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我真心在追求我的夢想時,
每一天都是繽紛的。
因為我知道每個小時都是實現理想的一部份。

bugmens 發表於 2012-6-16 14:59

101桃園縣高中聯招

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101.6.17補充
桃園縣立高級中學101學年度新進教師甄選筆試試題答案疑議處理公告
三、數學科:
多重選擇題,第8題,正確答案更正為:BD。
多重選擇題,第10題,正確答案更正為:AC。
非選擇題,第2題,正確答案為無解。

101.6.24補充各校初試最低錄取分數
壽山高中44分
大園國際高中(一般教師)57分
觀音高中57分

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-24 07:07 AM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2012-6-16 15:01

3.
右圖為某函數\( y=f(x)=x^3+ax^2+bx+c \)的圖形,則下列四個數値何者最小?
(A)\( a+b+c \)
(B)\( f(x)=0 \)的三根總和
(C)\( f(x)=0 \)的三根倒數和
(D)\( f(x)=0 \)的三根乘積

右圖為某函數\( p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \)的圖形,請問:下列五個數值何者最小。
(1)\( p(-1) \) (2)\( p(x) \)的係數總和 (3)\( p(x)=0 \)的實根總和 (4)\( p(x)=0 \)的所有根乘積 (5)\( p(x)=0 \)的所有虛根乘積
(2011臺北區公立高中第1次學科能力測驗,[url=http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA156.swf]http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA156.swf[/url])

The graph below shows a portion of the curve defined by the quartic polynomial \( P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d \). Which of the following is the smallest?
(A)\( P(-1) \) (B)The product of the zeros of P (C)The product of the non-real zeros of P (D)The sum of the coefficients of P (E)The sum of the real zeros of P
(2000AMC12,[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=2000]http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2000[/url])

10.
\( 2^{\sqrt{2}} \)是(A)實數 (B)虛數 (C)複數 (D)1/2 (E)無法定義
[補充資料]
這題只問到屬於哪種數實在很可惜。應該要搭配對數表來問近似值為何?

[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E2%80%93Schneider_constant]http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond%E2%80%93Schneider_constant[/url]
希爾伯特的第七個問題
[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_seventh_problem]http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_seventh_problem[/url]
如果a是一個不等於0或1的代數數,b是一個無理代數數,則\( a^b \)總是超越數。

非選擇題
二、
設\( deg(f(x))=3 \),且已知\( f(1)=1.7 \),\( f(2)=1.8 \),\( f(3)=2.3 \),\( f(4)=3.2 \),則\( f(8)= \)?
[解答]
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) &  & f(4) \cr 2 & & 1.7 & & 1.8 & & 2.3 & & 3.2 \cr
& -0.3 & & 0.1 & & 0.5 & & 0.9 & \cr
& & 0.4 & & 0.4 & & 0.4 & & } \)
\( \displaystyle f(n)=2 \times C_0^n-0.3 \times C_1^n+0.4 \times C_2^n=\frac{1}{5}n^2-\frac{1}{2}n+2 \)
題目應該要是\( deg(f(x))=2 \) 才對

三、
一袋中有3個黃球、4個綠球、5個紅球,今每次隨機從袋中取出一球,取後不放回,則紅球最先被取完的機率為何?

一袋中有三個紅球,四個綠球,五個白球,每球被取機率相同,每次取一球,取後不放回,紅球最先被取完的機率為?
(99嘉義高工,[url=https://math.pro/db/thread-964-1-3.html]https://math.pro/db/thread-964-1-3.html[/url])

袋中有3個紅球,2個黑球與4個黃球,設每一球被取到的機會相等,今由袋中一次任取一球,每次取完後不放回,則紅球先取完的機率為?
(100玉井工商,[url=https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1131-1-1.html[/url])

袋中有紅球4個,白球5個,黑球6個,每次由袋中取一球不放回,則紅球最先取完之機率
(高中數學101 P301)

五、
已知a、b為實數,\( f(x)=ax^2+bx \),滿足\( 1 \le f(1) \le 2 \),\( 2 \le f(2) \le 4 \),若\( P \le f(3) \le Q \),則數對\( (P,Q) \)為何?

