圓\(C\)：\(x^2+y^2-24x-28y-36=0\)內有一點\(Q(4,2)\)，過\(Q\)做直角三角形\(AQB\)交圓於 \(A\)、\(B\)兩點，且\(\angle AQB=90^{\circ}\)，若\(\overline{AB}\)的中點為\(P\)，則\(P\)的軌跡方程式為[u] [/u]。
[解答]
[size=3](提供一個不用"神來之筆"的想法)[/size]
[size=3]構想: 分析 P 滿足的條件 → 分析 P 的充要條件 → 得到 P 的軌跡方程式[/size]
[size=3]由 P 是直角三角形的斜邊中點，聯想到: [/size][size=3][color=blue]△ABC 中，M 為 BC 中點，則: AM = BM ⇔∠A = 90°[/color][/size]
[size=3]因此，P(x ,y) 的充要條件為:[/size]
[size=3]PQ = (以 P 為中點的弦長) / 2[/size]
[size=3]⇔ PQ² = - (P 對圓 C的冪) [ 引用 "冪" 只是為了簡化計算，並非必要。逕用畢氏定理亦可。][/size]
[size=3]⇔ (x - 4)² + (y - 2)² = - (x² + y² - 24x - 28y - 36) [/size] [size=3] [ 圓的平方項係數 = 1 時，"代入" 即得 "冪" ][/size]
[size=3][/size]
[size=3]⇔[color=black] [/color][color=red] x² + y² - 16x - 16y - 8 = 0[/color][/size] 填充題 8.
多選題的每題有四個選項，其中至少有一個是正確的。所有選項均答對者得 8 分，恰答錯一個選項者得 4 分，其餘情形皆算 0 分。若小綠此題有作答 (且為隨意亂猜)，則她此題得分的期望值為? 答: 344/225
[解答]
[size=3]易知所有選項均答對機率 = 1/15，以下只考慮恰答錯一個選項的機率 P。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法一: 用古典機率 (基本上與 12 樓 Tsusy 老師的方法相同)[/size]
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[size=3]母群體為: [/size][size=3](2⁴-1)² = 225[/size]
[size=3][/size]
[size=3]恰錯一個選項的方法數: 選出"錯的選項"後，每個選項皆有 2 種情形; 再扣掉有"空集合"的情況 = C(4,1)*2⁴ - 2*4 = 56[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故 P = 56/225[/size]
[size=3][/size]
[size=3](ps. 本題若無 "至少有一個選項是正確的" 這個破壞規律的附加條件，則母群體可用 [size=3]2⁴ = 16)[/size][/size]
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[size=3][/size]
[size=3]想法二:[/size] [size=3]以"選項"為主角思考[/size]
[size=3][/size]
[size=3]分析: 15 個可能的答案組合中，含有某特定選項的有 2³ = 8 個 ([color=blue]某選項的出現率 = 8/15[/color])。在前述 8 個組合中，[color=red]含或不含另一特定選項者各占其半[/color]。例: n(有a) = 8 ，而[/size][size=3] n(有a有c) = n(有a無c) = 4。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]P =15 個可能的答案組合隨機 (可重複地) 取 2 次，恰有一個選項不一致的機率: 選出 "不一致" 的選項後，其它任一選項 "一致" 的機率皆為 1/2 (依據上文紅字所述)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]故 P = C(4,1)*[color=blue]2*(8/15)*(7/15)[/color]*(1/2)³ = 56/225 (藍字部分為"某選項不一致的機率")[/size]
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