101北市中正高中
如題請享用
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題外話
小弟今年沒考
因為暑假要去高雄進修
等我進修回來還要補去年六月底以後到今年的進度
可能會仆街orz
各位多加油 請教第三題
還有第四題m=-3/2怎麼得到的
版上高手請不吝告知
另外第二題
先令高h, C到山腳為x
我是利用tan(3theta)=tan(2theta+theta)
tan(2theta)=tan(theta+theta)
得x=35 在求出h
可是我這樣做就花了我約20分鐘
請教有更簡潔的作法嗎
謝謝
回復 2# arend 的帖子
第二題如圖，可知 \( CD=AD=100 \) ，
在 \( \Delta CDE \) 中用正弦定理， 得到
\(\displaystyle \frac{100}{\sin3\theta}=\frac{40}{\sin\theta} \)
\(\displaystyle 3-4\sin^2\theta=\frac{5}{2} \)
\(\displaystyle \sin^2\theta=\frac{1}{8} \)
\(\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt7}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle BC=CD\sin2\theta=25\sqrt{7} \)
第三題
若第一次反面，則只要剩下的 \( n-1 \) 次不要連續正面就好；
若第一次正面，則第二次必須反面，只要剩下的 \( n-2 \) 次不要連續正面就好；
故 \(\displaystyle P_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4}P_{n-2} \)
以及 \( P_1=1, P_2=\frac{3}{4} \)
剩下的就慢慢算。
第四題
前者兩根為 \( 1+i, 1-i \)
如果後者有共軛虛根，我們知道虛根對稱於 \( x \) 軸，只要實部不為 \( 1 \) ，必為等腰梯形，四點共圓；
\(\displaystyle D=m^2-1<0, \Rightarrow -1 < m < 1 \) ；
實部為 \( 1 \) ，\( -2m=2 \) 即 \( m=-1 \) 不在判別式的範圍內，所以這部分是 \( -1 < m < 1 \) 。
如果是相異實根，設兩根為 \( p < q \) ，顯然要有 \( p < 1 < q \) 才行，
而且直徑會在 \( x \) 軸上，由直角三角形子母相似性質知道 \( (1-p)(q-1)=1^2 \)
\( -(1+2m+1)=1 \)
\(\displaystyle m=-\frac{3}{2} \)
[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-6-17 07:48 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2012-6-17 06:45 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6435&ptid=1422][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如圖，可知 \( CD=AD=100 \) ，
在 \( \Delta CDE \) 中用正弦定理， 得到
\(\displaystyle \frac{100}{\sin3\theta}=\frac{40}{\sin\theta} \)
\(\displaystyle 3-4\sin^2\theta=\frac{5}{2} \) ... [/quote]
謝謝老王老師
真是太漂亮的解法
再次感謝你 1.
設\( Γ_1 \)：\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le 1 \)、\( Γ_2 \)：\( \displaystyle \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le 1 \)，其中\( a>b>0 \)，求\( Γ_1 \)與\( Γ_2 \)交集的區域面積為？
看到老王老師的解法，讓我想到另一題
通過橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上兩點\( (0,-4) \)，\( \displaystyle (\frac{5 \sqrt{3}}{2},2) \)的直線L，將橢圓內部分割成兩個區域，試問較小區域的面積為？
(1)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3} \) (2)\( \displaystyle \frac{25 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \) (3)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \) (4)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-5 \sqrt{3} \)
(98桃園縣國中聯招，[url=https://math.pro/db/thread-826-1-1.html]https://math.pro/db/thread-826-1-1.html[/url])
8.若\(\cases{\displaystyle x=\frac{12z^2}{1+36z^2} \cr y=\frac{12x^2}{1+36x^2} \cr z=\frac{12y^2}{1+36y^2}} \)，則\( x+y+z= \)
解方程組\( \displaystyle \cases{1+x^2=2y \cr 1+y^2=2z \cr 1+z^2=2x} \)。
[attach]1261[/attach]
102.3.28補充
Find all real solutions to the following system of equations. Carefully justify your answer.
\( \cases{\displaystyle \frac{4x^2}{1+4x^2}=y \cr \frac{4y^2}{1+4y^2}=z \cr \frac{4z^2}{1+4z^2}=x} \)
(1996 Canada National Olympiad，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=33&cid=51&year=1996[/url])
[url]https://math.stackexchange.com/questions/1369403/find-all-real-solutions-to-the-following-system-of-equations-involving-fixed-po[/url]
計算題
4.
