101國立陽明高中
方便請教填充4 填充8嗎?回復 1# m4su6 的帖子
第四題在棋盤格街道走法中，取走捷徑的情況下，從左下角的\(A\)走到右上角的\(B\)，途中恰轉彎五次，則總走法數為[u] [/u]。
[提示]
慢慢數應該OK吧，而且題目的圖形對稱，所以先算向右的，再乘以 \( 2 \) 就可以。
第八題
兩個二次函數\(f(x)\)與\(g(x)\)，若\(g(x)=-f(100-x)\)且函數\(g(x)\)的圖形包含函數\(f(x)\)圖形的頂點。兩個函數圖形與\(x\)軸交點的\(x\)坐標按照遞增依序為\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)及\(x_4\)，且\(x_3-x_2=150\)。設\(x_4-x_1=p+q\sqrt{r}\)，其中\(p\)、\(q\)及\(r\)均為正整數，且\(r\)不能被任何質數的平方整除。試求\(p-q-r=\)[u] [/u]。
[解答]
(一看就覺得是ARML的型式)
\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 對稱於 \( (50,0) \) ，開口大小相同方向相反。
不妨平移至對稱點為原點，那麼 \( x_1,x_2,x_3,x_4 \) 是兩組對稱於原點的點；
又由題意知 \( x_1,x_4 \) 、 \( x_2,x_3 \) 為對稱於原點，否則頂點不會在對方的圖形上，
所以知道 \( x_2=-75,x_3=75 \) 。
假設 \( x_1=-t,x_4=t \)
兩多項式為 \( f(x)=a(x+t)(x-75) , g(x)=-a(x+75)(x-t) \)
以 \( f(x) \) 的頂點 \( x=\frac{75-t}{2} \) 代入會有相同的函數值，(方便起見將 \( 75=k \) )
\(\displaystyle a(\frac{k-t}{2}+t)(\frac{k-t}{2}-k)=-a(\frac{k-t}{2}+k)(\frac{k-t}{2}-t) \)
\(\displaystyle (k+t)(-k-t)=-(3k-t)(k-3t) \)
\(\displaystyle k^2+2kt+t^2=3k^2-10kt+3t^2 \)
\(\displaystyle t^2-6kt+k^2=0 \)
\(\displaystyle t=3k+\sqrt{8k^2}=3k+2k\sqrt{2}=225+150\sqrt{2} \) 因為 \(\displaystyle 3k-2k\sqrt{2} < k \) 不合。
所以 \(\displaystyle x_4-x_1=2t=450+300\sqrt{2} \)
話說第六題和第七題，跟昨天學生拿參考書的題目來問的題目一樣。 1.
在矩形ABCD中，若\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=2 \sqrt{3} \)，過\( \overline{AC} \)的中點O作\( \overline{EF} \perp \overline{AC} \)交\( \overline{AD} \)於E、交\( \overline{BC} \)於F，將平面ABFE沿\( \overline{EF} \)摺起，使得平面ABFE垂直平面CDEF，求此時\( cos∠BFC= \)？
設有一張長方形的紙ABCD，已知\( \overline{AB}=8 \)，\( \overline{BC}=4 \)，通過對角線\( \overline{BD} \)的中點M且垂直於\( \overline{BD} \)的直線分別交\( \overline{AB} \)與\( \overline{CD} \)於E、F兩點，當以\( \overline{EF} \)為折線把紙ABCD折起來，使得平面AEFD垂直於平面EBCF，此時若\( ∠CFD=\theta \)，\( 0<\theta<\pi \)，則\( cos \theta= \)？
(100學年度北區第二次模擬考數甲，[url=http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA660.swf]http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA660.swf[/url])
解答
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid5066]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=567&page=1#pid5066[/url]
5.
由邊長為1的正三角形堆疊n層，試問邊長為6時(即\( a_6 \) )，所有大大小小之平行四邊形總數為
102.3.28補充
有多少個平行四邊形？
[url]http://books.google.com.tw/books?id=gFo4LJmSe6gC&lpg=PA103&ots=372C_73onw&dq=the%20eternal%20triangle%20a%20history%20of%20a%20counting%20problem&hl=zh-TW&pg=PA83#v=onepage&q&f=false[/url]
102.4.23補充
The sides of an equilateral triangle ABC are divided into n equal parts ( \( n \ge 2 \) ). For each point on a side, we draw the lines parallel to other sides of the triangle ABC, e.g. for \( n=3 \) we have the following diagram:
[img]http://cache.artofproblemsolving.com/asyforum/1/3/2/132d91e2ef487d38d22c09dbc09c53a9d3c0227a.png[/img]
For each \( n \ge 2 \) find the number of existing parallelograms.