已知函數\( f(x)=ax^2-c \)( \( a,c \in R \) )滿足\( -4 \le f(1) \le -1 \),\( -1 \le f(2) \le 5 \),
(1)利用Lagrange多項式,將\( f(x) \)表為\( P_1(x)f(1)+P_2(x)f(2) \),其中\( P_1(x) \)與\( P_2(x) \)均為二次多項式,則\( P_1(x)= \)?\( P_2(x)= \)?
(2)求\( f(3) \)之值的範圍?
(101中正高中,[url]https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html[/url])

已知二次函數\( f(x)=ax^2+bx \)滿足\( -1 \le f(-1) \le 2 \),\( 3 \le f(1) \le 4 \),求f(-2)的取值範圍
[attach]1247[/attach]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-24 07:09 AM 編輯 [/i]]

yaung 發表於 2012-6-16 22:50

回復 2# bugmens 的帖子

請問選擇10,實數不是複數嗎? 為何C不能選?謝謝

agan325 發表於 2012-6-17 00:51

回復 2# bugmens 的帖子

想要請問計算題第2題
因為一開始假設 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d  結果算出來  a=0..
後來才用插值下去算....

想要請問  納題目有問題...它們會如何處理???

brace 發表於 2012-6-17 13:26

回復 4# agan325 的帖子

他解答釋疑為寫無解才給分,暈倒
這感覺不合理,因為用lagrange可以算出答案,
是題目出錯用一般算法才會無法算下去,
並不是沒有f(8)之值,否則f(1).f(2).f(3).f(4)的值也沒辦法算
,所以答案也不是無解,
是題目一開始就錯了,應該都送分才合理....@@~~

[[i] 本帖最後由 brace 於 2012-6-17 02:47 PM 編輯 [/i]]

dennisal2000 發表於 2012-6-17 15:50

想請問 第八題的 C 選項 為何不對

以及  非選第四題 的 期望值問題

還有  非選第七題 的 中間值定理 該如何用實數完備性去證?
          我的想法是多項式函數必定連續  
          所以若 P(a) P(b) 異號 可得 存在 c 屬於 a,b之間 使得 P(c)=0
          而實數完備性保證c 的存在性?
          請高手不吝指點

tsusy 發表於 2012-6-17 16:20

回復 6# dennisal2000 的帖子

非選 7. 你說的沒錯,但就是題目要我們證的事"實數完備性[color=#ff0000]如何[/color]保證c 的存在性"

想法:多項式函數必定連續,這是一定要用到的條件

至於怎麼做,至少先問問自己,實數完備性是什麼吧

非選 4. 可以把它拆解成兩個幾何分布,\( X \): 收集到魯夫或喬巴的點擊次數;\( Y \): 收到到其中一個後,再收集到另一個所需的點擊次數。

從幾何分布容易計算得 \( (\frac{2}{6})^{-1} + (\frac{1}{6})^{-1} = 9 \)

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-17 04:28 PM 編輯 [/i]]

dtc5527 發表於 2012-6-17 17:47

請問單選2

如何將題目看成是雙曲線
我有用geogebra畫出來  跟xy=1的圖型很像
但不知怎麼求出答案
感謝各位的解惑

shiauy 發表於 2012-6-17 18:25

[quote]原帖由 [i]dtc5527[/i] 於 2012-6-17 05:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=6431&ptid=1416][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如何將題目看成是雙曲線
我有用geogebra畫出來  跟xy=1的圖型很像
但不知怎麼求出答案
感謝各位的解惑 [/quote]

就只是旋轉座標軸後
得到方程式\(\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{1}{2}}} = 1\)
所以就可以知道貫軸長是\(2\sqrt 2 \)