已知函數\( f(x)=ax^2-c \)( \( a,c \in R \) )滿足\( -4 \le f(1) \le -1 \)，\( -1 \le f(2) \le 5 \)，
(1)利用Lagrange多項式，將\( f(x) \)表為\( P_1(x)f(1)+P_2(x)f(2) \)，其中\( P_1(x) \)與\( P_2(x) \)均為二次多項式，則\( P_1(x)= \)？\( P_2(x)= \)？
(2)求\( f(3) \)之值的範圍？
高中數學常見題之一題多解
[url=http://i.imgur.com/XaQ6H.gif]http://i.imgur.com/XaQ6H.gif[/url]
[url=http://i.imgur.com/MvBFJ.gif]http://i.imgur.com/MvBFJ.gif[/url]
[url=http://i.imgur.com/HDRBC.gif]http://i.imgur.com/HDRBC.gif[/url]
已知a、b為實數，\( f(x)=ax^2+bx \)，滿足\( 1 \le f(1) \le 2 \)，\( 2 \le f(2) \le 4 \)，若\( P \le f(3) \le Q \)，則數對\( (P,Q) \)為何？
(101桃園縣高中聯招，[url=https://math.pro/db/thread-1416-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1416-1-1.html[/url])
101.11.25補充
設\( f(x)=ax^2+bx+c \)，若已知\( 1 \le f(1) \le 2 \)，\( 1 \le f(2) \le 4 \)，\( 3 \le f(3) \le 11 \)，求\( f(4) \)之最大值？
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12657(連結已失效)
110.8.2補充
若二次實係數多項式函數\(f(x)\)滿足\(\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}\)，則\(f(7)\)的最大值？
(110竹東高中，[url]https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html[/url])
6.
設\( x_1 \)，\( x_2 \)，…，\( x_n \)都是正數且\( n \ge 2 \)，試分別利用算幾不等式與數學歸納法兩種方法證明：
\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\frac{x_3^2}{x_4}+……+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+…+x_n \)
設\( x_1,x_2,...,x_n \)都是正數，試證\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+...+x_n \)。
(100桃園高中，[url=https://math.pro/db/thread-1144-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1144-1-1.html[/url])
設\( a_1,a_2,...,a_n \)皆為正數，求證：\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \le \frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+...+\frac{a_n^2}{a_1} \)
(94高中數學能力競賽 台南區筆試一試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_Tainan_01.pdf連結已失效)
101.12.11補充
我在這本書找到這題的數學歸納法證明
夏興國，數學歸納法縱橫談 老師您好，請問填充第1題兩橢圓所夾面積應該要怎麼處理呢?
可以指點一下嗎?謝謝您。
回復 6# bluewing 的帖子
利用伸縮變換，作出兩圓 \( x^2+y^2=a^2 \) 和 \( (x-a)^2+y^2=a^2 \)計算兩圓交集面積再乘上 \(\displaystyle \frac{b}{a} \) 就好。
如圖
兩圓交集面積為 \(\displaystyle 2 \times \frac{a^2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}a^2}{2} \)
所以所求為 \(\displaystyle \frac{2ab\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}ab}{2} \)
[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-6-17 09:46 PM 編輯 [/i]] 老師您好，謝謝您的解答，很詳細...
另外可以請問計算4的第1小題應該如何處理呢??
