回復 19# weiye 的帖子
好方法！ 沒想到這招也可以用在這題上以下是一些類題
將 4 個球全部投入 3 個不同的袋子中，每次投一球，連續投 4 次，則空袋子個數的期望值 \( \underline{\qquad\qquad} \) 。 ([url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1013]99中興高中 填充17[/url])
一袋中有 m 個白球與 n 個黑球，個袋中一次取一球，取後不放回，直到取完所有白球為止，求所取球數的期望值。 ([url=http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48052]97大里高中 計算3[/url] 第17篇)
A 在方格的左下角，B 在方格的右上角，各有 9 個→與↑ ，求 A 到 B 走捷徑轉彎數之期望值。 ([url=https://math.pro/db/thread-957-1-4.html]99高雄高中 第1題[/url])
有 3 個「+ 」，4 個「- 」，排成一列。若一列中一個「+- 」或一個「-+ 」我們說：有一個「變號」。問 3 個「+ 」，4 個「- 」排成一列，變號個數的期望值？ ([url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948]99彰化女中 填充12[/url])
另外期望值線性疊加亦可在公平事件的機率問題使用，如以下：
有甲、乙、丙等 14 人出遊，欲住進兩間 4 人房、兩間 3 人房，問甲乙丙三人同房的機率為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。 ([url=https://math.pro/db/thread-980-1-7.html]99桃園高中 填充15[/url])
97中興高中填充9、[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948]99彰化女中 填充2[/url]、[url=https://math.pro/db/thread-981-1-7.html]99中正高中 填充 9[/url]
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-10-28 09:52 PM 編輯 [/i]]
回復 21# tsusy 的帖子
再補一個類題：袋中有 \(2008\) 顆球，分別編號為 \(1,2,3,\cdots,2008\)，設每球被取中的機率相同，今從袋中隨機取出三顆球，設三顆球之中編號最大者為 \(T\)，求 \(T\) 之期望值。 ([url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976]99屏東女中 第8題[/url]、[url=https://math.pro/db/thread-1344-1-3.html]97台中一中 第14題[/url]) 問題1. 請問如何用以上的想法來解
A 在方格的左下角，B 在方格的右上角，各有 9 個→與↑ ，求 A 到 B 走捷徑轉彎數之期望值。」這題.
問題2. 請問填充2除了旋轉,還有其他較簡潔的方法嗎?觀察出題目裡有出現x+y與xy,但接下來就不知如何下筆了.
煩請老師們解答,謝謝!
回復 23# vicky614 的帖子
99 高雄高中那題可考慮每 n 步是否有轉彎的機率為 \( p \)，易得 \( p = \frac{2\cdot9\cdot9}{18\cdot 17} \) (與 n 無關)
故所求 \( =17p = 9\)
填充 2. 另解(沒有比較簡潔) 注意兩個式子都是 x,y 的對稱多項式
處理對稱多項式常用的手法就是用基本對稱式表示之
令 \( \alpha =x+y, \beta= xy \) 則 x,y 為 \( t^2 - \alpha t+\beta = 0 \) 之兩實根
因此 \( \alpha^2-4\beta \geq 0 \) 又 \( \alpha^{2}-\beta=6 \) 可得 \( |\alpha|\leq2\sqrt{2} \)
而由 \( \alpha^{2}-\beta=6 \) 可將目標函數改為 \( g(\alpha)=\alpha^{3}-\alpha^{2}-5\alpha \)
微分得 \( g'(\alpha)=(3\alpha-5)(\alpha+1)\)
代入 critical point 得： \( g(2\sqrt{2})=6\sqrt{2}-8, g(- 2\sqrt{2})=-6\sqrt{2}-8, g(-1)=3, g(\frac{5}{3})=-\frac{175}{27} \)
故最大值為 3，最小值為 \( -6\sqrt{2}-8 \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2021-10-22 22:41 編輯 [/i]] 想請教證明4
為什麼對(h,k)做三條切線之對稱點(h,-k)(k+1,h-1)(-k-1,-h-1)
[b]則此三點皆在準線上[/b]?
感謝!
