101松山家商
如題請享用 不好意思,想請教填充5 , 8 , 9 (印象中第8題好像哪裡看過...)
回復 2# bombwemg 的帖子
第5題設\(x,y\)均大於0，則聯立方程組\(\cases{\displaystyle \frac{4x+3y-6}{4x+3y}=\frac{2}{\sqrt{x}}\cr \frac{4x+3y+6}{4x+3y}=\frac{4}{\sqrt{y}}}\)之解\((x,y)\)為[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle z=\frac{6}{4x+3y} \)
\(\displaystyle \frac{4}{x}=1-2z+z^2 \)
\(\displaystyle \frac{16}{y}=1+2z+z^2 \)
\(\displaystyle \frac{16}{y}-\frac{4}{x}=4z \)
\(\displaystyle \frac{4x-y}{xy}=\frac{6}{4x+3y} \)
\(\displaystyle 16x^2+8xy-3y^2=6xy \)
\(\displaystyle (8x-3y)(2x+y)=0 \)
\(\displaystyle 8x=3y \)
\(\displaystyle 1-\frac{6}{12x}=\frac{2}{\sqrt x} \)
\(\displaystyle 2x-4\sqrt x-1=0 \)
\(\displaystyle \sqrt x=\frac{2+\sqrt6}{2} \)
\(\displaystyle x=\frac{5+2\sqrt6}{2} \)
\(\displaystyle y=\frac{20+8\sqrt6}{3} \)
第8題
令\(\Delta ABC\)的外心為\(O\)，垂心為\(H\)。若\(\Delta ABC\)的外接圓半徑為3，\(∠A=60^{\circ}\)，\(∠B=45^{\circ}\)，則\(\overline{OH}^2\)之值為[u] [/u]。
[解答]
由尤拉線性質知道
\(\displaystyle \vec{OH}=3\vec{OG}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC} \)
然後就平方計算
回復 3# 老王 的帖子
謝謝老王,原來是尤拉線!回復 2# bombwemg 的帖子
第九題h ttp://project.hgsh.hc.edu.tw/DataBase/169.pdf(連結已失效) 不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝 [quote]原帖由 [i]jmfeng2001[/i] 於 2012-6-20 08:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6520&ptid=1425][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不好意思...
想請問計算證明第三題...
是否是用數學歸納法...
但是...最後一步...想不出來...
想請教各位先進
謝謝 [/quote]
計算三：
已知\( a_0=1 \)，且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \)，其中\( n \)為任意正整數。試證：\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \)，\( n \in N \)。
[解答]
我的方法參考看看 (我算了我總分扣填充題的得分,發現我這題應該有拿到分數)
\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
[color=red]＜[/color]處，需再證：\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分，即可證明
第2,3,4題
填充第二題：設\( \displaystyle f(x)=\frac{1+x}{1-3x} \)。令\( f_1(x)=f(f(x)) \)，且\( f_n(x)=f(f_{n-1}(x)) \)，\( n \ge 2 \)且\( n \in N \)，則\( f_{2012}(2012) \)之值為[u] [/u]。
[解答]
\( \displaystyle f_1(x)=\frac{1+f(x)}{1-3f(x)}=\frac{1-x}{-1-3x} \)，\( \displaystyle f_2(x)=\frac{1+f_1(x)}{1-3f_1(x)}=x \)，\( \displaystyle f_3(x)=\frac{1+f_2(x)}{1-3f_2(x)}=f(x) \)，…
每三個一循環，故\( f_{2012}(x)=f_2(x)=x \)
填充第三題：
若\( z \)為複數，\( \displaystyle arg(z^2-8)=\frac{5 \pi}{6} \)，\( \displaystyle arg(z^2+8)=\frac{\pi}{8} \)，則\( z \)之值為[u] [/u]。
[解答]
\( z^2+8=(a+bi)^2+8=8(cos 60^\circ+i sin 60^\circ) \) 即可解出\( z \)
[attach]2610[/attach]
填充第四題：
在袋中有紅球、白球各100個，每次從中取出一個球，若為紅球即得1分，白球不計分，滿足下列任一條件即停止：(1)得分達5分，(2)取出球數達10個。試問取球過程會出現幾種不同的方法？[u] [/u]。
[解答]
(5紅)+(球數達10顆)\( =[C_4^4+C_4^5+C_4^6+C_4^7+C_4^8+C_4^9]+[C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}+C_4^{10}]=638 \)
我想問第1題
有高手可以幫忙解答第一題嗎? orz 1.\( \matrix{& & & & 1 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & & \cr
& & 5 & & 6 & & 5 & & \cr
& 7 & & 11 & & 11 & & 7 & \cr
9 & & 18 & & 22 & & 18 & & 9} \)
如右圖所示，令第i行第k個數字為\( f(i,k) \)，此圖中之規則為\( f(i,1)=2i-1=f(i,i) \)，且\( f(i,k)=f(i-1,k-1)+f(i-1,k) \)，其中\( 2 \le k \le i-1 \)。則\( f(i,3) \)之值為？
[解答]
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
-3 & & 0 & & 2 & & 5 & & 11 & & 22 & & 40 \cr
& 3 & & 2 & & 3 & & 6 & & 11 & & 18 & \cr
& & -1 & & 1 & & 3 & & 5 & & 7 & & \cr
& & & 2 & & 2 & & 2 & & 2 & } \)
\( f(n)=-3 \times C_0^n+3 \times C_1^n-1 \times C_2^n+2 \times C_3^n \)
我的教甄準備之路 找出圖形的規律 有更多類題
[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274[/url]
6.
