請教ARML四題
題目在附件中，這四題想破腦袋都想不出來希望版上的前輩們能給小弟指點一下迷津，謝謝
PS.因為是抄在筆記本上的，所以沒有年份，請見諒
1.
設數列\( <a_n> \)定義如下：\( a_0=1 \)，\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n^2}{1+a_n} \)(\( n=0,1,2,\ldots \))，令\( \displaystyle S_n=\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+\ldots+\frac{1}{1+a_n} \)，試證：\( n-1<S_n<n \)。
2.
滿足\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\frac{5^k C_k^n}{k}\ge 6^{2003} \)的最小正整數\( n= \)？
ANS：2007
3.
令\( S(n) \)表示正整數\( n \)減去\( n \)的每一個數字和，例如：\( S(123)=123-(1+2+3)=117 \)，並定義\( S^1(n)=S(n) \)，\( S^{k+1}(n)=S(S^{k}(n)) \)，則使得\( S^{2002}(n)=0 \)的最大整數\( n \)為？
ANS：34689
4.
設\( m \)為固定的整數且\( m>2 \)，試求：滿足方程式\( \displaystyle \left[ \frac{x}{m} \right]=\left[ \frac{x}{m-1} \right] \)正整數解的個數
ANS：\( \displaystyle \frac{m^2-m-2}{2} \) 第一題
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+ \cdots +\frac{1}{1+a_n} \)
\(\displaystyle =(1-\frac{a_1}{1+a_1})+(1-\frac{a_2}{1+a_2})+ \cdots +(1-\frac{a_n}{1+a_n}) \)
\(\displaystyle =n-(\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+ \cdots +\frac{a_n}{1+a_n}) \)
所以相當於證明
\(\displaystyle 0<\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+ \cdots +\frac{a_n}{1+a_n}<1 \)
\(\displaystyle a_n-a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^2}{1+a_n}=\frac{a_n}{1+a_n} \)
所以
\(\displaystyle \frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{1+a_2}+ \cdots +\frac{a_n}{1+a_n}=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+ \cdots +(a_n-a_{n+1})=1-a_{n+1} \)
顯然 \( a_{n+1}>0 \)
又 \( a_2=\frac{1}{2}<1 \) ， 且 \(\displaystyle a_{n+1}=a_n \times \frac{a_n}{1+a_n}<a_n \)
所以 \( a_n<1 \) 當 \( n>1 \)
故得證 非常感謝，我思考的點完全錯了，難怪想都想不出來
一開始是想用裂項相消，試了一堆方法湊不出來
後來想說用數學歸納法，有感覺，但是就是不大對盡
老王老師這雖然也是屬於裂項相消的方法，不過我還真的沒想到這
受教了
回復 7# 皮皮 的帖子
我是列出前面4項看出來的，第二題還沒想法，
第三題，這答案應該是9的倍數才對吧，可以先檢查你的答案嗎?? 說來慚愧，第二題，第三題我幾乎沒有什麼頭緒
列出許多項，但仍然看不出其規律
但您一說9的倍數，我想我應該有了頭緒了
是利用3的倍數和9的倍數和亦為3的倍數和9的倍數的性質
容我再試著做做看
另外，答案方面是34689無誤
剛剛翻了一下，這是2002年ARML第二階段的第8題
官方答案確實如此
[[i] 本帖最後由 皮皮 於 2012-6-15 09:08 PM 編輯 [/i]]
回復 9# 皮皮 的帖子
啊，我沒有想仔細，不一定要最後一次最大。還要再思考。 拿答案34689來說
第一次的數和 =30
往後依序列下去是30,27,18,18,27,27,18,18,18,27,18,18,18,18,27,18,18,18,18,18,18,18,18,18,9,18,18,18,18,18,9,18,
27,27,18,18,27,27,18,...
好像沒有規律可言，不過也不排除其中可能有算錯
只知道27,9出現很少次，18出現很多次這個事實而已 老王老師，辛苦您了
先放著吧! 休息要緊，剛剛解題解太久我也都怪怪的
有時候放鬆一下搞不好就靈光一閃想出來了
您肯解這道題目我已經很感激了，我也先去休息了
[[i] 本帖最後由 皮皮 於 2012-6-15 10:17 PM 編輯 [/i]] 解題是一種樂趣，不管有沒有解出來；只是今年解得題目太多了，就像好吃的東西一直吃，對我來說也是會膩的，所以才會去尋找重新出發的動力。
(以上題外話)
第四題
假設 \(\displaystyle [ \frac{x}{m} ]=[ \frac{x}{m-1} ]=n \)
那麼就有 \(\displaystyle n \le \frac{x}{m} < n+1 \) 以及 \(\displaystyle n \le \frac{x}{m-1} < n+1 \)
進一步 \(\displaystyle mn \le x <m(n+1) \) 以及 \(\displaystyle n(m-1) \le x <(m-1)n+(m-1) \)
以上兩個式子都須滿足，所以必須找尋適當的 \( n \) 使得 \(\displaystyle mn \le x <(m-1)n+(m-1) \) 有解。
亦即要滿足條件 \(\displaystyle mn < (m-1)n+(m-1), \Longrightarrow n < m-1 \)
因為要正整數解，所以知道 \(\displaystyle n=0,1,2, \cdots m-2 \)
此時 \(\displaystyle x=mn,mn+1,mn+2, \cdots mn-n+(m-1)-1 \)
對於 \( n=0 \) ，因為要正整數解，所以 \( x \) 的解會少一個，有 \( m-2 \) 個
對於其他的 \( n \) ，則無此限制，\( x \) 的解有 \( (m-1)-n \) 個，
所以共有
\(\displaystyle (m-2)+(m-2)+(m-3)+ \cdots +1=(m-1)+(m-2)+(m-3)+ \cdots +2=\frac{(m+1)(m-2)}{2}=\frac{m^2-m-2}{2} \)
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