回復 25# idontnow90 的帖子
偷偷借一下老王老師在 [url]http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=2116&prev=2161&l=f&fid=30[/url] 的圖來說明~~~[attach]1480[/attach]
見上圖，自拋物線上一點 \(A\) 做切線 \(\overleftrightarrow{AE}\)（此切線交準線於 \(E\) 點），
自 \(A\) 往準線做垂線，得垂足 \(C\)，
設拋物線焦點 \(F\)，
由拋物線定義可得 \(\overline{AC}=\overline{AF}\)，
由光學性質可推得 \(\angle FAE=\angle CAE\)
再加上 \(\overline{AE}=\overline{AE}\)
可得 \(\triangle FAE\sim\triangle CAE\)
進而可推知 \(F,C\) 兩點會對稱於 \(\overleftrightarrow{AE}\)
亦即，將焦點對稱切線後，對稱點會落在準線上。 謝謝瑋岳老師...我弄懂了~ 想請教填充5
是用根與係數關係去湊嗎?感覺程開之後有點難湊ㄟ??能否給點提示嗎?感謝~
回復 28# idontnow90 的帖子
填充第五題：[url]https://math.pro/db/thread-164-1-1.html[/url]
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=13822 連結已失效 想請問一下計算第一題如何知道
最大周長出現在B在弧AC的中間點，
底下是我目前寫的
回復 30# 王保丹 的帖子
計算 1. 可以用正弦定理去表示 \( \overline{BC} \) 和 \( \overline{CD} \) 的長度，分別為 \( 2 \sin x, 2 \sin y \) 其中 \( x+y =60^\circ \)
再利用和差化積可得 \( \sin x + \sin y = 2\sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \)
其中 \( \sin \frac{x+y}{2} = \frac12 , \cos \frac{x-y}{2} \leq 1 \)
故得 \( x=y =30^\circ \) 時 \( \sin x + \sin y\) 有最大值
故得 \( \overline{BC} = \overline{CD} =1 \) 時有最大周長
回復 31# tsusy 的帖子
這個問題的一般情形就是在弧AC上取一點B，使得AB+BC最大。[color=Red]寸絲老師提供的方法非常好，請大家在考場要記得這樣寫。[/color]
[color=Red]以下有興趣的再看[/color]，這也是我要處理多邊形的等周定理時要用到的一部分。
證明B在中點為最大
另取非中點之點P，不妨假設AP>CP
連接AP和CP，過B作AP的垂線，令垂足為H，
由阿基米德折弦定理得到，H是折弦APC的中點，也就是 2AH=AP+CP
由於AB>AH
故 AB+BC>AP+CP
[[i] 本帖最後由 老王 於 2013-4-21 08:42 PM 編輯 [/i]]
回復 31# tsusy 的帖子
謝謝寸絲老師的解答我寫出來了
回復 29# weiye 的帖子
這是我跟興傑老師問到的解答提供另一種想法
[[i] 本帖最後由 王保丹 於 2013-4-21 09:08 PM 編輯 [/i]]
回復 34# 王保丹 的帖子
填 5. 誠如 weiye 老師在 29# 連結中所提到的，該式對於變數是反對稱 (交換，值變號)所以讓在下做一下傻事，把它平方，就會變成常數
\( (\alpha-\beta)^{2}(\beta-\gamma)^{2}(\gamma-\alpha)^{2}=\sum\alpha^{4}\beta^{2}-2\sum\alpha^{4}\beta\gamma-2\sum\alpha^{3}\beta^{3}+2\sum\alpha^{3}\beta^{2}\gamma-6\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2} \)
以上的記號上 \( \sum \) 裡是跑對稱項，如 \( \sum\alpha^{4}\beta^{2} = \alpha^4\beta^2+\alpha^4\gamma^2+\beta^4\alpha^2+\beta^4\gamma^2+\gamma^4\alpha^2+\gamma^4\beta^2 \) 有六項，\( \sum\alpha^{3}\beta^{3} \) 則有三項
接下來先計算 \( \alpha^n + \beta^n + \gamma^n \)，再利用這些值去表示各項
\( \alpha\beta\gamma=1 \)
\( \alpha+\beta+\gamma=0 \)
\( \alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=2 \)
\( \alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=\alpha+\beta+\gamma+3=3 \)
\( \alpha^{4}+\beta^{4}+\gamma^{4}=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}+\alpha+\beta+\gamma=2 \)
\( \alpha^{5}+\beta^{5}+\gamma^{5}=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}+\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=5 \)
\( \alpha^{6}+\beta^{6}+\gamma^{6}=\alpha^{4}+\beta^{4}+\gamma^{4}+\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=5 \)
\( \sum\alpha^{4}\sum\alpha^{2}=\sum\alpha^{6}+\sum\alpha^{4}\beta^{2}\Rightarrow\sum\alpha^{4}\beta^{2}=-1 \)
\( \sum\alpha^{4}\beta\gamma=\alpha\beta\gamma\sum\alpha^{3}=3 \)