只有兩個點的值怎麼用lagrange插值法呢?謝謝您。
回復 8# bluewing 的帖子
計算 4. 沒看過這樣的變形的 Lagrange 插值多項式不過猜測 \(\displaystyle P_{1}(x)=\frac{1}{(-3)}(x^{2}-4) \), \(\displaystyle P_{2}(x)=\frac{1}{3}(x^{2}-1) \)
也就是滿足次數 2, 一次項零，1, 2 代入又會等於 1,0 的多項式
回復 8# bluewing 的帖子
我的想法是，如果找到某個 \( k \) ，使得 \( f(k)=0 \)那麼
\(\displaystyle f(x)=f(1) \frac{(x-2)(x-k)}{(1-2)(1-k)}+f(2) \frac{(x-1)(x-k)}{(2-1)(2-k)} \)
但是對於找 \( f(3) \) 的範圍似乎沒有助益。
想請教計算2、計算3(3)、計算6
謝謝各位老師了回復 11# childgrow 的帖子
計算 2. 不要被嚇到了，題目都叫我們猜了，當然是列個幾項猜答案，然後證明之。\( n=2\), \( 1225=35^2 \)
\( n=3 \), \( 112225=335^2 \)
看到這已經猜出答案了。
以完全平方公式計算得 \( 333..335^2 = 333..33 \times 333..34\times 10^2 +25 \)
前面相乘補一個 \( \frac33 \) 給它得 \( 999..99\times 333..34\div 3\)
\( 999..99 \) 寫成 \( 1000..00-1 \) 分配乘開得 \( (333..34000..00-333..34)\div 3 = 333..33666..66\div 3 =111..11222..22 \)
補上兩個 0 加 25，就得 \( 333..335^2 = 111..11222..2225 \)
註：以上所有的 aaa..aa 長度一樣長 想請問各位老師填充題第六題
方程式\( ax^2-4ax +1= 0\) 的兩個正數解\( \alpha，\beta\)滿足不等式\(|log\alpha -log\beta | \le 1\)，則實數a 的範圍為__________
不知道a的上界是怎麼求得的 謝謝大家
[[i] 本帖最後由 sanghuan 於 2012-6-20 01:03 PM 編輯 [/i]] 想請教計算第1(2)(3),第3(3) ,第4(1) ,謝謝 [quote]原帖由 [i]阿光[/i] 於 2012-6-20 01:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6508&ptid=1422][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教計算第1(2)(3),第3(3) ,第4(1) ,謝謝 [/quote]
計算1(2)(3)用內積定義去想
計算3(3)我是用過P坐一平行於 \( \overline{BC} \)的線 去看比例關係 (先求出 \( \overline{PL} \)、\( \overline{PM} \)、\( \overline{PN} \))
先試試看吧 真的不行我再詳細PO
[[i] 本帖最後由 sanghuan 於 2012-6-20 02:21 PM 編輯 [/i]]
回復 15# sanghuan 的帖子
計算3(3)比例關係知道也求出 PL、PM、PN，但還是算不出來~可否請你詳細PO呢?謝謝回復 16# yaung 的帖子
一般的任意比例的確，的確很難算。但這題的是特殊比例，應該關注 \( 2 \overline{PL}: 3\overline{PM}: 4\overline{PN}=1:1:1 \)
再回到 (1) 時，就知道這三個量的意義了
回復 16# yaung 的帖子
承寸絲老師所說可知其實三角形APB、APC、BPC的面積相等且等於 三分之一的三角形ABC之面積
可知若過P點坐一平行於\( \overline{BC} \)之線交\( \overline{AB} \)於O、交\( \overline{AC} \)於O'
則\( \overline{AO} \)：\( \overline{AB} \) = \( \overline{AO'} \)：\( \overline{AC} \) = 1：3 ，因此\( \overline{AO} \)和\( \overline{AO'} \)可知
又在三角形AOP中 兩倍三角形AOP之面積 = \( \overline{AO} \)X\( \overline{PL} \) = \( \overline{OP} \) X (A到\( \overset { \rightharpoonup }{ OP } \) 的距離)
其中 A到\( \overset { \rightharpoonup }{ OP } \) 的距離可由三角形ABC與PBC之面積關係求得
因此\( \overline{OP} \)可得 同理\( \overline{PO'} \)亦可得
又O、P、O'在同一直線上 可得\( \overline{AP} \) 和\( \overline{AO} \)、\( \overline{AO'} \)的關係
再把\( \overline{AO} \)、\( \overline{AO'} \)分別轉為\( \overline{AB} \)、\( \overline{AC} \)即可
我是覺得這個方法很麻煩 不過可解就是了 給大家參考 不知道有沒有更快了方法
[[i] 本帖最後由 sanghuan 於 2012-6-24 09:27 PM 編輯 [/i]] 承上...
當三角形APC,APB,BPC面積相等...
不是重心嗎...
還是我解讀有誤 [quote]原帖由 [i]jmfeng2001[/i] 於 2012-6-24 09:42 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6594&ptid=1422][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
承上...
當三角形APC,APB,BPC面積相等...
不是重心嗎...
還是我解讀有誤 [/quote]
哈哈 沒想到 其實上面那個方法是我還沒聯想到面積相等時做的解答 受教啦
[[i] 本帖最後由 sanghuan 於 2012-6-24 09:54 PM 編輯 [/i]]