(Canada National Olympiad 1991，[url]https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1991.pdf[/url])
110.5.3補充
設\(\overline{AB}\)為圓\(x^2+y^2=37\)的一弦，若點\(P(1,2)\)在\(\overline{AB}\)上，且為\(\overline{AB}\)的三等分點之一，試求直線\(AB\)的方程式[u] [/u]。
(110彰化女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3514&page=1#pid22759[/url]) 想請教填充第2,3,6題,謝謝
回復 4# 阿光 的帖子
給點想法，填充 2. 畫折線圖，沒意外，斜率就是 \( 1, 3 \) 跳來跳去而已
眼花了...懶憜不動筆...結果是斜率看錯了是 \( 1, -1 \) 才對
填充 3. 廣義柯西不等式，湊一下
填充 6. 分子是排同計算錯排，分母也是排容很像錯排 謝謝tsusy老師的提示,填充 2. 畫折線圖，斜率就是 1與-1 跳來跳去
想再請教填充第5,6題,謝謝 填充第6題還是搞不懂,想再請教一下,謝謝 [quote]原帖由 [i]阿光[/i] 於 2012-6-27 08:10 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6650&ptid=1433][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第6題還是搞不懂,想再請教一下,謝謝 [/quote]
甲、乙、丙、丁、戊五位男生一起參加舞會，正巧遇到四位女姓朋友，第一支舞先由乙、丙、丁、戊四位男生各邀一位女伴共舞(即甲沒舞伴)，第二支舞五位男生商議以抽籤決定女伴，但規定每位男生都不可以跟第一支舞相同舞伴(若相同則重抽)，請問：第二支舞甲又沒有抽中舞伴的機率為何[u] [/u]。
[解答]
分子=乙丙丁戊等4人錯排=4!-4x3!+6x2!-4x1!+0!=9
分母要分2種情形:
沒有甲,即=分子=9
有甲及另外3人-->C(4,3)
此時再分2種情況:
1)甲的舞伴就是沒有抽籤中的那個男生的舞伴:此時就是3人錯排=3!-3x2!+3x1!-0!=2
2)甲的舞伴是中籤那3個男生原先任1人的舞伴C(3,1),剩下那3個男生,去選舞伴,但有2人不可以
和第1輪的舞伴一樣3!-2x2!+1! 所以 C(3,1)x(3!-2x2!+1!)=9
共有2+9=11
所以C(4,3)x11=44
即分母=9+44=53
機率=9/53
回復 8# youngchi 的帖子
填充 6.甲、乙、丙、丁、戊五位男生一起參加舞會，正巧遇到四位女姓朋友，第一支舞先由乙、丙、丁、戊四位男生各邀一位女伴共舞(即甲沒舞伴)，第二支舞五位男生商議以抽籤決定女伴，但規定每位男生都不可以跟第一支舞相同舞伴(若相同則重抽)，請問：第二支舞甲又沒有抽中舞伴的機率為何[u] [/u]。
[解答]
提供另外一個計算分母的方法，
把空氣當作第五位舞伴，那麼可分成兩種情形 (1)甲仍然和空氣跳舞 (2) 甲不和空氣跳舞
(1) 之情況即乙丙丁戊 4人錯排，同子為 9
(2) 之情況即 5 人錯排 \( 5! - 5\cdot 4!+10\cdot 3!-10\cdot 2!\cdot 5-1 =44 \) 填充6
甲、乙、丙、丁、戊五位男生一起參加舞會，正巧遇到四位女姓朋友，第一支舞先由乙、丙、丁、戊四位男生各邀一位女伴共舞(即甲沒舞伴)，第二支舞五位男生商議以抽籤決定女伴，但規定每位男生都不可以跟第一支舞相同舞伴(若相同則重抽)，請問：第二支舞甲又沒有 抽中舞伴的機率為何[u] [/u]。
[解答]
分母部分就是 \( 5 \) 個人中有 \( 4 \) 個限制的錯排，
\( 5!-4 \cdot 4!+6 \cdot 3!-4 \cdot 2!+1 \cdot 1!=120-96+36-8+1=53 \) Sorry
請問[填充3]廣義柯西要如何湊數字呢?
