101復興高中
這些都是我憑印象記憶的！若有欠缺，也希望大家能幫忙補充1. \(f(x)=x^{30}+1\)，\(g(x)=(x^3+1)(x^6-4)\) ，求f(x)除以g(x)的餘式....(這感覺跟全國的考古題類似)
2. 證明 0.3<log2<0.4
4. 若a、b、c都是正數，證明 (a/b+c) + (b/a+c) + (c/a+b) >= 3/2
6. 有一個Q點，若有一P點在拋物線 y=x^2+1上面，已知 內積 OP向量*OQ向量<1，是繪出Q的區域
8. a為實數， 0 <= x <= 1(這是x範圍)，而 y=x(x-a)(x-1)和x軸所圍成的面積叫做S(a)
(1) 求 S(a)=???
(2) S(a)的最小值為=???
9. 有一個人在投球，假設P(n)為第n球球進的機率，若前一球投進，下一球投進的機率是0.8，若前一球沒進，
下一球投進的機率是0.6，已知P(1)=1
(1)求P(2)=?? P(3)=??? P(4)=???
(2)P(n)=???? (用n來表示)
(3) lim P(n)=????
10. 有1種1元郵票、2種2元郵票，要貼滿15元且排成一列，請問有多少種排法？
請各位看官笑納！
101.6.16
學校已經公佈試題
感謝jen123告知
[[i] 本帖最後由 agan325 於 2012-6-23 06:22 PM 編輯 [/i]]
回復 1# agan325 的帖子
幫補第3題:能不能找到三個正整數，使得其中任兩數的和除以第三數的餘數皆為1?
第4題
復興第4題: (印象中景美女中也有考)解法如附件: 有人可以教我如何直接在網頁上打數學符號嗎? 我忘記這是第幾題 但我想問這題 式子列出來 但是我不會算最小值
在複數平面上有兩個點 P、 Q ，主福角分別是theta 和 -(theta)， P、 Q和原點O所形成的三角形面積為S。G為三角形OPQ的重心，證明線段OP的最小值為2/3*根號(S*cot(theta))。
不會打數學符號> <
回復 4# meifang 的帖子
我想你的問題應該是求 \( OG \) 的最小值。要弄清楚， \( S \) 和 \( \theta \) 是定值。
假設 \( OP=p, OQ=q \) ，那麼 \( P(p\cos\theta, p\sin\theta), Q(q\cos\theta,-q\sin\theta) \)
面積 \(\displaystyle S=\frac{1}{2}pq\sin2\theta, \rightarrow pq=\frac{2S}{\sin2\theta} \)
\(\displaystyle OG^2=(\frac{(p+q)\cos\theta}{3})^2+(\frac{(p-q)\sin\theta}{3})^2 \)
\(\displaystyle =\frac{1}{9}(p^2+q^2+2pq(\cos^2\theta-\sin^2\theta)) \)
\(\displaystyle \ge \frac{1}{9}(2pq(1+\cos2\theta)) \)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}S \times \frac{1+\cos2\theta}{\sin2\theta} \)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}S \times \frac{2\cos^2\theta}{2\sin\theta\cos\theta} \)
\(\displaystyle =\frac{4}{9}S\cot\theta \)
所以
\(\displaystyle OG \ge \frac{2}{3}\sqrt{S\cot\theta} \)
回復 1# agan325 的帖子
我一直很想要問第9和第10雖然有些想法，但是很怕自己有任何的錯誤!~~~多謝 不好意思打錯題目 老王老師真厲害 可以知道題目要問什麼
原來用算幾不等式後 可以合併 外加三角函數整理 101.6.13版主補充
幫你把檔案放到第一篇
回復 3# tuhunger 的帖子
LaTeX的數學式子可以用以下網址[url=http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php]http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php[/url]
[[i] 本帖最後由 lianger 於 2012-6-16 08:47 PM 編輯 [/i]]
請問第1題
答案是否為341x^6-1019是先假設t=x^3去作嗎??? 第一題,我是用y=x^3去做的沒錯...