旋轉座標軸是舊教材的單元,所以建議你可以去找舊教材的高三課本
或是可以搜尋“不變量 旋轉”

yaung 發表於 2012-6-17 18:59

回復 5# brace 的帖子

請問為何是無解呢? 用lagrange算出的答案不對嗎?謝謝

dtc5527 發表於 2012-6-17 21:06

回復 9# shiauy 的帖子

謝謝

shiauy 發表於 2012-6-18 04:54

複選第8題答案更正為BD
其中(D)選項:無法計算答案
是為什麼無法計算,不是發散級數了嗎?
且\(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} + ... > 1 + \frac{1}{2} + [\frac{1}{4} + \frac{1}{4}] + [\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}] + ... = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ... = \infty \)
不就是無限大嗎?
不知道為什麼答案是這樣

nanpolend 發表於 2012-6-18 22:10

回復 12# shiauy 的帖子

無窮大是個概念
其實數值是不存在的
無法求和
例如123456789是無窮大
123456789+1比無窮大還大

tsusy 發表於 2012-6-18 22:45

回復 13# nanpolend 的帖子

說它不存在,不太恰當。

因為,只是在實數裡,它不存在而已,

就像 \( i \) 也不在實數裡,自然不必滿足 \( i+1>i\) 這件事

有個東西叫 Extended Real number system,裡面就有無限大,當然其運算要小心的定義

回到高中數學的範疇,無窮級數的和是指其極限(如果存在)

這種發散的情況,也是您所說的極限「不存在」,或稱之為「無法求和」

另外,選項 (D) 的文字敘述,讓小弟覺得很奇怪:「它無法求出答案」

有問才有答,給定一個調和級數,哪來所謂的答案是什麼?

就像這樣的例子:給定 \( a= 1 \),請問:「它無法求出答案」這句話是否正確?

或是給定正三角形 \( ABC \),請問:「它無法求出答案」這句話是否正確?

當然如果補上一個等號,像是 \( 1+1 =    \), 這樣應該就沒問題,可以求得答案是 2。

以上是個人的瘋言瘋語,也許小弟執著了,在找題目麻煩,也給自己麻煩

dtc5527 發表於 2012-6-26 11:38

請教非選第一題

完全平方數的問題
謝謝

阿光 發表於 2012-6-26 19:16

想請教選擇第5,11題和第二部分第一題,謝謝

idontnow90 發表於 2012-6-28 00:04

11.
U_2(f)=U_4(f)=-1為最大值.所以A對B錯
D選項:應該是大於等於
E選項:U_n(-f)是把U_n(f)翻過來.所以最大值在兩端..自然相加不會是0
C選項我不確定><"
我猜想應該是因為切太細了..而且曲線都在下半平面.所以小於0
如果有錯請指正..感謝..

[[i] 本帖最後由 idontnow90 於 2012-6-28 12:12 AM 編輯 [/i]]

wdemhueebhee 發表於 2012-6-28 13:14

回復 2# bugmens 的帖子

請問非選二的f(0)=2要怎麼看呢??謝謝

阿光 發表於 2012-6-28 19:33

想請教非選擇一和七題

老王 發表於 2012-6-28 20:51

非選第一題
我覺得這題的算法大家都應該會,只是缺乏勇氣;反正就硬算拼了吧!!
設 \(\displaystyle \sqrt{m^2+101m+2012}=n , n \in \mathbb{N} \)
\(\displaystyle n^2=(m+\frac{101}{2})^2-\frac{2153}{4} \)
\(\displaystyle (2m+101)^2-n^2=2153 \)
\(\displaystyle (2m+101+2n)(2m+101-2n)=2153 \)
麻煩的是要確定 \( 2153 \) 是質數,請親自驗算!!
\(\displaystyle 2m+101+2n > 2m+101-2n \)
\(\displaystyle (2m+101+2n,2m+101-2n)=(2153,1)  or  (-1,-2153) \)
\(\displaystyle m=488  or  -589 \)

[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-6-28 08:57 PM 編輯 [/i]]

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