已知\( n \in N \)，且n為6的倍數，則\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_n^n \)之值為
求\( C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3m-3}^n+C_{3m}^n \)，其中\( 3m \)是不大於n的最大的3的倍數
神奇的複數 如何利用複數解中學數學難題P24
\( \displaystyle \frac{1}{3}(2^n+2cos\frac{n \pi}{3}) \)
觀察\( \displaystyle C_0^n+C_1^n+...+C_n^n=(C_0^n+C_3^n+C_6^n+...)+(C_1^n+C_4^n+...)+(C_2^n+C_5^n+...) \)
令\( \displaystyle A=C_0^n+C_3^n+C_6^n+...+C_{3k}^{3k} \)，\( \displaystyle B=C_1^{3k}+C_4^{3k}+...+C_{3k-2}^{3k} \)，\( k \in N \)
(1)比較A與B的大小關係。
(2)計算A值。
(100桃園縣現職教師高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-1106-1-1.html[/url])
計算與證明題
1.
設\( a>b>0 \)，則橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \)之內接三角形面積最大値為何？試證之。
老王的夢田
橢圓內接面積最大三角形(上)，[url]https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122072[/url]
橢圓內接面積最大三角形(下)，[url]https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122069[/url]
想請問填充9
底數不是很漂亮請問此題如何拆解?
謝謝 [quote]原帖由 [i]WAYNE10000[/i] 於 2012-6-24 09:39 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6575&ptid=1425][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
底數不是很漂亮
請問此題如何拆解?
謝謝 [/quote]
填充9.
不等式\(log_{14}(\sqrt{x}+\root 3\of x+\root 6 \of x)>log_{64}x\)之解集合為[u] [/u]。
[解答]
這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式<=>
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0<k^3+k^2+k<14 且0<k<2 (why? 請想一下)
才會符合不等式的解
解出0<k<2
所以0<x<64 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-6-24 10:24 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6577&ptid=1425][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0 [/quote]
Ellipse老師妳好
您這做法很漂亮
我剛想了一下
若直接用14與64為底
由圖形結構來看
不等式恆成立時
x>64, 好像也成立
不知我哪裡疏忽,或是我沒弄懂你上面所做的
打擾一下
謝謝
[[i] 本帖最後由 arend 於 2012-6-26 12:32 AM 編輯 [/i]]
回復 12# Ellipse 的帖子
填充 9.不等式\(log_{14}(\sqrt{x}+\root 3\of x+\root 6 \of x)>log_{64}x\)之解集合為[u] [/u]。
[解答]
這題之前也卡住了，樓樓上的橢圓兄似有妙招
來個比較笨的方法，磨它一下
令 \( x=k^{6}, t=\log_{2}7 \)，可化簡成 \( \ln(1+k+k^{2})>\ln k^{t}\Leftrightarrow k^{2}+k+1-k^{t}>0 \) 且 \( k>0 \)
\( f(k)=k^{2}+k+1-k^{t}, f(0)=f(2)=0 \),
\( f'(k)=2k+1-tk^{t-1}, f'(0)=1 \), 注意 \( t=\log_{2}7>2 \)。
所以 \( f'(k) \) 在 \( [0,\infty) \)，是有對像開口向下的拋物線，且與 \( x \) 軸有唯一交點 \( x=s \)。
\( \Rightarrow f'(x)>0 \) on \( [0,s) \), \( f'(x)<0 \) on \( (s,\infty)\Rightarrow f \) 在 \( [0,\infty) \) 先遞增至 \( x=s \) 處，之後遞減。
又 \( f(0)=f(2)=0 \)，所以 \( f(x)=\begin{cases}
+ & ,\, x\in(0,2)\\
- & ,\, x>2\end{cases} \)
因此，其解為 \( (0,2) \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-25 11:20 AM 編輯 [/i]] 第9題
不等式\(log_{14}(\sqrt{x}+\root 3\of x+\root 6 \of x)>log_{64}x\)之解集合為[u] [/u]。
[解答]
令 \(\displaystyle \sqrt[6]{x}=k \)
原式整理成
\(\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k \)
再假設 \(\displaystyle \log_2 k=y, \Rightarrow k=2^y \)
又可整理成
\(\displaystyle \log_{14}(2^y+4^y+8^y) > y \)
\(\displaystyle 2^y+4^y+8^y > 14^y \)
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > 1 \)
當 \( y=1 \) 時，\(\displaystyle \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7} = 1 \)
所以當 \(\displaystyle y > 1 \) 時，