不好意思,想請問各位先進
第六題的區域...怎麼去做出來呢
第七題的反射是不是應該回到A點,該如何說明呢
謝謝
回復 11# jmfeng2001 的帖子
第六題. 坐標用力的給它寫下去 \( P(x,x^{2}+1)\), \( Q(a,b) \)內積得 \( ax+bx^{2}+b<1\Rightarrow bx^{2}+ax+b-1<0,\,\forall x\Rightarrow b<0 \) 且判別式小於 0
得 \( a^{2}-4b(b-1)<0\Rightarrow a^{2}-(2b-1)^{2}<-1\Rightarrow-a^{2}+\frac{(b-\frac{1}{2})^{2}}{\frac{1}{4}}>1 \)
記得 \( b<0 \)，所以剛好就是雙曲線，下半支圍的那塊。
第七題，很可惜，猜錯了。是在 \( \overline{AQ}:\overline{QB} = 2:1 \) 的地方
回復 10# march2001kimo 的帖子
回復 6# agan325 的帖子
第10題，我算的答案是21845回復 13# nanpolend 的帖子
請教餘式為何只有到6次?我的想法是餘式次數小於除式次數9，那就可能有8次吧~
請教先進 謝謝 想請教第2,8,10題
第8題我由a<0,0<a<1,a>1分別討論
但算出的S(a)都不一樣，是否我算錯?
第10題,考慮x+2y+2z=15,想先算出有多少種買法
但要算貼法卻難倒我了
感謝
回復 15# cherryhung 的帖子
因為是 "可能" 不代表一定要 8 次就好像 隨便拿個正整數去除以 1000，餘數"可能" 是三位數
但也可以是一位數或二位數，像是 \( 2012 \div 1000 = 2 \ldots 12 \)
精確來說是餘式的次數 (如果有次數) 至多 8 次
[b]回復 16# ilikemath 的帖子[/b]
第 10 題，可用遞迴，假設 n 元郵資的貼法為 \( a_n \)
第一張，最上面不是 1 元就是 2 元，故可得遞迴關係
則 \( a_{n+2} = a_{n+1} + a_n ,\, n\geq 1 \)
第 2 題
原不等式等價於 \( 10^{0.3} < 2 < 10^{0.4} \)
等價於 \( 10^3 < 2^{10} < 10^4 \)
第 8 題 "S(a) 不一樣" ?? 是跟什麼不一樣？答案嗎？(有公告答案嗎？)
還是是指 分三段算出來不一樣？如果是的話，都分段計算了，那會不一樣是正常的
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-11-10 01:31 PM 編輯 [/i]]
回復 17# tsusy 的帖子
tsusy大第10題的2元有2種
我認為遞迴式應該改為An+2=An+1 + 2An
算出A15為21845
[[i] 本帖最後由 ilikemath 於 2012-11-10 03:41 PM 編輯 [/i]]
回復 18# ilikemath 的帖子
你是對的...我沒看清楚題目回復 19# tsusy 的帖子
101 復興高中例題:
是否能找出三個相異自然數，使得任意兩數之和被第三數除之所得的餘數均為1
解答:不失一般性，可以先假設 \(a < b < c\)
(1)
\(c|a + b - 1 \Rightarrow c \le a + b - 1\)
因為 \(b < c{\rm{,}}a < c \Rightarrow a + b - 1 < 2c - 1 < 2c\)
因為\(a+b-c\)是\(c\)的倍數。\(c \le a + b - 1 < 2c\),所以\(a + b - 1 = c\)
(2)
此三數\(a,b,a + b - 1\)
\(\eqalign{
& b|(a) + (a + b - 1) - 1 \cr
& \Rightarrow b|2a + b - 2 \wedge b|b \cr
& \Rightarrow b|{\rm{(}}2a + b - 2{\rm{)}} \times {\rm{(1)}} + (b) \times ( - 1) \cr
& \Rightarrow b|2a - 2 \cr} \)
因為 \(b|2a - 2 \Rightarrow b \le 2a - 2\)
又\(a < b \Rightarrow 2a - 2 < 2b - 2 < 2b\)，
所以\(b \le 2a - 2 < 2b\)，因為\(2a - 2\)是\(b\)的倍數。
所以\(2a-2=b\)
(3)
此三數\(a,2a-2,3a-3\)
\(\eqalign{
& a|(2a - 2) + (3a - 3) - 1 \cr
& \Rightarrow a|5a - 6 \cr
& \Rightarrow a|6 \cr
& \Rightarrow a = 1,2,3,6 \cr} \)
代回去檢驗，發現\(a=1\)不合。
另外三組算出來的三組數據分別是
\(2,2,3 \) \(3,4,6 \) \( 6,10,15\)
答案 \(3,4,6 \) \( 6,10,15\)
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-21 06:11 PM 編輯 [/i]]
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