我在這本書找到這題的數學歸納法證明
夏興國，數學歸納法縱橫談
夏興國老師的文章中內容中 他有說到"優化假設"
我的看法是 當數學歸納法最後需要比較出x_1 x_n x_n+1這個計算後的大小值時
如果假設這三數的大小順序(例如假設x_1 > x_n > x_n+1) 有可能造成不等式的不成立
所以我不懂為何他可以假設x_n+1為最大值
(還是我誤解他的說明??)
謝謝回答
回復 41# rock 的帖子
這就像是平常寫證明的時候，從對稱性可以加入一些不失一般性的假設\(x_1, x_2,x_3,\ldots, x_{n+1} \) 如果最大的是 \( x_5 \) 重新排序
\( x_6, x_7, x_8,\ldots, x_{n+1}, x_1, x_2, \ldots, x_5 \) 重新命名為 \( y_1, y_2, \ldots, y_{n+1} \)
那麼 \( y_{n+1} \) 就是最大的啦
而對 \({x_i}\), \( {y_i} \) 來說，不等式的兩邊值是相同的
故僅須對 \( {y_i} \) 去證明原命題 我欠缺的就是這個解釋 非常清楚 太感謝了!
回復 31# redik 的帖子
計算4只看到答案, 沒看到過程, 所以我來補過程：
[i]f(x)[/i]是偶函數, 所以y=f(x)的圖形通過(1,f(1)), (-1,f(1)), (2,f(2))三點
由lagrange插值公式即可得到一多項式
最後整理後即可得到 P[size=1]1[/size](x)和P[size=1]2[/size](x)
ps 由f(1)=a-c和f(2)=4a-c很容易得到答案
但因為題目要求用lagrange插值公式
所以我猜應該要這麼寫(其實我原本的式子更醜, 我原本第三個點是用( sqrt(c/a) , 0 ) QQ[align=center])[/align] [size=3]計算題[/size]
[size=3][/size]
[size=3]1. A (3,1,2) 為空間中一點，P、Q 為 xy 平面上以原點 O 為圓心且半徑為 2 的圓之直徑兩端點，試計算下列問題：[/size]
[size=3][/size]
[size=3](1) 內積 AP．AQ =？[/size]
[size=3][/size]
[size=3](2) cos∠PAQ 的最大值與最小值。[/size]
[size=3][/size]
[size=3](3) cos∠PAQ 為最小值時，ΔPAQ 的面積為何？[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解:[/size]
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[size=3](1) 所求 = AO² - r² = 14 - 4 = [color=red]10[/color][/size]
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[size=3](2)(3) 雖然題意暗示用內積，但亦可利用幾何性質來解。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]平面上給定一線段 PQ (中點為 O)，滿足∠PAQ 為定值 [範圍: (0, 180°)] 的動點 A，其構成對稱於 PQ 的兩圓弧。再思考當∠PAQ 變化時，兩圓弧的動態變化。依此考慮 AO 為定值時，∠PAQ 之值，可得如下結論:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=blue]1. 若 AO > PO ("A 在圓外")，則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大，∠PAQ 愈大[/color][/size]
[size=3][color=blue][/color][/size]
[size=3][color=blue]2. 若 AO < PO ("A 在圓內")，則 AO 與 PQ 夾角 (取直角或銳角) 愈大，∠PAQ 愈小[/color][/size]
[size=3][size=3][color=blue][/color][/size]
[size=3][color=blue]3. 若 AO = PO ("A 在圓上")，則 ∠PAQ = 定值 (90°)[/color][/size]
把以上結論應用於本題的 A, P, Q 所在平面 (屬於第 1 種情形):
cos∠PAQ 最小 (∠PAQ 最大) 時，AO 垂直 PQ。
cos∠PAQ 最大 (∠PAQ 最小) 時，即把前述 PQ 旋轉 90° 時 (考慮 AP 長與∠AOP 關係即知)，且在此 A, P, Q 所在平面垂直 xy 平面 (若不易體會，可用三垂線定理證之)。
參考圖示h ttp://imgur.com/W0WPdrF
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cos∠PAQ 的最大值: 如上圖左，tan∠PAQ = 4/5 (差角公式) ⇒ cos∠PAQ = [color=red]5/√41[/color]
cos∠PAQ 的最小值: 如上圖右，tan(∠PAQ/2) = 2/√14 ⇒ cos∠PAQ = [color=red]5/9[/color][color=black]，此時 aΔPAQ = [color=red]2√14[/color] [/color]
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