還是想不出來如何組合 填充第 3 題
設\(x\)、\(y\)、\(z\)均為正數，且\(36x+9y+4z=49\)，求\(\root 3\of x+\root 3\of{y+7}+\root 3\of{z+26}\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
參考一下
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=1357&sid=a323436915e1c518976b9cb6ddfa8c9e[/url]
回復 12# thepiano 的帖子
數字組合的想法是來自於[4,9]=36的關係嗎?謝謝您提供的解法 填充4慢慢數我一下就亂掉了
不知道有沒有可以分開討論的辦法
找到美夢成真 thepiano 的解了
不容易阿...
回復 2# 老王 的帖子
第七題，只能慢慢討論是嗎？我目前只想到慢慢討論各種情況。 填充第 7 題下表為某冷飲店的價目表，王老師前往買飲料時正巧遇到「買五送一」活動，即一次帶走六杯，價錢最低的其中一杯免費；若王老師花了 110 元買了六杯飲料(買五送一)，請問這六杯飲枓的口味有[u] [/u]不同的選擇。
每杯20元：綠茶、紅茶
每杯25元：芋香奶茶、梅子綠茶、杏仁奶茶、布丁奶茶
每杯30元：珍珠椰果綠茶、珍珠椰果奶茶
[解答]
若送的那杯是 30 元的，那要花 150元
若送的那杯是 25 元的，那最少要花 25 * 5 = 125 元
故送的那杯是 20 元的
30x + 25y + 20z = 110 + 20
6x + 5y + 4z = 26
又 x + y + z = 6 (x，y，z 是非負整數)
由 y 必為 0 或 2 或 4
很快可找到 (x，y，z) = (1，0，5) or (0，2，4)
所求 = 2 * 6 + 10 * 5 = 62
回復 15# shingjay176 的帖子
我的做法跟鋼琴老師一樣。 請問填充第三題的廣義柯西該如何配。謝謝回復 18# leo790124 的帖子
填充第 3 題thepiano 老師已解 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2868#p8091[/url] [quote]原帖由 [i]cellistlu[/i] 於 2013-4-9 20:07 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7698&ptid=1433][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
Sorry
請問[填充3]廣義柯西要如何湊數字呢?
還是想不出來如何組合 [/quote]
3.
設\(x\)、\(y\)、\(z\)均為正數，且\(36x+9y+4z=49\)，求\(\root 3 \of{x}+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26}\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
根據廣義的柯西不等式\(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3 \ge 0\)都是非負實數
則必\( (a_1^3+a_2^3+a_3^3)(b_1^3+b_2^3+b_3^3)(c_1^3+c_2^3+c_3^3)\ge (a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+a_3b_3c_3)^3 \)
僅當\(a_1:b_1:c_1=a_2:b_2:c_2=a_3:b_3:c_3=\root 3 \of A:\root 3 \of B:\root 3 \of C\)時等號成立
其中\(a_1^3+a_2^3+a_3^3=A\)，\(b_1^3+b_2^3+b_3^3=B\)，\(c_1^3+c_2^3+c_3^3=C\)。
[url]http://www3.cnsh.mlc.edu.tw/~math/absolute-inequality/%20absolute%20inequality_3-2-2_.pdf[/url]
\( \displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)] \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right)\ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3 \)
thepiano的係數\( \displaystyle \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right) \)就是從等號成立時的條件找出來的
假設原來係數不知道
\( \displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)] (b_1^3+b_2^3+b_3^3) (c_1^3+c_2^3+c_3^3) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3 \)
\( \root 3 \of{36x}\cdot b_1 \cdot c_1=\root 3 \of x \)，得到\( \displaystyle b_1 \cdot c_1=\frac{1}{\root 3 \of{36}} \)…(1)
\( \root 3 \of{9(y+7)}\cdot b_2 \cdot c_2=\root 3 \of {y+7} \)，得到\( \displaystyle b_2 \cdot c_2=\frac{1}{\root 3 \of 9} \)…(2)
\( \root 3 \of{4(z+26)}\cdot b_3 \cdot c_3=\root 3 \of {z+26} \)，得到\( \displaystyle b_3 \cdot c_3=\frac{1}{\root 3 \of 4} \)…(3)
等號成立時
\( \root 3 \of{36x}:b_1:c_1 = \root 3 \of{9(y+7)}:b_2:c_2 = \root 3 \of{4(z+26)}:b_3:c_3=\root 3 \of{216}:\root 3 \of{b_1^3+b_2^3+b_2^3}:\root 3 \of{c_1^3+c_2^3+c_2^3} \)…(4)