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y < \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
當 \(\displaystyle y < 1 \) 時，
\(\displaystyle (\frac{1}{7})^y+(\frac{2}{7})^y+(\frac{4}{7})^y > \frac{1}{7}+\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=1 \)
所以解為 \(\displaystyle y < 1 \)
即 \(\displaystyle 0 < k < 2 \)
\(\displaystyle 0 < x < 64 \) [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-7-1 08:31 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6736&ptid=1425][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第9題
令 \(\displaystyle \sqrt[6]{x}=k \)
原式整理成
\(\displaystyle \log_{14}(k+k^2+k^3) > \log_2 k \)
再假設 \(\displaystyle \log_2 k=y, \Rightarrow k=2^y \)
又可整理成... [/quote]
感謝王老師提供這個解法
回復 12# Ellipse 的帖子
我也想知道可以請橢圓老師講解詳細點嗎?
關於圖形,謝謝 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-6-24 10:24 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6577&ptid=1425][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這題表面上看起來不好解
其實是在考圖形觀念
令x=k^6
原式
Log (14,k^3+k^2+k) > Log (64,k^6)=Log(2,k)
只有當0 [/quote]
1.請問ellipse老師，填充第9題要怎麼用圖形看呢？想了很久還是不知道。
2.請問計算題的2和3要怎麼證明呢？3之前有人貼解法，看不太懂。 [quote]原帖由 [i]casanova[/i] 於 2012-12-6 10:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=7337&ptid=1425][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
1.請問ellipse老師，填充第9題要怎麼用圖形看呢？想了很久還是不知道。
[/quote]
(以下是thepiano老師的說明)
log(14，k^3 + k^2 + k) 和 log(2，k) 在 (2，1) 相交
所以在 0＜k＜2 和 k＞2 這兩個區間，兩者之間的大小關係必相反
k = 1
log(14，k^3 + k^2 + k) = log(14，3) ＞ 0
log(2，k) = 0
故 0 ＜ k ＜ 2，log(14，k^3 + k^2 + k) ＞ log(2，k)
k ＞ 2，log(14，k^3 + k^2 + k) ＜ log(2，k) 計算2.
△ABC中，D為\( \overline{BC} \)上任一點，\( ∠BAD=\alpha \)，\( ∠CAD=\beta \)，\( ∠ACD=\gamma \)，\( ∠ABD=\delta \)，\( ∠ADC=t \)，試證：\( sin(\alpha+\beta)\cdot sin(\beta+\gamma)=sin \alpha \cdot sin \gamma+sin \beta \cdot sin \delta \)。
[提示]
我辛苦地翻書終於找到出處，想知道是如何證明的請自行查閱。
張景中,曹培生，從數學教育到教育數學p115
102.3.28補充
張景中，平面三角解題新思路p59也有這題
計算3.
已知\( a_0=1 \)，且\( \displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}^2} \)，其中n為任意正整數。試證：\( \displaystyle a_n \le \frac{3}{4 \sqrt{n}} \)，\( n \in N \)。
\( \displaystyle a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+\left( \displaystyle \frac{3}{4 \sqrt{k}} \right)^2}=\frac{12}{\displaystyle 16 \sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}}}<\frac{12}{16\sqrt{k+1}} \)
[color=red]＜[/color]處，需再證：\( \displaystyle (16\sqrt{k}+\frac{9}{\sqrt{k}})-(16\sqrt{k+1})>0 \)
使用基本微分，即可證明
我覺得這步會有問題\( \displaystyle \frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \)，因為\( \displaystyle \frac{1}{1+a_k^2}>\frac{1}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} \)
我的方法是
1.先證明\( a_n>0 \)(自己試著證明看看)
2.數學歸納法
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}^2}=(a_n+\frac{1}{a_n})^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}>2+\frac{16n}{9}>\frac{16(n+1)}{9} \)
\( \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}>\frac{4 \sqrt{n+1}}{3} \)
因為前面有證明\( a_n \)為正數，所以開根號不會是負的
\( \displaystyle a_{n+1}<\frac{3}{4 \sqrt{n+1}} \)
(證明的過程等號不會成立)
頁:
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