球全部投入 3 個不同的袋子中，每次投一球，連續投 4 次，則空袋子個數的期望值 。
可否用weiye老師在第19篇分享的方法呢？
苦思很久 還是卡在這裡 煩請各位老師可以提示一下 感謝！
[[i] 本帖最後由 z78569 於 2019-4-7 17:58 編輯 [/i]]
回復 56# z78569 的帖子
提供其他看法 可能不是Z大想要的答案請見諒1.就是一個\(9\times 9\)的方格
隨便畫一條路線出來，容易算出有17個轉折點
無論你是在哪個轉折點(姑且設為A) 要在A點轉彎
勢必前一步和後一步方向不能一樣，即:左，上 或者 上，左
第一種左，上的情形要在A點轉彎之機率:\(\frac{9}{18}\times\frac{9}{17}\)
第二種上，左的情形要在A點轉彎之機率:\(\frac{9}{18}\times\frac{9}{17}\)
兩種情形加起來的機率為\(\frac{9}{17}\)
注意全部有17個轉彎處，所以轉彎期望值為\(\frac{9}{17}\times 9=9\)
2.姑且假設ABC三個袋子好了
一次的丟球中，A袋子是空的機率為\(\frac{2}{3}\)
所以連續四次的丟球裡面，A袋子是空的機率為\((\frac{2}{3})^{4}\)
當然B，C的情形也是如此 機率都相同
所以期望值為\((\frac{2}{3})^{4}\times 3\)
都是前人的想法 小弟只是換個方式用自己的話表達出來而已
獻醜了
[[i] 本帖最後由 satsuki931000 於 2019-4-7 21:31 編輯 [/i]]
回復 57# satsuki931000的帖子
非常感謝satsuki931000老師，您的分享非常清楚，收益良多！請教填充第2題
\(x,y\)是實數且\(x^2+xy+y^2=6\)，求\(x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\)得最大值\(M\),即最小值\(m\)令\(f(x,y)=x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\)
\(f_x(x,y)=0\)得到\(2xy+y^2-2x-2y+1=0\)
\(f_y(x,y)=0\)得到\(x^2+2xy-2x-2y+1=0\)
得到\(x=y\)或\(x=-y\)
(i)\(x=y\)得到\(y=\pm \sqrt{2}\)代入\(f(x,y)=x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\)得到\(\pm 6\sqrt{2}-8\)
(ii)\(x=-y\)得到\(f(x,y)=0\)
請問老師最大值3是如何得出的呢？
請教板上老師
填充2的最大值是3是怎麼得到的? 我的作法在附檔,可是只計算得出最小值-6根號2-8
回復 59# anyway13 的帖子
填充第 2 題在此討論串的第 3 頁，寸絲老師有提供解法
另外這題 101 南港高工也考過，可去該討論串找找