利用(1)(2)(3)式替換
\( \displaystyle \root 3 \of{36x}:\frac{1}{\root 3 \of{36}c_1}:c_1 =\root 3 \of{9(y+7)}:\frac{1}{\root 3 \of{9}c_2}:c_2 =\root 3 \of{4(z+26)}:\frac{1}{\root 3 \of{4}c_3}:c_3 \)
\( \displaystyle \frac{\root 3 \of{36x}}{c_1}:\frac{1}{\root 3 \of{36}c_1^2}:1 =\frac{\root 3 \of{9(y+7)}}{c_2}:\frac{1}{\root 3 \of{9}c_2^2}:1 =\frac{\root 3 \of{4(z+26)}}{c_3}:\frac{1}{\root 3 \of{4}c_3^2}:1 \)
\( \displaystyle \frac{1}{\root 3 \of{36}c_1^2}=\frac{1}{\root 3 \of{9}c_2^2}=\frac{1}{\root 3 \of{4}c_3^2}=t^2 \)
\( \displaystyle c_1=\frac{1}{\root 3 \of 6 t} \)，\( \displaystyle c_2=\frac{1}{\root 3 \of 3 t} \)，\( \displaystyle c_3=\frac{1}{\root 3 \of 2 t} \)
利用(1)(2)(3)式替換
\( \displaystyle b_1=\frac{t}{\root 3 \of 6} \)，\( \displaystyle b_2=\frac{t}{\root 3 \of 3} \)，\( \displaystyle b_3=\frac{t}{\root 3 \of 2} \)，
代入(4)式
\( \displaystyle \root 3 \of{36x}:\frac{t}{\root 3 \of 6}:\frac{1}{\root 3 \of 6 t} = \root 3 \of{9(y+7)}:\frac{t}{\root 3 \of 3}:\frac{1}{\root 3 \of 3 t} = \root 3 \of{4(z+26)}:\frac{t}{\root 3 \of 2}:\frac{1}{\root 3 \of 2 t}=\root 3 \of{216}:\root 3 \of{\frac{t^3}{6}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2}}:\root 3 \of{\frac{1}{6t^3}+\frac{1}{3t^3}+\frac{1}{2t^3}} \)
\( \displaystyle \root 3 \of{216x}:t:\frac{1}{t}=\root 3 \of{27(y+7)}:t:\frac{1}{t}=\root 3 \of{8(z+26)}:t:\frac{1}{t}=6:t:\frac{1}{t} \)
\( \root 3 \of{216x}=6 \)，得到\(x=1\)
\( \root 3 \of{27(y+7)}=6 \)，得到\(y=1\)
\( \root 3 \of{8(z+26)}=6 \)，得到\(z=1\)
取\( \displaystyle t=\root 3 \of{\frac{3}{2}} \)
\( \displaystyle b_1=\root 3 \of{\frac{1}{4}},b_2=\root 3 \of{\frac{2}{4}},b_3=\root 3 \of{\frac{3}{4}} \)，\( \displaystyle c_1=\root 3 \of{\frac{1}{9}},c_2=\root 3 \of{\frac{2}{9}},c_3=\root 3 \of{\frac{3}{9}} \)
就是thepiano的係數\( \displaystyle \left( \frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4} \right)\left( \frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{3}{9} \right) \)
或者取\( t=1 \)
\( \displaystyle b_1=\root 3 \of{\frac{1}{6}},b_2=\root 3 \of{\frac{1}{3}},b_3=\root 3 \of{\frac{1}{2}} \)，\( \displaystyle c_1=\root 3 \of{\frac{1}{6}},c_2=\root 3 \of{\frac{1}{3}},c_3=\root 3 \of{\frac{1}{2}} \)
係數就變成\( \displaystyle \left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} \right) \)
但無論\(t\)值為多少
\( \displaystyle [36x+9(y+7)+4(z+26)]\left( \frac{t^3}{6}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2} \right)\left( \frac{1}{6t^3}+\frac{1}{3t^3}+\frac{1}{2t^3} \right) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3 \)
\( \displaystyle [216](t^3)\left( \frac{1}{t^3} \right) \ge (\root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26})^3 \)
\( 6 \ge \root 3 \of x+\root 3 \of{y+7}+\root 3 \of{z+26} \)
最大值都是6
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