\( (\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3})^{2}=\sum\alpha^{6}+2\sum\alpha^{3}\beta^{3}\Rightarrow\sum\alpha^{3}\beta^{3}=2 \)
\( \sum\alpha^{3}\beta^{2}\gamma=\alpha\beta\gamma\sum\alpha^{2}\beta \) ，
而 \( \sum\alpha^{2}\sum\alpha=\sum\alpha^{3}+\sum\alpha^{2}\beta\Rightarrow\alpha\beta\gamma\sum\alpha^{2}\beta=-3 \)
綜合以上有 \( \sum\alpha^{4}\beta^{2}-2\sum\alpha^{4}\beta\gamma-2\sum\alpha^{3}\beta^{3}+2\sum\alpha^{3}\beta^{2}\gamma-6\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2}=-1-6-4-6-6=-23 \)
因此所求 \( = \pm \sqrt{23} i \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-21 10:43 PM 編輯 [/i]]
回復 32# 老王 的帖子
為向老王老師致敬，再補一個證明，還有[color=Red]考試的時候不要這樣做[/color]如下圖：B, D 為 AC 優弧和劣弧上的中點，E 為 AC 劣優上之點且不為 A,D,C
試證 \( \overline{AD} + \overline{DC} > \overline{AE} + \overline{EC} \)
[attach]1619[/attach]
證. 圓內接四邊形中ABCD，由托勒密定理有 \( \overline{AC}\cdot\overline{BD} = \overline{AD}\cdot\overline{BC} + \overline{DC}\cdot\overline{AB} \)
(注意 \( \overline{BD} \) 為圓之直行，由面積亦可得此式)
其中 \( \overline{AB} = \overline{BC} \)，故可改寫為 \( \overline{AC}\cdot\overline{BD} = (\overline{AD} + \overline{DC})\cdot\overline{BC}\)
同理對圓內接四邊形 ABCE 亦有 \( \overline{AC}\cdot\overline{BE} = (\overline{AE} + \overline{EC})\cdot\overline{BC}\)
因 \( \overline{BD} \) 為直徑，故 \( \overline{BD} > \overline{BE} \)
再以上式比較托勒密所得之二式，即可得 \( \overline{AD} + \overline{DC} > \overline{AE} + \overline{EC} \)
回復 36# tsusy 的帖子
用餘弦定理應該也可以...借用寸絲老師的圖，令AD=DC=d，AE=a，EC=b，AC=x，
則有 \(\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos E=x^2=d^2+d^2-2dd\cos D\)
整理得 \(\displaystyle \frac{a^2+b^2-2d^2}{2ab-2d^2}=\cos E\)
(其中因為D到AC的距離比E到AC的距離大，所以a(ADC)>a(AEC)，\(d^2>ab\)，分母沒有問題)
推得 \(\displaystyle (\frac{a^2+b^2-2d^2}{2ab-2d^2})^2<1\)
\(\displaystyle (a^2+b^2-2d^2)^2<(2ab-2d^2)^2\)
\(\displaystyle ((a+b)^2-4d^2)(a-b)^2<0\)
\(\displaystyle (a+b)^2-4d^2<0\)
因此 \(\displaystyle a+b<2d\)
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-21 11:58 PM 編輯 [/i]]
回復 35# tsusy 的帖子
寸絲老師。你算式中三根次方和，三次，四次，五次，六次。怎麼求得的
回復 38# shingjay176 的帖子
利用 \( \alpha, \beta, \gamma \) 滿足三次式 \( x^3 -x - 1 = 0 \)因此有 \( \alpha^{n+3} = \alpha^{n+1} + \alpha^{n} \), \( \beta, \gamma \) 亦同
故有遞迴關係 \( \sum \alpha^{n+3} = \sum \alpha^{n+1} + \sum \alpha^n \)
以此遞迴式計算之 35# 所列之式子 關於填充五，寫一個從以前同事那邊偷學到的方法
可以看出這是凡得夢行列式(可能差個符號)，所以考慮矩陣
\(\displaystyle A=\left( \begin{array}{ccc}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2 \end{array} \right) \)
所求 \( (a-b)(b-c)(c-a)=det(A) \)
又 \( det(A)=det(A^T) \)
考慮
\(\displaystyle A^TA=\left( \begin{array}{ccc}
3 & a+b+c & a^2+b^2+c^2 \\
a+b+c & a^2+b^2+c^2 & a^3+b^3+c^3 \\
a^2+b^2+c^2 & a^3+b^3+c^3 & a^4+b^4+c^4 \end{array} \right) \)
所以
\(\displaystyle ((a-b)(b-c)(c-a))^2=det(A^TA)=\left| \begin{array}{ccc}
3 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 2 \end{array} \right|=-23 \)
故 \(\displaystyle (a-b)(b-c)(c-a)=\pm \sqrt{23}i \)
[[i] 本帖最後由 老王 於 2013-4-22 07:18 PM 編輯 [/i]]